1、第 1页（共 19页） 2021 年河北省张家口市高考数学二模试卷年河北省张家口市高考数学二模试卷 一一、选择题选择题选择题选择题:本题共本题共 8 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 40 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只有一只有一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知集合| 23AxRx，|1| 3BxZx，则(AB ) A 1，0，1，2，3B 1，0，1，2C0，1，2，3 D 1，0，1 2 （5 分）设aR且0a ，若复数 3 (1)ai是实数，则 2 (a ) A9B6C3D2 3 （5 分）若( 2 ，)， 3 5 2sin
2、cos 5 ，则tan() A2B2C 2 11 D 2 11 4 （5 分）双曲线 22 2 1(0) 3 xy a a 的一个焦点到渐近线的距离为() A 3 a B2C2D3 5 （5 分）设平面向量(1,0)a ，若2a b，cosa， 1 3 b ，则| (b ) A2B3C9D6 6 （5 分）人口问题是当今世界各国普遍关注的问题认识人口数量的变化规律，可以为有 效控制人口增长提供依据 我国在 2020 年进行了第七次人口普查登记， 到 2021 年 4 月以后 才能公布结果人口增长可以用英国经济学家马尔萨斯(TRMalthus，17661834)提 出的模型： 0 rt yye，
3、其中t表示经过的时间， 0 y表示0t 时的人口数，r表示人口的年 平均增长率以国家统计局发布的 2000 年第五次人口普查登记（已上报户口）的全国总人 口 12.43 亿人（不包括香港、澳门和台湾地区）和 2010 年第六次人口普查登记（已上报户 口）的全国总人口 13.33 亿人（不包括香港、澳门和台湾地区）为依据，用马尔萨斯人口增 长模型估计我国 2020 年末（不包括香港、澳门和台湾地区）的全国总人口数约为( 2 )(13.33177.6889， 2 12.43154.5049) A14.30 亿B15.20 亿C14.62 亿D15.72 亿 7 （5 分）在三棱柱 111 ABCA
4、 BC中，侧棱 1 AA 底面ABC，所有棱长都为 1，E，F分别 为棱BC和 11 AC的中点，若经过点A，E，F的平面将三棱柱 111 ABCA BC分割成两部分， 第 2页（共 19页） 则这两部分体积的比值为() A 5 24 B 9 17 C 7 24 D 7 17 8（5 分） 对于任意0 x，1， 总存在三个不同的实数 1y ，3， 使得 2 1 0 2 y xx x y eae 成立，则实数a的取值范围是 () A 2 47 ,) 2ee B 2 97 ,) 2ee C 2 79 (, 2e e D 2 3 8 , ) ee 二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小
5、题每小题 5 分分，共共 20 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有多项有多项 是符合题目要求的。全部选对的得是符合题目要求的。全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9 （5 分）已知直线:0l kxy与圆 22 :2210M xyxy ，则下列说法中正确的是( ) A直线l与圆M一定相交 B若0k ，则直线l与圆M相切 C当1k 时，直线 1 与圆M的相交弦最长 D圆心M到直线l的距离的最大值为2 10 （5 分）2014 年 7 月 18 日，教育部公布了修订的国家学生体质健康标准 学生体测 成绩达到或超过
6、良好， 才有资格参与评优与评奖 中学男生 100 米体能测试的良好成绩小于 14.15 秒某中学为了解高一男生的体能情况，通过随机抽样，获得了 100 名男生的 100 米 体能测试的成绩（单位：秒） ，将数据按照11.5，12)，12，12.5)，15.5，16分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图 由直方图推断，下列选项正确的是() A直方图中a的值为 0.4 B由直方图估计本校高一男生 100 米体能测试成绩的众数为 13.75 秒 第 3页（共 19页） C由直方图估计本校高一男生 100 米体能测试成绩的中位数为 13.7 秒 D由直方图估计本校高一男生 100 米体能测试成绩
7、良好率超过了80% 11 （5 分）已知236 ab ，则下列选项一定正确的是() A4ab B 22 (1)(1)2ab C 22 loglog2abD4ab 12 （5 分）同余关系是数论中的重要概念，在我国南北朝时期的著作孙子算经中就对 同余除法有了较深的研究设a，b，m为正整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a 和b对模m同余，记为()ab modm则下列选项中正确的是() A若|abkm，*kN则(ab mod)m B 18 256(mod3) C若(1)(ammod)m，(2)(bmmod)m，则(3)(abmmod)m D若(ab mod)m，则( nn ab mod)m，*n
8、N 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分） 已知随机变量(1.5XN， 2 0.4 )， 若(1.75)0.6P X， 则(1.251.75)PX 14 （5 分）当x时，函数( )2sincosf xxx取得最大值为，且tan 15 （5 分）已知点(4,0)D，F为抛物线 2 :4C yx的焦点，过点F且斜率为k的直线l与抛 物线C交于A，B两点，若1AD BD ，则 2 k的取值范围是 16 （5 分）某中学开展劳动实习，学习加工制作模具，有一个模具的毛坯直观图如图所示， 是由一个圆柱体与两个半球对接而成的组
9、合体，其中圆柱体的底面半径为 1，高为 2，半球 的半径为 1现要在该毛坯的内部挖出一个中空的圆柱形空间，该中空的圆柱形空间的上下 底面与毛坯的圆柱体底面平行， 挖出中空的圆柱形空间后模具制作完成， 则该模具体积的最 小值为 第 4页（共 19页） 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）已知 n S是数列 n a的前n项和，且 1 1a ， 1 23 nn aa （1）证明数列3 n a 是等比数列，并求数列 n a的通项 （2）是否存在整数k，使得2021
10、k S ？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由 18 （12 分）已知在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cossincbAaB （1）求B； （2）若2 5b ，2ac，求ABC的面积 19 （12 分）某中学的学习兴趣小组随机调查了该校 110 名学生的到校形式，整理后得到如 下的22列联表： 父母接送 独自到校总计 男204060 女302050 合计5060110 （1）根据列联表的数据判断，能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为到校形式与性 别有关系？ （2）若以上述样本的频率作为概率，在该校中随机抽取 6 人，用X表示 6 人中“独自到校” 的人数，
11、求X的数学期望和方差 附表： 2 ()P Kk 0.1000.050.0250.0100.001 k2.7063.8415.0246.63510.828 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd 20（12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD是菱形，PAPDAD，60DAB （1）证明：ADPB； （2）若异面直线PB与CD所成角的余弦值为 6 4 ，求二面角APBC的余弦值 第 5页（共 19页） 21 （12 分）已知函数 2 ( )2 x f xeax （1）当ae时，求曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线与两坐标轴围成的三角
12、形的 面积； （2）若( )0 x f xe恒成立，求实数a的取值范围 22 （12 分）已知( 2,0)M ，(2,0)N，动点P满足：直线PM与直线PN的斜率之积为常数 1 4 ，设动点P的轨迹为曲线 1 C抛物线 2 2: 2(0)Cxpy p与 1 C在第一象限的交点为A， 过点A作直线l交曲线 1 C于点B，交抛物线 2 C于点E（点B，E不同于点)A （1）求曲线 1 C的方程 （2）是否存在不过原点的直线l，使点E为线段AB的中点？若存在，求出p的最大值；若 不存在，请说明理由 第 6页（共 19页） 2021 年河北省张家口市高考数学二模试卷年河北省张家口市高考数学二模试卷 参
13、考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一、选择题选择题选择题选择题:本题共本题共 8 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 40 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只有一只有一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知集合| 23AxRx，|1| 3BxZx，则(AB ) A 1，0，1，2，3B 1，0，1，2C0，1，2，3 D 1，0，1 【解答】解： | 23Axx，| 24 1BxZx ，0，1，2，3， 1AB ，0，1，2 故选：B 2 （5 分）设aR且0a ，若复数 3 (1)ai是实数，则 2 (a ) A9B6C3D2 【解答】
14、解： 322 (1)(1) (1)(12)(1)aiaiaiaiaai 22323 122(13)(3)aiaaiaa iaaa i 是实数， 3 30aa， 又0a ， 2 3a 故选：C 3 （5 分）若( 2 ，)， 3 5 2sincos 5 ，则tan() A2B2C 2 11 D 2 11 【解答】解：由 3 5 2sincos 5 ， 两边平方，可得： 9 (2sincos)2 5 ，即 9 4sin24sincoscos2 5 22 22 44sincos9 5 sincos sincos ， 2 2 44tan19 15 tan tan ，则 2 11tan20tan40 解
15、得：tan2 或 2 tan 11 ( 2 ，)， 第 7页（共 19页） tan2 故选：A 4 （5 分）双曲线 22 2 1(0) 3 xy a a 的一个焦点到渐近线的距离为() A 3 a B2C2D3 【解答】解：双曲线的一个焦点( ,0)c，一条渐近线是30 xay， 由点到直线距离公式，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是： 2 |30| 3 3 ca a 故选：D 5 （5 分）设平面向量(1,0)a ，若2a b，cosa， 1 3 b ，则| (b ) A2B3C9D6 【解答】解：向量(1,0)a ， | 1a ， | cosa baba ， 1 1 |2 3 bb ，
16、 | 6b ， 故选：D 6 （5 分）人口问题是当今世界各国普遍关注的问题认识人口数量的变化规律，可以为有 效控制人口增长提供依据 我国在 2020 年进行了第七次人口普查登记， 到 2021 年 4 月以后 才能公布结果人口增长可以用英国经济学家马尔萨斯(TRMalthus，17661834)提 出的模型： 0 rt yye，其中t表示经过的时间， 0 y表示0t 时的人口数，r表示人口的年 平均增长率以国家统计局发布的 2000 年第五次人口普查登记（已上报户口）的全国总人 口 12.43 亿人（不包括香港、澳门和台湾地区）和 2010 年第六次人口普查登记（已上报户 口）的全国总人口
17、13.33 亿人（不包括香港、澳门和台湾地区）为依据，用马尔萨斯人口增 长模型估计我国 2020 年末（不包括香港、澳门和台湾地区）的全国总人口数约为( 2 )(13.33177.6889， 2 12.43154.5049) A14.30 亿B15.20 亿C14.62 亿D15.72 亿 【解答】解：由马尔萨斯模型可得： 10 13.3312.43 r e， 第 8页（共 19页） 所以 10 13.33 12.43 r e， 所以我国 2020 年末的全国总人数为 2 10 13.33177.6889 13.3314.30 12.4312.43 r ye（亿)， 故选：A 7 （5 分）在
18、三棱柱 111 ABCA BC中，侧棱 1 AA 底面ABC，所有棱长都为 1，E，F分别 为棱BC和 11 AC的中点，若经过点A，E，F的平面将三棱柱 111 ABCA BC分割成两部分， 则这两部分体积的比值为() A 5 24 B 9 17 C 7 24 D 7 17 【解答】解：如图， 取 11 BC的中点G，连接EG， 1 AG，可得 1/ / AAEG且 1 AAEG， 则四边形 1 AAGE为平行四边形，则 1 / /AGAE， 取 1 C G的中点H，连接FG，可得 1 / /FHAG，则平面AEHF为经过点A，E，F的平面， 1 1 1 133 1 11 224 ABCA
19、B C V ， 3 8 ACE S， 1 3 32 C FH S ， 1 133337 3 () 1 3 32328896 C EF CAE V ， 被平面所截另一部分多面体的体积为 37 317 3 49696 ， 可得这两部分体积的比值为 7 17 故选：D 8（5 分） 对于任意0 x，1， 总存在三个不同的实数 1y ，3， 使得 2 1 0 2 y xx x y eae 成立，则实数a的取值范围是 () 第 9页（共 19页） A 2 47 ,) 2ee B 2 97 ,) 2ee C 2 79 (, 2e e D 2 3 8 , ) ee 【解答】解：由 2 1 0 2 y xx
20、x y eae ，得 21 2 y x x y ea e ， 设( ) 2 x x f xa e ， 2 1 ( ) y g yy e ， 1 ( ) 2 x x fx e ， 故当0 x，1时，( ) 0fx，( )f x在0，1上单调递增， 则( )f xa， 1 2 a e ； 1 ( )(2) y g yeyy ，故当( 1,0)y 时，( )0g y，当(0,2)y时，( )0g y， 当(2,3)y时，( )0g y，函数( )g y在( 1,0)上单调递减，在(0,2)上单调递增， 在(2,3)上单调递减，且 2 ( 1)geg（2） 4 g e （3） 2 9 e ， 要总存在
21、三个不同的实数 1y ，3，使得 21 2 y x x y ea e 成立，只要 2 9 a e 且 14 2 a ee ， 2 97 2 a ee 实数a的取值范围是 2 97 ,) 2ee 故选：B 二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有多项有多项 是符合题目要求的。全部选对的得是符合题目要求的。全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9 （5 分）已知直线:0l kxy与圆 22 :2210M xyxy ，则下列说法中正确的是
22、( ) A直线l与圆M一定相交 B若0k ，则直线l与圆M相切 C当1k 时，直线 1 与圆M的相交弦最长 D圆心M到直线l的距离的最大值为2 【解答】解：由 22 2210 xyxy ，得 22 (1)(1)1xy， 直线:0l kxy过原点O，且不与y轴重合， 当0k 时，直线l与圆M相离，故A错误； 若0k ，则直线l与圆M相切，故B正确； 当1k 时，直线 1 过圆心M，直线l与圆M的相交弦最长，故C正确； 当1k 时，圆心M到直线l的距离取最大值为2，故D正确 第 10页（共 19页） 故选：BCD 10 （5 分）2014 年 7 月 18 日，教育部公布了修订的国家学生体质健康标
23、准 学生体测 成绩达到或超过良好， 才有资格参与评优与评奖 中学男生 100 米体能测试的良好成绩小于 14.15 秒某中学为了解高一男生的体能情况，通过随机抽样，获得了 100 名男生的 100 米 体能测试的成绩（单位：秒） ，将数据按照11.5，12)，12，12.5)，15.5，16分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图 由直方图推断，下列选项正确的是() A直方图中a的值为 0.4 B由直方图估计本校高一男生 100 米体能测试成绩的众数为 13.75 秒 C由直方图估计本校高一男生 100 米体能测试成绩的中位数为 13.7 秒 D由直方图估计本校高一男生 100 米体能测试
24、成绩良好率超过了80% 【解答】解：由频率之和为1可知， 0.5(0.080.160.300.520.300.120.080.04)1a， 解得0.4a ， 故选项A正确； 直方图的众数就是频率最高组的中点，即 13.514 13.75 2 ，故选项B正确； 直方图的中位数是频率相等的分点，设为x，则有 0.5(0.080.160.300.4)0.52(13.5)0.5x，解得13.5613.7x ，故选项C错误； 由频率分布直方图可知，成绩小于 14.15 秒的人数所占百分比为： 0.5(0.080.160.300.40.52)0.3 0.15 100%77.5%80%，故选项D错误 第 1
25、1页（共 19页） 故选：AB 11 （5 分）已知236 ab ，则下列选项一定正确的是() A4ab B 22 (1)(1)2ab C 22 loglog2abD4ab 【解答】解：由236 ab ，得 2 log 6a ， 3 log 6b ， 6 1 log 2 a ， 6 1 log 3 b ， 11 1 ab ， 111 : 12A abab ，4ab，ab，4ab，A正确， 2222 : logloglog ()log 42Cabab，C正确， 11 :()()2 2 124 ab Dabab abba ，ab， 4ab，D正确， 11 :1B ab ， 1 1 11 a b a
26、a ， 1 1 1 b a ， 222 2 1 (1)(1)(1)2 12 (1) aba a ， 当且仅当 2 2 1 (1) (1) a a ，即2a 时取等号， 又 2 log 6a ， 22 (1)(1)2ab，B错误， 故选：ACD 12 （5 分）同余关系是数论中的重要概念，在我国南北朝时期的著作孙子算经中就对 同余除法有了较深的研究设a，b，m为正整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a 和b对模m同余，记为()ab modm则下列选项中正确的是() A若|abkm，*kN则(ab mod)m B 18 256(mod3) C若(1)(ammod)m，(2)(bmmod)m，则(
27、3)(abmmod)m D若(ab mod)m，则( nn ab mod)m，*nN 【解答】解：对于A，若|abkm，则akmb或bkma，故(ab mod)m，故选项 A正确； 对于B，因为 1899998811 999 24(3 1)3331CCC， 第 12页（共 19页） 所以 18 2被 3 除得的余数为 1，56 被 3 除得的余数为 2，故选项B错误； 对于C，由(1)(ammod)m，可得1akm， 由(2)(bmmod)m，可得2btm， 所以 2 (1)(2)(2)2abkmtmktmkt m， ab被m除得的余数为 2，而3m 被m除得的余数为 3，故选项C错误； 对于
28、D，若(ab mod)m，则akmr，btmr， 1111 ()()()() nnnnnnn nn akmrkmC kmrCkm rr ， 1111 ()()()() nnnnnnn nn btmrtmC tmrCtm rr ， 所以( nn ab mod)m，*nN，故选项D正确 故选：AD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13（5 分） 已知随机变量(1.5XN， 2 0.4 )， 若(1.75)0.6P X， 则(1.251.75)PX0.2 【解答】解：因为随机变量(1.5XN， 2 0.4 )，故1.5，结合(1.
29、75)0.6P X， 故(1.251.75)2 (1.75)(1.5)2(0.60.5)0.2PXP XP X 故答案为：0.2 14 （5 分）当x时，函数( )2sincosf xxx取得最大值为5，且tan 【解答】解： 21 ( )2sincos5(sincos )5sin() 55 f xxxxxx， 这里 2 cos 5 ， 1 sin 5 ， 当2 2 k ，即2 2 k ，kZ时，( )f x取得最大值为5， 1 coscos(2)sin 25 k ， 2 sinsin(2)cos 25 k ， 所以 2 sin 5 tan2 1 cos 5 故答案为：5；2 第 13页（共
30、19页） 15 （5 分）已知点(4,0)D，F为抛物线 2 :4C yx的焦点，过点F且斜率为k的直线l与抛 物线C交于A，B两点，若1AD BD ，则 2 k的取值范围是(0，4 【解答】解：由题意知，(1,0)F，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 直线l的方程为1xmy， 由 2 1 4 xmy yx ，得 2 440ym 12 4yym， 12 4y y ， 由1AD BD ，得 12121212 (4)(4)(3)(3)xxy ymymyy y 2 1212 (1)3 ()9 1my ym yy ， 即 22 4(1)128 0mm ，解得 2 1 4 m
31、， 又 1 m k ， 2 11 4k ，即 2 04k 2 k的取值范围是(0，4 故答案为：(0，4 16 （5 分）某中学开展劳动实习，学习加工制作模具，有一个模具的毛坯直观图如图所示， 是由一个圆柱体与两个半球对接而成的组合体，其中圆柱体的底面半径为 1，高为 2，半球 的半径为 1现要在该毛坯的内部挖出一个中空的圆柱形空间，该中空的圆柱形空间的上下 底面与毛坯的圆柱体底面平行， 挖出中空的圆柱形空间后模具制作完成， 则该模具体积的最 小值为 26 27 【解答】解：设中空圆柱的底面半径为r，圆柱的高为2(02)hh， 则 22 ( )1 2 h r ， 2 2 1 4 h r ， 中
32、空圆柱的体积 2 2(2 )(1)(2) 4 h Vrhh 第 14页（共 19页） 2 3 (1) 4 Vhh ，可得当 2 (0, ) 3 h时，0V ，当 2 (3h，2)时，0V ， 则当 2 3 h 时，V取得最大值为 64 27 ， 又毛坯的体积为 23 410 121 33 ， 该模具体积的最小值为 106426 32727 故答案为： 26 27 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）已知 n S是数列 n a的前n项和，且 1 1a ， 1
33、23 nn aa （1）证明数列3 n a 是等比数列，并求数列 n a的通项 （2）是否存在整数k，使得2021 k S ？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由 【解答】证明： （1）数列 n a满足， 1 23 nn aa ，且 1 1a ， 整理得 1 32(3) nn aa ， 即 1 3 2 3 n n a a （常数） ， 所以数列3 n a 是以 4 为首项，2 为公比的等比数列， 故 11 34 22 nn n a ， 故 1 23 n n a ， （2）由于 1 23 n n a ， 所以 2312312 4 (21) (23)(23)(23)(222)33234 2
34、 1 n nnn n Snnn ， 令 2 ( )234 x f xx ， 第 15页（共 19页） 则 2 ( )223 n fxln ，当1x时， 23 223 2230 x lnln ， 故函数( )f x在1，)上单调递增， 当9n 时，解得 9 20172021S ， 当10n 时，解得 10 409634406220212021S， 所以n的最小值为 10，即k的最小值为 10 18 （12 分）已知在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cossincbAaB （1）求B； （2）若2 5b ，2ac，求ABC的面积 【解答】解： （1）因为cossincbAaB， 所
35、以由正弦定理可得sinsincossinsinCBAAB， 又sinsin()sincossincosCABABBA， 所以sincossinsinsincossincosBAABABBA，可得sinsinsincosABAB， 因为sin0A ， 可得sincosBB，即tan1B ， 因为(0, )B， 所以 3 4 B （2）因为 3 4 B ，2 5b ，2ac， 所以由余弦定理 22222222 2cos22225bacacBacacccccc，解得 2c ，2 2a ， 所以 112 sin2 222 222 ABC SacB 19 （12 分）某中学的学习兴趣小组随机调查了该校
36、110 名学生的到校形式，整理后得到如 下的22列联表： 父母接送 独自到校总计 男204060 女302050 合计5060110 （1）根据列联表的数据判断，能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为到校形式与性 第 16页（共 19页） 别有关系？ （2）若以上述样本的频率作为概率，在该校中随机抽取 6 人，用X表示 6 人中“独自到校” 的人数，求X的数学期望和方差 附表： 2 ()P Kk 0.1000.050.0250.0100.001 k2.7063.8415.0246.63510.828 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd 【解答
37、】解： （1） 2 352 7.8226.635 45 K ，在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为到校 形式与性别有关系； （2）X可能取 0，1，2，3，4，5，6， 若以上述样本的频率作为概率，在该校中随机抽取 1 人为“独自到校”的概率为 6 11 ， 在该校中随机抽取 6 人，可视为 6 次独立重复试验， 所以 6 (6,) 11 XB， 故 636 ()6 1111 E X ， 66180 ()6(1) 1111121 D X 20（12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD是菱形，PAPDAD，60DAB （1）证明：ADPB； （2）若异面直线PB与CD所成
38、角的余弦值为 6 4 ，求二面角APBC的余弦值 【解答】 （1）证明：取AD中点O，连接OP、OB， 因为PAPDAD，所以POAD， 因数底面ABCD是菱形，60DAB，所以ABD为正三角形，所以OBAD， 又因为OPODO ，所以AD 平面PBO， 又因为PB 平面PBO，所以ADPB； 第 17页（共 19页） （2）解：取PB中点M，连接AM，不妨设2AD ， 因为/ /ABCD，异面直线PB与CD所成角的余弦值为 6 4 ， 所以 6 cos 4 ABM， 6 22cos2 26 4 PBMBABABM ， 又因为2 sin603OPOB ，所以 222 PBOPOB， 所以OPO
39、B，于是OA、OB、OP两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系， (0BP ，3，3)，(1BA ，3，0)，( 2BC ，0，0)， 设平面PBA和平面PBC的法向量分别为(mx ，y，) z，(nu ，v，)w， 330 30 BP myz BA mxy ，令1y ，( 3m ，1，1)， 330 20 BP nvw BC nu ，令1v ，(0n ，1，1)， 因为二面角APBC为钝角， 所以二面角APBC的余弦值为 |210 | |552 m n mn 21 （12 分）已知函数 2 ( )2 x f xeax （1）当ae时，求曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线与两坐标
40、轴围成的三角形的 面积； （2）若( )0 x f xe恒成立，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）ae时， 2 ( )2 x f xeex，则( )2 x fxeex， 故kf（1）e ，又f（1）2 ，故切点坐标为(1, 2)， 故函数( )f x在点(1，f（1）)处的切线方程为：2(1)ye x ， 第 18页（共 19页） 即2yexe ， 故切线与坐标轴交点坐标分别为(0,2)e ， 2 (e e ，0)， 故所求三角形面积为 2 12(2)2 (2)()2 222 eee e eee ； （2）由( )0 x f xe，得 2 2 0 xx eeax 恒成立， 令 2 ( )
41、2 xx g xeeax ，则()( )gxg x，故( )g x是偶函数， 故只要求当0 x时，( ) 0g x 恒成立即可， ( )2 xx g xeeax ， 设( )2 xx h xeeax ，(0)x，故( )2 (0) xx h xeea x ， 设( )2 (0) xx H xeea x ，则( )(0) xx H xeex ， 显然( )H x为(0,)上的增函数，(0)22Ha， 当1a时，(0)220Ha，则有( )h x在(0,)上单调递增，故( )(0)0h xh， 则( )g x在(0,)上单调递增，故( )(0)0g xg，符合题意； 当1a 时，(0)220Ha，
42、又 1 (2 )0 2 H ln a a ， 故存在 0 (0,2 )xln a，使得 0 ()0H x， 故( )h x在 0 (0,)x上单调递减，在 0 (x，)上单调递增， 当 0 (0,)xx时，( )(0)0h xh，故( )g x在 0 (0,)x上单调递减， 故( )(0)0g xg，与( ) 0g x 矛盾， 综上：实数a的取值范围是(，1 22 （12 分）已知( 2,0)M ，(2,0)N，动点P满足：直线PM与直线PN的斜率之积为常数 1 4 ，设动点P的轨迹为曲线 1 C抛物线 2 2: 2(0)Cxpy p与 1 C在第一象限的交点为A， 过点A作直线l交曲线 1
43、C于点B，交抛物线 2 C于点E（点B，E不同于点)A （1）求曲线 1 C的方程 （2）是否存在不过原点的直线l，使点E为线段AB的中点？若存在，求出p的最大值；若 不存在，请说明理由 【解答】解： （1）设动点( , )P x y，则 2 PM y k x ， 2 PN y k x ， 因为 1 4 PMPN kk ，所以 1 224 yy xx ， 第 19页（共 19页） 所以 2 2 1(2) 4 x yx ， 所以曲线 1 C的方程为 2 2 1(2) 4 x yx （2）设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 0 (E x， 0) y， 直线:(0,0)l y
44、kxm km， 联立 22 44xy ykxm ，得 222 (14)8440kxkmxm， 所以 12 2 8 14 km xx k ， 0 2 4 14 km x k ， 又 2 2xpy ykxm ，得 2 2 ()xp kxm， 即 2 220 xpkxpm，所以 10 2x xpm ， 所以 1 2 4 2 14 km xpm k ，所以 2 1 14 () 2 k xp k ， 因为 2 2 2 1 4 2 x y xpy ，所以 4 2 2 4 x x p ， 所以 2 44 2 22 2 14 () 14 2 ()4 2 k p k k p kp ， 所以 2 22 24 4 1414 ()() 22 p kk kk ， 设 2 22 141 ()(2 )4 22 k kt kk ，则 2 2 4 1 p t ， 当 1 2 k ，即4t 时， 2 p取得最大值，最大值为 1 5 ，即 5 5 p ， 此时 2 5 ( 5 A， 2 5 ) 5 ，直线l不过点M，N， 所以存在不过原点的直线l，使点E为线段AB的中点，且p的最大值为 5 5
