1、综合模拟卷二综合模拟卷二 (时间：120 分钟满分：150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 1(2020沈阳模拟)已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 iz12i，则|z|等于() A. 5 5 B. 5C1D3 答案B 解析若 iz12i， 则 z12i i 2i， 所以|z| 5，故选 B. 2设集合 A(x，y)|xy1，B(x，y)|2xy4，则 AB 等于() Ax1，y2B(1,2) C1,2D(1,2) 答案D 解 析 集 合 A (x ， y)|x y 1 ， B (x ， y)|2x y 4 ， AB x，y| xy1， 2xy4(1
2、,2)故选 D. 3曲线 f(x)xln x 在点 M(e，e)处的切线方程为() Ay2xeBy2xe CyxeDyxe 答案B 解析由 f(x)xln x 得 f(x)1ln x， f(e)1ln e2， 所以曲线在点 M(e，e)处的切线方程为 y2xe. 4 (2020唐山段考)设 m， n 是两条直线， 表示两个平面， 如果 m， ， 那么“n” 是“mn”的() A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案A 解析如果 m，那么由 n，可得到 n， 即可得到 mn； 反之，由 mn，m，不能得到 n. 所以“n”是“mn”的充分不必要条件 5 (20
3、20广州模拟)已知正方形 ABCD 的边长为 2， 点 P 是 BC 的中点， BA 1 2BQ ， 则向量PD PQ 等于() A1B5C7D13 答案C 解析画出图象如图所示， 依题意可知 A 是线段 BQ 的中点， P 是线段 BC 的中点 故PD CD 1 2CB ， PQ 1 2CB 2CD . 故PD PQ CD 1 2CB 1 2CB 2CD 2CD 21 2CD CB 1 4CB 2817. 6某地区甲、乙、丙三个单位进行招聘，其中甲单位招聘 2 名，乙单位招聘 2 名，丙单位招 聘 1 名，并且甲单位要至少招聘一名男生，现有 3 男 3 女参加三个单位的招聘，则不同的录 取方
4、案种数为() A36B72C108D144 答案D 解析根据题意，分 3 步进行分析： 单位甲在 6 人中任选 2 人招聘，要求至少招聘一名男生，有 C26C2312(种)情况， 单位乙在剩下的 4 人中任选 2 人招聘，有 C246(种)情况， 单位丙在剩下的 2 人中任选 1 人招聘，有 C122(种)情况， 则有 1262144(种)不同的录取方案 7已知圆 C：(x1)2(y2)22 和点 P(x0,0)，若圆 C 上存在两点 A，B 使得APB 3，则 实数 x0的取值范围是() A3,1B1,3 C2,3D2,4 答案B 解析当直线 PA 和直线 PB 与圆 C 相切时，APB 最
5、大， 要使圆 C 上存在两点 A，B 使得APB 3， 则APC 6， |PC| 2 sin 6 2 2， 即 x0120222 2， 解得1x03，故选 B. 8(2020安徽示范高中月考)设函数 f(x) ex1，x0， x2ax，x0， 若关于 x 的方程 f(x)m0 对任 意的 m(0,1)有三个不相等的实数根，则 a 的取值范围是() A(，2B2，) C2,2D(，22，) 答案B 解析因为关于 x 的方程 f(x)m0 对任意的 m(0,1)有三个不相等的实数根， 因为当 x0 时，m(0,1) ，ex1m 有一根， 所以当 x0 时，x2axm 恒有两个正根， 由二次函数的图
6、象可知 a 20， a24m0 对任意的 m(0,1)恒成立， 所以 a24，解得 a2. 故选 B. 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分全部选对的得 5 分，部分选对的 得 3 分，有选错的得 0 分) 9给出下列命题，其中正确的是() A若|ab|a|b|，则存在实数，使得 ba Ba 1 3 log 2，b 1 2 log 3，c 1 3 0.5的大小关系是 cab C已知直线 l1：ax3y10，l2：xby10，则 l1l2的充要条件是a b3 D已知 a0，b0，函数 y2aexb 的图象过点(0,1)，则1 a 1 b的最小值是 4 2 答案AB 解
7、析若|ab|a|b|，则 a 与 b 共线，且方向相反，即存在实数，使得 ba 成立，故 A 正确； a 1 3 log 2log32(1,0)，b 1 2 log 3log230，则 cab，故 B 正确； 当 b0，a0 时，两直线分别为 l1：3y10，l2：x10，满足 l1l2，故 C 错误； 已知 y2aexb 的图象过点(0,1)，则 2ab1，则1 a 1 b 1 a 1 b (2ab)212a b b a3 2 2a b b a32 2，当且仅当 2ab 时取等号，即1 a 1 b的最小值是 32 2.故 D 错误 10(2019烟台质检)中国铁路总公司相关负责人表示，到 2
8、018 年底，全国铁路营业里程达到 13.1 万公里，其中高铁营业里程 2.9 万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是 2014 年到 2018 年铁路和高铁运营里程(单位：万公里)的折线图，以下结论正确的有() A每相邻两年相比较，2014 年到 2015 年铁路运营里程增加最显著 B从 2014 年到 2018 年这 5 年，高铁运营里程与年份正相关 C2018 年高铁运营里程比 2014 年高铁运营里程增长 80%以上 D从 2014 年到 2018 年这 5 年，高铁运营里程数依次成等差数列 答案ABC 解析选项 A，B 显然正确； 对于 C，2.91.6 1.6 0.8，选项
9、C 正确； 16,1.9,2.2,2.5,2.9 不是等差数列，故选项 D 错误 11已知函数 f(x)cos xsin 2x，下列结论中正确的是() Ayf(x)的图象关于(，0)中心对称 Byf(x)的图象关于 x 2对称 Cf(x)的最大值为 3 2 Df(x)既是奇函数，又是周期函数 答案ABD 解析对于 A，因为 f(x)cos(x)sin(22x)cos xsin 2x， f(x)cos(x)sin(22x)cos xsin 2x， 所以 f(x)f(x)0， 可得 yf(x)的图象关于(，0)中心对称，故 A 正确； 对于 B，因为 f 2xcos 2xsin(2x)sin x(
10、sin 2x)sin xsin 2x， f 2xcos 2xsin(2x)sin xsin 2x， 所以 f 2xf 2x， 可得 yf(x)的图象关于直线 x 2对称，故 B 正确； 对于 C，化简得 f(x)cos xsin 2x2cos2xsin x 2sin x(1sin2x)， 令 tsin x，g(t)2t(1t2)，1t1， g(t)2t(1t2)的导数 g(t)26t22(1 3t)(1 3t)， 当 t 1， 3 3 ，t 3 3 ，1 时，g(t)0，函数 g(t)为增函数 因此函数 g(t)的最大值为 g(1)或 g 3 3 ， 结合 g(1)00)的焦点为 F， 准线为
11、 l.过点 F 作倾斜角为 120 的直线与准线 l 相交于点 A，线段 AF 与抛物线 C 相交于点 B，且|AB|4 3，则抛物线 C 的标 准方程为_ 答案y22x 解析由题意得直线 AF 的方程为 y 3 xp 2 ， 从而 A p 2， 3p. 由 y22px， y 3 xp 2 ， 消去 x， 得3y22py 3p20， 解得 y 3 3 p 或 y 3p(舍去)，从而 B p 6， 3 3 p ， 由|AB|4 3，得 p 6 p 2 2 3 3 p 3p 24 3， 解得 p1，所以抛物线 C 的标准方程为 y22x. 16(2020邢台模拟)在四棱锥 PABCD 中，PDAC
12、，AB平面 PAD，底面 ABCD 为正方 形，且 CDPD3，若四棱锥 PABCD 的每个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积 的最小值为_ 答案6 解析AB平面 PAD， ABPD，又 PDAC，ABACA， PD平面 ABCD， 则四棱锥 PABCD 可补形成一个长方体， 球 O 的球心为 PB 的中点， 设 CDx(0 x3)，则 PD3x. 从而球 O 的表面积为 4 x2x23x2 2 2 3(x1)226. 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17(10 分)已知数列an的前 n 项和为 Sn，Sn2an2. (1)求数列an的通项公式； (2)设 bnanl
13、og2an1，求数列bn的前 n 项和 Tn. 解(1)当 n1 时，a12， 当 n2 时，anSnSn12an2(2an12)， 即 an an12， 数列an为以 2 为首项，2 为公比的等比数列， an2n(nN*) (2)bn2nlog22n 1(n1)2n， 则 Tn22322n2n 1(n1)2n， 2Tn222323n2n(n1)2n 1， 两式相减， 得Tn422232n(n1)2n 1n2n1， Tnn2n 1. 18(12 分)已知在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 3asin Bbcos A2b. (1)求角 A 的大小； (2)若 c3，ABC
14、的面积为 3 3，求 a. 解(1)因为3asin Bbcos A2b， 所以由正弦定理，得3sin Asin Bsin Bcos A2sin B， 因为 0B0， 所以3sin Acos A2， 即 sin A 6 1， 又 0A0)， 则 E(1,1，m) CE (1，1，m)，DD 1 (0,0,2m)， cosCE ， DD 1 CE DD 1 |CE |DD 1 | 2m2 2m22m 3 3 ， 解得 m1，故 E 点坐标为(1,1,1) (2)证明由(1)可知，正四棱柱 ABCDA1B1C1D1是棱长为 2 的正方体 F(1,0,0)， BD1 (2，2,2)，EF (0，1，1
15、)，AD (2,0,0)， BD1 EF 0220， EF AD 0000， BD1 EF ，EFAD ， 又ED1B，FAD， EF 是 AD 与 BD1的公垂线 (3)解设平面 FD1B 的法向量为 n(x，y，z)， nD1F ，nFB ， nD1F 0， nFB 0， 又D1F (1,0，2)，FB (1,2,0)， x2z0， x2y0， 令 z1，则 n(2，1,1)， 易知DD1 是平面 ABCD 的一个法向量， 则DD1 与 n 所成角等于二面角 D1BFC 的平面角或其补角， |cos | |DD1 n| |DD1 |n| 2 2 6 6 6 ， 易知二面角 D1BFC 为锐
16、二面角， 二面角 D1BFC 的余弦值为 6 6 . 21(12 分)已知椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 1 2，且过点 3， 3 2 . (1)求椭圆 E 的方程； (2)设直线 ykxm(m0)与椭圆 E 交于 A，B 两点，与 x 轴、y 轴分别交于 C，D 两点(且 C， D 在 A，B 之间或同时在 A，B 之外)问：是否存在定值 k，使得OAC 的面积与OBD 的 面积总相等，若存在，求 k 的值，并求出实数 m 的取值范围；若不存在，请说明理由 解(1)依题意可得 ec a 1 2， a2b2c2， 3 a2 3 4b21 a24， b23， 椭圆 E
17、的方程为x 2 4 y 2 3 1. (2)联立 ykxm， 3x24y212， 消去 y，可得(34k2)x28kmx4m2120， 64k2m24(34k2)(4m212)48(4k2m23)， 由0，可得 m234k2，(*) 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2 8km 34k2， 由题意可得 C m k ，0 ，D(0，m)， OAC 的面积与OBD 的面积相等|AC|BD|恒成立线段 AB 的中点和线段 CD 的中点 重合 即有 8km 34k2 m k (m0)，解得 k 3 2 ， 由 m234k2且 m0，可得 6m0 或 0m 6. 即存在定值 k 3 2
18、，使得OAC 的面积与OBD 的面积总相等 此时，实数 m 的取值范围为( 6，0)(0， 6) 22(12 分)(2020石家庄模拟)已知函数 f(x)ex 1ln xmx(mR)的导函数为 f(x) (1)当 m0 时，求 f(x)的最小值； (2)若函数 f(x)存在极值，试比较 em，me，mm的大小，并说明理由 解(1)f(x)ex 11 xm ，令 h(x)f(x)， 则 h(x)ex 11 x2， h(x)在(0，)上单调递增，且 h(1)0， 当 0 x1 时，h(x)1 时，h(x)0， h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增， h(x)h(1)2m， 当 m0
19、 时，即 f(x)2，当且仅当 x1 时取等号， f(x)的最小值为 2. (2)函数 f(x)存在极值， f(x)0 在(0，)有实数解， 由(1)知 f(x)minf(1)2m， 2m2， 又 f(1ln m) 1 1ln m0，f 1 m e1 m10， 当 2mmm，memm， 当 me 时，emmm，memm， 当 me 时，emmm，me2)， g(x)1e x xe x ， 当 2xe 时，g(x)e 时，g(x)0， g(x)在(2，e)上单调递减，在(e，)上单调递增， g(x)g(e)0，即 xeln x， emme(当且仅当 me 时取等号)， 综上，当 2mmemm， 当 me 时，emmemm， 当 me 时，mmemme.
