1、弧长和扇形面积 九年级数学 24.4 弧长和扇形面积 1理解弧长公式和扇形面积公式，并会计算弧长和扇形面积 2在弧长公式、扇形面积公式的探究过程中，体会转化、类比的数学思 想 学习目标： 1.半径为 R 的圆的周长和面积如何计算？ 一、复习回顾 2 =SR O R 2.什么是弧？什么是扇形？ C=2R 同学们再见！ 1 360 圆周长的 问题 1 我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分如 何计算弧长？ 二、探究新知 （1）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长？ （2） 的圆心角所对的弧长是多少？ 的圆心角所对弧长的 n 倍 （3） 的圆心角所对的弧长是多少？ 360 1 n 1
2、 （4）当半径为 R 时，你会计算 的圆心角所对的弧长吗？ （5）当半径为 R ，圆心角为 时，你能计算出弧长是多少吗？ 180 R ln即 180 n R l ，弧长公式 弧长的大小与 哪些量有关？ 问题 1 我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分如 何计算弧长？ 二、探究新知 1 n 的圆心角所对弧长是圆周长的 ，即 1 360 1 2 360180 R R1 1、已知扇形的圆心角为30，半径为2， 求这个扇形的弧长 2、已知圆弧的弧长为2cm，圆心角为 30，求此圆弧的半径。 3、已知圆弧的弧长为2cm，半径为 2cm，求此圆弧的圆心角。 三三、学以致用 管道的中心线由线段 A
3、C 、线段 BD 和 AB 三部分组成，所以它的展直长度 L 等于 线段 AC 、线段 BD 与 AB 的长度之和 例 1 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料， 试计算图中所示的管道的展直长度 L (结果取整数) 分析： 三三、学以致用 解：由弧长公式，得 AB 的长 因此所要求的展直长度 270015702 970L （mm） 三、学以致用 （mm）1570 500 100900 180 l 例 1 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料， 试计算图中所示的管道的展直长度 L (结果取整数) 1、扇形的面积 扇形的面积与圆的半径和扇形的圆心角的大小有关
4、 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成图形的大小叫做扇形的面积 扇形的面积与 什么因素有关？ o A B o A B o A B C 四、探究与发现 所以圆心角是 的扇形面积是圆面积 的 ，即 ， 1 360 2 360 R 在半径为 R 的圆中， 的圆心角所对的扇形的面积就是圆的面积 ， 2 R 则圆心角是 的扇形面积为 2 360 n R S扇形 问题 2 由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分你能类比 刚才我们研究弧长公式的方法推导出扇形面积的计算公式吗？ 2 R 扇形面积公式 四、探究与发现 1 360 n 1、已知扇形的圆心角为30，半径为2， 求这个扇形的面积S 2、已
5、知半径为2的扇形，面积为2， 求它的圆心角的度数 3、已知：扇形的弧长为2cm，半径为 2cm，求扇形的面积 4、已知：扇形的弧长为2cm，半径为 2cm，求扇形的面积 小试牛刀练一练 问题 3 比较扇形面积公式 和弧长公式 ，你能用 弧长表示扇形面积吗？ 180 n R l 1802 n RR 其中 l 为扇形的弧长，R 为半径 2 360 n R S扇形 2 360 n R S扇形 2 R l 所以 ， 1 2 lRS扇形 扇形面积公式 ， 四、探索与发现四、探索与发现 思考： 例 2 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6 m，其中水面 高 0.3 m求截面上有水部分的面积（
6、结果保留小数点后两位） （1）你能在图中标出截面半径和水面高吗？ S S扇形 - S三角形 o D BA C （2）如何求截面上有水部分的面积？ S 五、应用提升 如图，连接 OA，OB，作弦 AB 的垂直平分线， 垂足为 D，交 AB 于点 C，连接 AC. 解： AC AO OC. OC 0.6 m，DC 0.3 m， OD OC - DC 0.3（ m ）. OD DC. 又 AD DC， AD 是线段 OC 的垂直平分线. o D BA C 五、应用提升 例 2 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6 m，其中水面 高 0.3 m求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位
7、） ( m2 ). 有水部分的面积 S S扇形 OAB - SOAB 2 1201 0.6 3602 AB OD- 1 0.120.630.3 2 - 0.22 o D BA C 五、应用提升 例 2 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6 m，其中水面 高 0.3 m求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位） 答：截面上有水部分的面积约为 0.22 m2. 从而 AOD ， AOB .60120解： 8080 8.5 33 3.14 R 81 12 180 R 1. 如图，有一段弯道是圆弧形的，道长是 12 m，弧所对的圆心角是 ，这段圆弧所在圆的半径 R 是多少米（结果保留
8、小数点后一位）？ 六、巩固练习 解：根据题意，由已知及弧长公式得 所以 故这段弧所在圆的半径约为 8.5 米 ( m ) 81 2. 如图，正三角形 ABC 的边长为 ，D ，E ，F 分别为 BC ，CA ，AB 的中点，以 A ，B ，C 三点为圆心， 长为半径作圆求图中阴影部分的面 积 A BCD EF 连接 AD ，由题意得 所以 ， 则图中阴影部分的面积为 六、能力提升 解： a 2 a 2 a CD ACa 22 3 ( ) 22 a ADaa- 2 2 60 ( ) 132 3 2 3 223608 a aaa - - 你还能求出阴影部分的周长吗？阴影部分的周长吗？ 七、课堂小结
9、 扇形面积公式: 2 360 n R S扇形 1. 弧长公式和扇形面积公式是什么？ 弧长公式: 180 n R l ， 1 2 lRS扇形 七、课堂小结 2. 我们是如何得到这两个公式的？ 在半径为 R 的圆中， 的圆心角所对的 弧长为圆的周长2R 的圆心角所 对的弧长为 180 R 的圆心角所 对的弧长为 180 n R 的圆心角所对的 扇形面积为圆面积 2 R 圆心角为 的 扇形面积为 2 360 R 圆心角为 的 扇形面积为 2 360 n R 360 360 1 1n n 七、课堂小结 3. 在本节课的学习过程中，你经历了哪些数学活动？ （1）在研究扇形面积公式时，我们是类比弧长公式的研究过程展开的； （2）在计算不规则图形的面积时，要把它转化为规则图形的面积来解决； 八、布置作业 教科书第 115 页习题 24.4 的第 1 题、第 2 题和第 4 题
