1、2.7抛物线及其方程 2.7.1抛物线的标准方程 学 习 任 务核 心 素 养 1理解抛物线的定义、标准方程及其推 导过程(重点) 2 掌握抛物线的定义及其标准方程的应 用(难点) 1 通过抛物线的定义、 标准方程的学习， 培养数学抽象、直观想象素养 2借助于标准方程的推导过程，提升逻 辑推理、数学运算素养 在某电视剧中敌我双方都曾使用一种单兵便携式火炮迫击炮，迫击炮是 一种曲射炮，发射后炮弹先飞向空中，飞过一个抛物线形的弹道后再砸向地面， 很难防，地面上要防迫击炮的工事就必须是有顶盖的对于躲在战壕中的敌人， 迫击炮的密集发射无疑是一场灾难因此研究抛物线是很有必要的，这节课我们 就要“走入”抛
2、物线看一看迫击炮的弹道曲线 知识点 1抛物线的定义 一般地，设 F 是平面内的一个定点，l 是不过点 F 的一条定直线，则平面上到 F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线， 其中定点F称为抛物线的焦点， 定直线 l 称为抛物线的准线 1平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线 吗？ 提示不一定当直线 l 经过点 F 时，点的轨迹是过定点 F 且垂直于定直线 l 的一条直线；l 不经过点 F 时，点的轨迹是抛物线 1已知动点 M 的坐标满足方程 5 x2y2|3x4y12|，则动点 M 的 轨迹是() A椭圆B双曲线C抛物线D圆 C方程 5 x2y2|3x4y12|可化为
3、x2y2|3x4y12| 5 ，它表示点 M 到坐标原点 O 的距离等于它到直线 3x4y120 的距离，由抛物线的定义，可 知动点 M 的轨迹是抛物线故选 C 知识点 2抛物线的标准方程 图形标准方程焦点坐标准线方程 y22px(p0) p 2，0 xp 2 y22px(p0)p 2，0 xp 2 x22py(p0)0，p 2 yp 2 x22py(p0)0，p 2 yp 2 2确定抛物线的标准方程时，一般需要确定几个量？ 提示：确定两个量，一个是 p，另一个是一次项系数的正负 3已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？ 提示一次项变量为 x(或 y)，则焦点在 x 轴(或
4、 y 轴)上；若系数为正，则焦 点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上焦点确定，开口方向也随之确定 2思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)标准方程 y22px(p0)中的 p 的几何意义是焦点到准线的距离 () (2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定() 答案(1)(2) 提示(1)抛物线的标准方程中 p(p0)即为焦点到准线的距离 (2)一次项决定焦点所在的坐标轴，一次项系数的正负决定焦点是在正半 轴还是负半轴上 3抛物线 yax2的准线方程是 y2，则实数 a 的值为() A1 8 B1 8 C8D8 B由 yax2，得 x21 ay， 1 4a2，a 1 8 类
5、型 1求抛物线的标准方程 【例 1】求满足下列条件的抛物线的标准方程 (1)过点 M(6，6)； (2)焦点 F 在直线 l：3x2y60 上 解(1)由于点 M(6，6)在第二象限， 过 M 的抛物线开口向左或开口向上 若抛物线开口向左，焦点在 x 轴上， 设其方程为 y22px(p0)， 将点 M(6，6)代入，可得 362p(6)， p3 抛物线的方程为 y26x 若抛物线开口向上，焦点在 y 轴上，设其方程为 x22py(p0)， 将点 M(6，6)代入可得，362p6，p3， 抛物线的方程为 x26y 综上所述，抛物线的标准方程为 y26x 或 x26y (2)直线 l 与 x 轴的
6、交点为(2，0)， 抛物线的焦点是 F(2，0)， p 22，p4， 抛物线的标准方程是 y28x 直线 l 与 y 轴的交点为(0，3)， 即抛物线的焦点是 F(0，3)，p 23，p6， 抛物线的标准方程是 x212y 综上所述，所求抛物线的标准方程是 y28x 或 x212y 求抛物线的标准方程主要利用待定系数法，其步骤为： 1依据条件设出抛物线的标准方程的类型； 2求参数 p 的值； 3确定抛物线的标准方程. 提醒：当焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设 y2ax 或 x2aya0 的形式，以简化讨论过程. 跟进训练 1 已知抛物线顶点在原点， 对称轴是 x 轴， 点 P(5， 2
7、5)到焦点的距离为 6， 求抛物线的标准方程 解设焦点 F(a，0)，|PF| a52206， 即 a210a90，解得 a1，或 a9 当焦点为 F(1，0)时，p2，抛物线的开口向左，其方程为 y24x；当焦 点为 F(9，0)时，p18，抛物线开口向左，其方程为 y236x 类型 2抛物线定义的应用 【例 2】 (对接教材人教 B 版 P153例 3)若位于 y 轴右侧的动点 M 到 F 1 2，0的 距离比它到 y 轴的距离大1 2求点 M 的轨迹方程 抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，这句话的含义是什么？ 提示抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为 M；一个 定点
8、F，即抛物线的焦点；一条定直线 l，即为抛物线的准线；一个定值，即点 M 与点 F 的距离和 M 到 l 的距离之比等于 1定点 F 不能在直线上，否则，动点 M 的轨迹就不是抛物线 解由于位于 y 轴右侧的动点 M 到 F 1 2，0的距离比它到 y 轴的距离大1 2， 所以动点 M 到 F 1 2，0的距离与它到直线 l：x1 2的距离相等 由抛物线的定义知动点 M 的轨迹是以 F 为焦点，l 为准线的抛物线(不包含原 点)，其方程应为 y22px(p0)的形式，而p 2 1 2， 所以 p1，2p2，故点 M 的轨迹方程为 y22x(x0) 1 (变换条件， 改变问法)若本例中点 M 所
9、在轨迹上一点 N 到点 F 的距离为 2， 求点 N 的坐标 解设点 N 的坐标为(x0，y0)，则|NF|2，即 x01 2 2 y204，又由例题 的解析知点 M 的轨迹方程为 y22x(x0)，故 y202x0， 由可得 x03 2， y0 3， 或 x03 2， y0 3， 故点 N 的坐标为 3 2， 3或 3 2， 3 2(变换条件，改变问法)若本例中增加一点 A(3，2)，其他条件不变，求|MA| |MF|的最小值，并求出点 M 的坐标 解如图， 由于点 M 在抛物线上， 所以|MF|等于点 M 到其准线 l 的距离|MN|， 于是|MA|MF|MA|MN|， 所以当 A， M，
10、 N 三点共线时， |MA|MN|取最小值， 亦即|MA|MF|取最小值， 最小值为 31 2 7 2 这时点 M 的纵坐标为 2，可设 M(x0，2)， 代入抛物线方程得 x02，即 M(2，2) 抛物线定义的 2 种应用 (1)实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于 它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从 而简化某些问题 (2)解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时， 往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题 跟进训练 2已知圆 C 的方程为 x2y210 x0，求与 y 轴相切且与圆 C 外切
11、的动圆圆 心 P 的轨迹方程 解设点 P 的坐标为(x，y)，动圆的半径为 R， 动圆 P 与 y 轴相切，R|x| 动圆与定圆 C：(x5)2y225 外切，|PC|R5，|PC|x|5 当点 P 在 y 轴右侧时，x0，则|PC|x5， 点 P 的轨迹是以(5，0)为焦点的抛物线，则圆心 P 的轨迹方程为 y220 x(x 0) 当点 P 在 y 轴左侧时，x0，则|PC|x5，此时点 P 的轨迹是 x 轴的负半 轴，即方程为 y0(x0) 点 P 的轨迹方程为 y220 x(x0)或 y0(x0) 类型 3抛物线的实际应用 【例 3】 (1)探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分， 光源在
12、抛物线的焦点 处，已知灯口直径是 60 cm，灯深 40 cm，则光源到反光镜顶点的距离是() A11.25 cmB5.625 cmC20 cmD10 cm (2)某抛物线形拱桥跨度是 20 米，拱桥高度是 4 米，在建桥时，每 4 米需用一 根支柱支撑，求其中最长支柱的长 (1)B如图， 建立直角坐标系，设抛物线方程是 y22px(p0)A(40，30)在抛物线上， 3022p40，p45 4 ， 光源到反光镜顶点的距离为 p 2 45 4 2 45 8 5.625(cm) (2)解如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为 x22py(p0)依题意 知，点 P(10，4)在抛物线上， 1002p
13、(4)，2p25 即抛物线方程为 x225y 每 4 米需用一根支柱支撑， 支柱横坐标分别为6，2，2，6 由图知，AB 是最长的支柱之一 设点 B 的坐标为(2，yB)，解得 yB 4 25，点 A 的坐标为(2，4)，|AB|y B (4) 4 2543.84， 最长支柱的长为 3.84 米 求抛物线实际应用的步骤是什么？ 提示(1)建立适当的坐标系 (2)设出合适的抛物线方程 (3)通过计算求出抛物线的标准方程 (4)求出需要求出的量 (5)还原到实际问题中，从而解决实际问题 跟进训练 3河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶 5 m 时，水面宽为 8 m，一小船 宽 4 m，高 2 m，
14、载货后船露出水面上的部分高 0.75 m，则水面上涨到与抛物线形 拱桥顶相距多少米时，小船开始不能通航？ 解如图所示， 以拱桥的拱顶为原点， 以过拱顶且平行于水面的直线为 x 轴， 建立平面直角坐标系 设抛物线方程为 x22py(p0)，由题意可知点 B(4，5)在抛物线上，故 p 8 5，得 x 216 5 y 当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航， 设此时船面宽为 AA，则 A(2，yA)， 由 2216 5 yA，得 yA5 4 又知船面露出水面上的部分高为 0.75 m， 所以 h|yA|0.752(m) 所以水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距 2 m 时，小船开始不能通航 1抛物线 y2
15、16x 的焦点坐标为() A(4，0)B(4，0)C(0，4)D(0，4) Ay216x，p8，p 24，开口方向向左， 焦点坐标为(4，0) 2抛物线 y24x 上的点 M(4，y0)到其焦点 F 的距离为() A3B4C5D6 C由抛物线 y24x，得 F(1，0)，如图，|FM|4p 2415 3抛物线的准线方程为 x4，则抛物线的标准方程为() Ax216yBx28y Cy216xDy28x C抛物线的准线为 x4，易知抛物线是开口向右的抛物线设方程为 y2 2px(p0)，则p 24，p8，抛物线方程为 y 216x 4若抛物线 y22px(p0)的焦点与椭圆x 2 6 y 2 2
16、1 的右焦点重合，则实数 p _ 4因为椭圆x 2 6 y 2 2 1，所以 a26，b22， 所以 c2a2b24，故 c2， 所以右焦点为(2，0)，所以p 22，p4 5已知 O 为坐标原点，抛物线 C：y22px(p0)上一点 A 到焦点 F 的距离为 4，若点 M 为抛物线 C 准线上的动点，若MF 3FA ，则 p_ 3作 AE 垂直于准线于 E，设准线与 x 轴的交点为 N，如图， 由抛物线的定义可得|AE|AF|4， 因为MF 3FA ， 所以|MF|3|FA|12， |MA| 16，由相似的性质可得|MF| |MA| |NF| |AE|，即 12 16 |NF| 4 ，所以|
17、NF|3，所以 p3 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1如何看待抛物线中焦点和准线的位置？ 提示焦点在抛物线开口方向的内部，而准线在外部，即“怀抱焦点，背着 准线” 2抛物线方程中参数 p 的几何意义是什么？ 提示抛物线的标准方程中参数 p 的几何意义是： 抛物线的焦点到准线的距 离(即焦准距)，所以 p 的值永远大于 0当抛物线标准方程中一次项的系数为负值 时，不要出现 p0 的错误 3将四种不同位置的抛物线的标准方程进行对比，它们之间有何相同点？有 何不同点？ 提示(1)共同点： a原点在抛物线上；b焦点在坐标轴上； c准线与焦点所在的轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，且它们到原点的距 离等于一次项系数的绝对值的1 4，即 2p 4 p 2 (2)不同点： a当焦点在 x 轴上时，方程的右端为2px，左端为 y2；当焦点在 y 轴上时， 方程的右端为2py，左端为 x2； b开口方向向右(或向上)时，焦点在 x 轴(或 y 轴)的正半轴上，方程的右端取 正号；开口方向向左(或向下)时，焦点在 x 轴(或 y 轴)的负半轴上，方程的右端取 负号
