1、人教版人教版 数学数学 八年级八年级 下册下册 除了矩形和菱形外，还有什么特殊的平行四边形呢？除了矩形和菱形外，还有什么特殊的平行四边形呢？ 正方形正方形 怎样怎样研究这类图形？研究这类图形？ 想一想我们是怎样研究矩形和菱形的想一想我们是怎样研究矩形和菱形的. . 导入新知导入新知 1. 理解正方形与平行四边形、矩形、菱形概理解正方形与平行四边形、矩形、菱形概 念之间的念之间的联系和区别联系和区别. 2. 能用正方形的能用正方形的定义、性质定义、性质进行推理与计算进行推理与计算. 素养目标素养目标 平行四边形平行四边形 情境一：情境一： 观察体会观察体会 探究新知探究新知 知识点 1正方形的定
2、义正方形的定义 探究新知探究新知 探究新知探究新知 有一个直角有一个直角 探究新知探究新知 有一个直角有一个直角 矩形矩形 探究新知探究新知 有一个直角有一个直角 矩形矩形 探究新知探究新知 有一个直角有一个直角 一组邻边相等一组邻边相等 矩形矩形 菱形菱形 探究新知探究新知 有一个直角有一个直角 一组邻边相等一组邻边相等 矩形矩形 菱形菱形 平行四边形平行四边形 探究新知探究新知 有一个直角有一个直角 一组邻边相等一组邻边相等 矩形矩形 菱形菱形 平行四边形平行四边形 探究新知探究新知 有一个直角有一个直角 一组邻边相等一组邻边相等 矩形矩形 菱形菱形 平行四边形平行四边形 探究新知探究新知
3、 有一个直角有一个直角 一组邻边相等一组邻边相等 矩形矩形 菱形菱形 一组邻边相等一组邻边相等 平行四边形平行四边形 探究新知探究新知 有一个直角有一个直角 一组邻边相等一组邻边相等 矩形矩形 菱形菱形 一组邻边相等一组邻边相等 平行四边形平行四边形 探究新知探究新知 有一个直角有一个直角 一组邻边相等一组邻边相等 矩形矩形 菱形菱形 一组邻边相等一组邻边相等 有一个直角有一个直角 正方形正方形 平行四边形平行四边形 你能给正方形下你能给正方形下 一个定义吗？一个定义吗？ 探究新知探究新知 问题问题1 图图中中CD在平移时，这个图形始终是怎样的图形？在平移时，这个图形始终是怎样的图形？ 问题问
4、题2 当当CD移动到移动到C D 位置，此时位置，此时AD AB，四边形，四边形ABCD 还是矩形吗？还是矩形吗？ A BC DA BC D 正方形是特殊的正方形是特殊的矩形矩形. . 情景二情景二：两组互相垂直的平行线围成矩形两组互相垂直的平行线围成矩形ABCD 探究新知探究新知 矩矩 形形正方形正方形 【思考思考】1. 探究新知探究新知 矩形一组邻边相等时变成怎样的图形呢矩形一组邻边相等时变成怎样的图形呢? ? 菱菱 形形 正方形正方形 【思考思考】2.菱菱 形有一个角是形有一个角是 直角时变成怎直角时变成怎 样的图形呢样的图形呢? ? 探究新知探究新知 小结：小结： 矩矩 形形 正方形正
5、方形 邻边邻边 相等相等 发现：发现： 一组一组邻边相等邻边相等的矩的矩 形叫正方形形叫正方形. . 菱菱 形形 一个角一个角 是直角是直角 正方形正方形 发现：发现： 一个角为一个角为直角直角的的 菱形叫正方形菱形叫正方形. . 如何来给正方形下定义？如何来给正方形下定义？ 探究新知探究新知 有一组有一组邻边相等邻边相等并且有一个角是并且有一个角是直角直角的平行四边形叫正方形的平行四边形叫正方形. . 请请同学们拿出准备好的正方形纸片同学们拿出准备好的正方形纸片, ,折一折折一折, ,观察并思考观察并思考. . 正方形是不是轴对称图形正方形是不是轴对称图形? ?如果是如果是, ,那么对称轴有
6、几条那么对称轴有几条? ? 对称性：对称性： . . 对称轴：对称轴：. . 轴对称图形轴对称图形 4条条 A BC D 探究新知探究新知 知识点 2正方形的性质正方形的性质 总结：总结：平行四边形、矩形、菱形、正方形的对称性平行四边形、矩形、菱形、正方形的对称性 平行四平行四 边形边形 中心对称图形中心对称图形 （对角线的交点）（对角线的交点） 即是中心对称图形，即是中心对称图形， 又是轴对称图形（两条）又是轴对称图形（两条） 即是中心对称图形，即是中心对称图形， 又是轴对称图形（两条）又是轴对称图形（两条） 即是中心对称图形，即是中心对称图形， 又是轴对称又是轴对称图形图形（四条）（四条）
7、 探究新知探究新知 矩形矩形 菱形菱形 正方形正方形 有一个角有一个角 是直角是直角 有一组邻有一组邻 边相等边相等 有一组邻有一组邻 边相等边相等 有一个角有一个角 是直角是直角 有一组邻边相等且有一组邻边相等且 有一个角是直角有一个角是直角 (1)(1) (2)(2) (3)(3) (4)(4) 探究新知探究新知 平行四平行四 边形边形 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系： 矩形矩形 菱形菱形 正方形正方形 矩形矩形菱形菱形 正 方 形 平行四边形平行四边形 正方形是特殊的平行四边形正方形是特殊的平行四边形, ,也是特殊的矩形也是特殊的矩形, ,
8、也是特殊的也是特殊的 菱形菱形. .所以矩形、菱形有的性质所以矩形、菱形有的性质, ,正方形都有正方形都有. . 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系： 探究新知探究新知 性质：性质：1. .正方形的正方形的四个角都是直角四个角都是直角, ,四条边相等四条边相等. . 2. .正方形的正方形的对角线相等对角线相等且互相且互相垂直平分垂直平分. . 已知：如图已知：如图, ,四边形四边形ABCD是正方形是正方形. . 求证：正方形求证：正方形ABCD四边都相等四边都相等, ,四个角都是直角四个角都是直角. . A BC D 证明证明：四边形四边形ABCD
9、是正方形是正方形. . A=90, AB=BC （正方形的定义）（正方形的定义）. . 又又正方形是平行四边形正方形是平行四边形. . 正方形是矩形正方形是矩形（矩形的定义）（矩形的定义）, , 正方形是菱形正方形是菱形( (菱形的定义菱形的定义).). A=B =C =D = 90, AB= BC=CD=AD. 探究新知探究新知 已知：如图已知：如图, ,四边形四边形ABCD是正方形是正方形. .对角线对角线AC、BD相交于相交于 点点O. .求证：求证：AO=BO=CO=DO,ACBD. A BC D O 证明：证明：正方形正方形ABCD是矩形是矩形, , AO=BO=CO=DO. 正方形
10、正方形ABCD是菱形是菱形. . ACBD. 探究新知探究新知 例例1 求证求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等 腰直角三角形腰直角三角形. AD CB O 已知已知: 如图如图,四边形四边形ABCD是正方形是正方形,对角线对角线AC、BD相交于点相交于点O. 求证求证:ABO、BCO、CDO、 DAO是全等的等腰直角三角形是全等的等腰直角三角形. 证明证明: 四边形四边形ABCD是正方形是正方形, AC=BD,ACBD,AO=BO=CO=DO. ABO、 BCO、 CDO、 DAO都都 是等腰直角三角形是等腰直角三角形,并且并且
11、 ABO BCO CDO DAO. 素养考点素养考点 1 探究新知探究新知 利用正方形的性质求线段相等利用正方形的性质求线段相等 已知已知正方形正方形ABCD，若若E为对角线上一点，连接为对角线上一点，连接EA、EC. EA = EC吗？说说你的理由吗？说说你的理由. E A B C D 1 2 ？ ？ 巩固练习巩固练习 解解： EA = EC .理由如下理由如下： 四边形四边形ABCD是正方形，是正方形， AB=BC，1=2=45， 又又BE=BE, ABE CBE(SAS). AE=CE. 例例2 如图，在正方形如图，在正方形ABCD中，中， BEC是等边三角形，是等边三角形， 求证：求证
12、： EADEDA15 . 证明证明： BEC是等边三角形，是等边三角形， BE=CE=BC,EBC=ECB=60， 四边形四边形ABCD是正方形，是正方形， AB=BC=CD,ABC=DCB=90， AB=BE=CE=CD, ABE= DCE=30， ABE，DCE是等腰三角形，是等腰三角形， BAE= BEA= CDE= CED=75， EAD= EDA=90-75=15. 探究新知探究新知 素养考点素养考点 2 利用正方形的性质求角度利用正方形的性质求角度 A B D C E 已知已知：如图，在正方形：如图，在正方形ABCD中，中，F为为CD延长线上一点，延长线上一点， CEAF于于E，交
13、交AD于于M， 求证：求证：MFD45. 证明：证明：CEAF， ADCAEM90. 又又CMDAME， 12. 又又CDAD，ADFMDC, RtCDM RtADF(ASA). DM=DF. DMF=DFM. ADF=90，MFD=45. 巩固练习巩固练习 例例3 如图四边形如图四边形ABCD和和DEFG都是正方形，都是正方形， 试说明试说明AE=CG. 解解： 四边形四边形ABCD是是正方形正方形, AD=CD. 又又四边形四边形DEFG也是也是正方形正方形,DE=DG. 又又正方形的每个内角为正方形的每个内角为90, ADEEDCCDGEDC， ADECDG. AED CGD(SAS).
14、AE=CG. A BC D E F G 素养考点素养考点 3利用正方形的利用正方形的性质性质证明证明线段线段相等相等 探究新知探究新知 已知已知：如图，点：如图，点E是正方形是正方形ABCD的边的边CD上一点，点上一点，点F是是CB 的延长线上一点，且的延长线上一点，且DE=BF 求证：（求证：（1）AE=AF；（；（2）EAAF 1 2 3 巩固练习巩固练习 证明证明：（1） ABCD是是正方形正方形, , AD=AB，ADE=ABF=90. 在在ABF与与ADE中，中，AD=AB, ADE=ABF=90，DE=BF, ABF ADE（SAS）. AE=AF ,1=3. （2）2+3=90
15、, 1+2=90 即即 EAFA. 如图如图，在正方形，在正方形ABCD中，点中，点E，F分别在分别在BC，CD上，且上，且BE=CF，求证，求证 ：ABE BCF 证明：证明：四边形四边形ABCD是正方形，是正方形， AB=BC，ABE=BCF=90， 在在ABE和和BCF中，中， ABE BCF（SAS） AB=BC， ABE=BCF， BE=CF， A D BC E F 连接中考连接中考 1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )( ) A.四个角相等四个角相等 B.对角线互相垂直平分对角线互相垂直平分 C.对角互补对角互补 D.对角线相等对角线相等
16、2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A.四条边相等四条边相等 B.对角线互相垂直平分对角线互相垂直平分 C.对角线平分一组对角对角线平分一组对角 D.对角线相等对角线相等 B D 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 3在正方形在正方形ABC中中, ,ADB= ,DAC= , BOC= . 4.在正方形在正方形ABCD中，中，E是对角线是对角线AC上一点，且上一点，且AE=AB，则，则 EBC的度数是的度数是 . . A D BC O A D BC O E 45 90 22.5 第第3题图题图第第4题图题图 45 课堂检测课堂检测 5
17、.如图，四边形如图，四边形ABCD是正方形，对角线是正方形，对角线AC与与BD相交于点相交于点O， AO2，求正方形的周长与面积求正方形的周长与面积 四边形四边形ABCD是正方形，是正方形， ACBD，OAOD2. 在在RtAOD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得 正方形的正方形的周长为周长为4AD ， 面积为面积为AD28. . 22 2 2,ADAOOD 课堂检测课堂检测 8 2 解解: : A D BC O 如如图，在正方形图，在正方形ABCD中，中，P为为BD上一点，上一点，PEBC于于E， PFDC于于F.试说明：试说明：AP=EF. A BC D P E F 解解: :连接连接P
18、C，AC. 又又PEBC ， PFDC, 四边形四边形ABCD是正方形是正方形, FCE=90， AC垂直平分垂直平分BD, 四边形四边形PECF是矩形是矩形, PC=EF. AP=PC. AP=EF. 课堂检测课堂检测 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 四边形四边形ABCD是正方形，以正方形是正方形，以正方形ABCD的一边作等边的一边作等边ADE， 求求BEC的大小的大小 解：解：当等边当等边ADE在正方形在正方形ABCD外部时外部时，如图，如图， ABAE，BAE9060150. AEB15. . BEC60151530； 课堂检测课堂检测 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 同理可
19、得同理可得DEC15. 当等边当等边ADE在正方形在正方形ABCD内部时内部时，如图，如图， ABAE，BAE906030， AEB75. 同理可得同理可得DEC75. BEC360757560150. 综上所述，综上所述，BEC的大小为的大小为30或或150. . 课堂检测课堂检测 1. .四个角都是四个角都是直角直角 2. .四条边都四条边都相等相等 3. .对角线对角线相等且互相垂直平分相等且互相垂直平分 正方形正方形的定的定 义和性质义和性质 性质性质 定义定义 有一组有一组邻边相等邻边相等，并且有一个角，并且有一个角 是是直角直角的平行四边形叫做正方形的平行四边形叫做正方形. . 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
