1、2021 年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷） 数学数学 本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在 答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B)填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴 在答题卡右上角“条形码粘贴处” 。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 28 铅笔在答题卡上对应题目选项 的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不 能答在试卷上， 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目 指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的
2、答案，然后再写上新答案：不 准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一井交回。 1.设集合 M=x|0 x4 ，N=x|? ?x5 ，则 MN= A. x|0 x? ? B. x|? ?x4 C. x|4x5 D. x|0 x5 2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭 年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是 A.该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户比率估计为 6% B.该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率估计为 10% C.估计该地
3、农户家庭年收入的平均值不超过 6.5 万元 D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间 3.已知（? i） ?z = ? + ?i，则 z= A.-1-? ?i B. -1+? ?i C. -? ?+i D. -? ?-i 4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分 记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 L 和小数记数法的数据 V 满足 L=5+lgV。已知某同学视力的五分记录法的数据为 4.9，则其视力的小数记 数法的数据约为（ ? ?1.259） A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6 5.已知F1， F2是
4、双曲线C的两个焦点， P为C上一点， 且F1PF2=60， |PF1|=3|PF2|， 则 C 的离心率为 A. ? ? B. ? ? C. ? D. ? 6.在一个正方体中，过顶点 A 的三条棱的中点分别为 E,F,G.该正方体截去三棱 锥 A-EFG 后，所得多面体的三视图中，正试图如右图所示，则相应的侧视图是 A. B. C. D. 7.等比数列an的公比为 q，前 n 项和为 Sn，设甲：q0，乙:Sn是递増数 列，则 A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8.2020 年 12 月 8
5、 日， 中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 8848.86 （单 位：m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.右图是三角高程测量法的一 个示意图，现有以 A，B, C 三点，且 A，B,C 在同一水平而上的投影 A,B， C满足? = 45,?= 6.由 c 点测得 B 点的仰角为 15，曲，B? 与 C?的差为 100 :由 B 点测得 A 点的仰角为 45，则 A,C 两点到水平面? 的高度差 A? ?约为（ ? ?.?） A.346B.373C. 446D.473 9.若 （, ? ? ?,tan? = cos? ?sin?，则tan? = A. ?5 ?5 B. 5 5 C.
6、 5 ? D. ?5 ? 10.将 4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为 A.? ? B. ? 5 C. ? ? D. 4 5 11.已知 A,B,C 是半径为 1 的求 O 的球面上的三个点，且 ACBC,AC=BC=1，则三 棱锥 O-ABC 的体积为 A. ? ? B. ? ? C. ? 4 D. ? 4 12.设函数 f(x)的定义域为 R R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当 x ?,? 时，f x = a?+ t.若 f + f ? = 6,则 f ? ? = A. ? 4 B. ? ? C. ? 4 D. 5 ? 二、填空题：本题
7、共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.曲线 y = ?x? x+? 在点（-1，-3）处的切线方程为_。 14.已知向量 a=(3,1)，b=(1,0)，c = a + kb，若 ac，则 k=_。 15.已知 F1，F2 为椭圆 C：x ? ?6 + y? 4 = ? 的两个焦点，P，Q 为 C 上关于坐标原点堆 成的两点，且 PQ = F?F?，则四边形 PF1QF2的面积为_。 16.已知函数 f x = ?cos x + 的部分图像如图所示，则满足条件（f x f ? 4 ? ? 4? ? ? ? 的最小正整数 x 为_。 三、解答題：共 70 分。解答应写出文字说明，证
8、明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求 作答。 （一）必考题：共 60 分。 17. （12 分) 甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台 机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 200 件产品，产品的质量情况统计 如下表： (1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ 能否有 99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异? 附：?= ?t? （a+b） （c+d） （a+c） （b+d） 18. (12 分) 已知数列an的各项均为正数，记 Sn为an的前 n 项和，
9、从下面中选取 两个作为条件，证明另外一个成立. 1数列an是等差数列：数列 S?是等差数列；a2=3a1 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 19. (12 分) 已知直三棱柱 ABC-A1B1C1.中，侧面 AA1B1B 为正方形, AB= BC = 2, E, F 分别 为 AC 和 CC1的中点，D 为棱 A1B1上的点，BF 丄 A1B1. (1) 证明：BFDE； 当为 B1D 何值时，面 BB1C1C 与面 DFE 所成的二面角的正弦值最小？ 20. （12 分） 抛物线 C 的顶点为坐标原点 O,焦点在 x 轴上， 直线 L： x = 1 交 C 于 P， Q 两
10、点, 且 OP 丄 OQ.已知点 M（2,0）,且M 与 L 相切， （1） 求 C , M 的方程； （2） 设 A1,A2,A3,是 C 上的三个点,直线 A1A2, A1A3均与 M 相切，判断 A2A3与 M 的位置关系，并说明理由. 21. （12 分） 己知 a0 且 a1，函数 f（x）=? ? ?（x0）， （1）当 a=2 时，求 f（x）的单调区间； （2）若曲线 y= f（x）与直线 y=1 有且仅有两个交点，求 a 的取值范围. （二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则 按所做的第一题计分。 22. 选修 4 一 4：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲 线 C 的极坐标方程为=2 ?cos. （1）将 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设点 A 的直角坐标为（1,0）,M 为 C 上的动点，点 P 满足AP ? ? =?AM ? ?,写出 P 的轨迹 C1的参数方程，并判断 C 与 C1是否有公共点. 23.选修 4 一 5：不等式选讲（10 分） 已知函数 f（x）=|x-2|， g（x） =|2x + 3|-|2x-1|. （1）画出 f（x）和 y=g（x）的图像； （2）若 f（x+a）g（x）,求 a 的取值范围.
