1、第三讲第三讲 简单的线性规划简单的线性规划 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 二元一次不等式表示的平面区域 (1)在平面直角坐标系中，直线 AxByC0 将平面内的所有点分成三类：一类在直线 AxByC_0_上，另两类分居直线 AxByC0 的两侧，其中一侧半平面的点的坐标 满足 AxByC_0_，另一侧半平面的点的坐标满足 AxByC_0 在平面直角坐标系中表示直线 AxByC0 某一侧的 平面区域且不含边界，作图时边界直线画成_虚线_，当我们在坐标系中画不等式 AxBy C0 所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，此时边界直线画成_实线_. 知识点二 二元一次不等式(组)表
2、示的平面区域的确定 确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法 (1)直线定界，即若不等式不含_等号_，则应把直线画成虚线；若不等式含有_等号_， 把直线画成实线 (2)特殊点定域，由于在直线 AxByC0 同侧的点，实数 AxByC 的值的符号都_ 相同_，故为确定 AxByC 的值的符号，可采用_特殊点法_，如取(0,0)、(0,1)、(1,0)等 点 由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的_ 公共部分_. 知识点三 线性规划中的基本概念 名称 意义 约束条件 由变量 x，y 组成的_不等式(组)_ 线性约束条件 由 x，
3、y 的_一次_不等式(或方程)组成的不等式(组) 目标函数 关于 x，y 的函数_解析式_，如 z2x3y 等 线性目标函数 关于 x，y 的_一次_解析式 可行解 满足约束条件的解_(x，y)_ 可行域 所有可行解组成的_集合_ 最优解 使目标函数取得_最大值_或_最小值_的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的_最大值_或_最小值_问题 归 纳 拓 展 1判断二元一次不等式表示的平面区域的常用结论 把 AxByC0 或 AxByCkxb 或 ykxb，则区域为直线 AxByC0 上方 (2)若 y0 表示的平面区域一定在直线 AxByC0 的上方( ) (3)点(x1，y1
4、)，(x2，y2)在直线 AxByC0 同侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2 C)0，异侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0.( ) (4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式 xy0 表示( ) (5)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解( ) (6)目标函数 zaxby(a0)中，z 的几何意义是直线 axbyz0 在 y 轴上的截 距( ) 题组二 走进教材 2(必修 5P86T3 改编)不等式组 x3y60， xy20 表示的平面区域是( C ) 解析 x3y60 表示直线 x3y60 左上方部分，xy20 表示直线 xy2 0 及其右下方部分
5、 故不等式组表示的平面区域为选项 C 所示部分 3(必修 5P91练习 T1(1)改编)已知 x，y 满足约束条件 yx， xy1， y1， 则 z2xy1 的最 大值、最小值分别是( C ) A3，3 B2，4 C4，2 D4，4 解析 作出可行域如图中阴影部分所示 A(2，1)，B(1，1)， 显然当直线 l：z2xy1 经过 A 时 z 取得最大值，且 zmax4， 当直线 l 过点 B 时，z 取得最小值，且 zmin2，故选 C 题组三 走向高考 4(2020 浙江，3,4 分)若实数 x，y 满足约束条件 x3y10， xy30， 则 zx2y 的取值范 围是( B ) A(，4
6、B4，) C5，) D(，) 解析 由约束条件画出可行域如图 易知 zx2y 在点 A(2,1)处取得最小值 4，无最大值，所以 zx2y 的取值范围是4， )故选 B 5 (2019 北京)若 x， y 满足 x2， y1， 4x3y10， 则 yx 的最小值为_3_， 最大值为_1_. 解析 由线性约束条件画出可行域，为图中的ABC 及其内部 易知 A(1， 1)， B(2， 1)，C(2,3) 设 zyx，平移直线 yx0，当直线过点 C 时，zmax321， 当直线过点 B 时，zmin123. 考点突破 互动探究 考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域自主练透 例1 (1)(20
7、21 郑州模拟)在平面直角坐标系xOy中， 满足不等式组 |x|y|， |x|1 的点(x， y)的集合用阴影表示为下列图中的( C ) (2)(2021 四川江油中学月考)已知实数 x，y 满足线性约束条件 xy30 x2y30， 0 x4 则其表示 的平面区域的面积为( D ) A9 4 B27 2 C9 D27 4 (3)若不等式组 xy0， 2xy2， y0， xya 表示的平面区域的形状是三角形，则 a 的取值范围是 ( D ) Aa4 3 B0a1 C1a4 3 D0a1 或 a4 3 解析 (1)|x|y|把平面分成四部分，|x|y|表示含 y 轴的两个区域；|x|1 表示 x
8、1 所 夹含 y 轴的区域故选 C (2)线性约束条件所表示的平面区域如图中阴影部分所示， 其中 A(0,3)， B 0，3 2 ， C(3,0)， S1 2|AB| |OC| 1 2 9 23 27 4 ，故选 D (3)作出不等式组 xy0， 2xy2， y0 表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示且作 l1：x y0，l2：xy1，l3：xy4 3. 由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线 l：xya 在 l1， l2之间(包含 l2，不包含 l1)或 l3上方(包含 l3) 即 a 的取值范围是 00)最大值为 5，取到最大值时的最优解是唯一的，则 a 的取
9、值是( C ) A1 4 B1 3 C1 2 D1 (2)变量 x，y 满足约束条件 xy0， x2y20， mxy0， 若 z2xy 的最大值为 2，则实数 m 等于 ( C ) A2 B1 C1 D2 解析 (1)线性约束条件可化为 xy10， x2y20， 2xy20， 作可行域如图所示 目标函数 zaxy 可化为 yaxz， 因为 yaxz 表示斜率为a 的直线， 且a0， 由图形可知当 yaxz经过点C 时， z 取到最大值， 这时点C 坐标满足 x2y20， xy10， 解得 x4， y3， C 点坐标为(4,3)，代入 zaxy 得到 a1 2.故选 C (2)解法一：当 m0
10、时，可行域(示意图 m0 时，可行域(示意图)如图中阴影部分所示 若 m2，则当直线 z2xy 过原点时，z 最大，此时 z0，不合题意(故选 C) 若 0m0， f10. 即 b0， a2b10. 作出可行域如图中阴影部分所示 由 a2b10 ab20 得 a3 b1， C(3,1)，显然 A(1,0)，B(2,0) b3 a2表示点(a，b)与点(2,3)连线的斜率， 由图可知当(a，b)取(1,0)时，b3 a21； 当(a，b)取(3,1)时，b3 a2 2 5， b3 a2的取值范围是 2 5，1 ，故选 D 引申在本例(1)条件下：x2(y1)2的最小值为_2_； y1 x1的取值
11、范围是_ 1 2，3 _； x2y1 x3 的取值范围是_ 1 2， 9 5 _. 解析 由图可知当(x，y)取点(1,0)时，x2(y1)2取最小值 2； y1 x1表示点(x，y)与点(1，1)连线的斜率 由图可知当(x，y)取点(1,0)时，y1 x1取最小值 1 2，当(x，y)取点(0,2)时， y1 x1取最大值 3， y1 x1的取值范围是 1 2，3 . x2y1 x3 12 y1 x3， y1 x3表示(x，y)与点(3,1)连线的斜率，解 x2y40， 3xy30， 得 x2， y3， B(2,3)由图可知(x，y)取(1,0)时y1 x3，取最小值 1 4，(x，y)取点
12、(2,3)时， y1 x3取最 大值2 5. x2y1 x3 的取值范围是 1 2， 9 5 . 名师点拨 非线性目标函数最值的求解 (1)对形如 z(xa)2(yb)2型的目标函数均可化为可行域内的点(x，y)与点(a，b)间距 离的平方的最值问题 (2)对形如 zayb cxd(ac0)型的目标函数，可先变形为 z a c y b a x d c 的形式，将问题化为 求可行域内的点(x，y)与点 d c， b a 连线的斜率的a c倍的取值范围、最值等 (3)对形如 z|AxByC|型的目标函数， 可先求 z1AxBy 的取值范围， 进而确定 z|Ax ByC|的取值范围，也可变形为 z
13、A2B2 |AxByC| A2B2 的形式，将问题化为求可行域内的 点(x，y)到直线 AxByC0 的距离的 A2B2倍的最值，或先求 z1AxBxC 的取值范 围，进而确定 z|AxByC|的取值范围 变式训练 3 (1)(2021 百校联盟尖子生联考)已知 x，y 满足不等式组 xy2 y2x2， y0 则(x2)2(y1)2 的取值范围为_ 1 2，10 _. (2)(2021 河南省八市重点高中联考)若 x， y 满足 2yxy1， 则y2 x 的取值范围是( B ) A ，1 2 3 2， B 1 2， 3 2 C ，1 2 3 2， D 1 2， 3 2 解析 (1)可行域如图阴影部分， M x22y12的几何意义是点(2,1)与可行域中点的距离，最小值为点(2,1)到 xy 20 的距离|212| 2 2 2 ，最大值为点(2,1)与点(1,0)的距离 10，所求 M2的取值范围是 1 2，10 . (2)由 x，y 满足 2yxy1，作可行域如图， 联立 2yx xy1 ，解得 A(2，1) y2 x 的几何意义为可行域内的动点与 Q(0,2)， 连线的斜率，动点位于 A 时， y2 x max3 2， 直线 2yx 的斜率为1 2， 则y2 x 的取值范围 1 2， 3 2 .故选 B
