1、绝密启用前绝密启用前 2021年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项：注意事项： 1.答卷前， 考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 .如需改动， 用橡皮 擦干净后， 再选涂其他答案标号， 回答非选择题时， 将答案写在答题卡上， 写在本试卷上无效。 3.考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回。 一、 选择题： 本题共12小题， 每小题5分， 共60分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求 的。 1. 设集合M =x|0 x4， N =x 1 3 x
2、5 ， 则M N = A. x 0 x 1 3 B. x 1 3 x4 C. x|4x5D. x|00， 乙： Sn是递增数列， 则 A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8.2020 年 12 月 8 日， 中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 8 848.86( 单位： m)， 三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一右图是三角高程测量法的一个示意 图， 现有 A， B， C 三点， 且 A， B， C 在同一水平面上的投影 A， B， C满足ACB= 45， ABC=60由C 点测
3、得B点的仰角为15， BB与CC的差为100； 由B点测 得 A 点的仰角为 45， 则 A， C 两点到水平面 ABC的高度差 AA- CC约为 ( 3 1.732) A. 346B. 373C. 446D. 473 9.若 0, 2 ， tan2= cos 2-sin ， 则tan= A. 15 15 B. 5 5 C. 5 3 D. 15 3 10. 将4个1和2个0随机排成一行， 则2个0不相邻的概率为 A. 1 3 B. 2 5 C. 2 3 D. 4 5 11. 已知 A， B， C 是半径为1的球O的球面上的三个点， 且 AC BC， AC =BC =1， 则三棱锥O- ABC
4、的体 积为 A. 2 12 B. 3 12 C. 2 4 D. 3 4 12. 设函数 f (x)的定义域为R R， f (x+1)为奇函数， f (x+2)为偶函数， 当 x1,2时， f (x)=ax2+b若 f (0)+ f(3)=6， 则 f 9 2 = A. - 9 4 B. - 3 2 C. 7 4 D. 5 2 二、 填空题： 本题共4小题， 每小题5分， 共20分。 13. 曲线 y= 2x-1 x+2 在点(-1,-3)处的切线方程为_ 14. 已知向量a =(3,1)， b =(1,0)， c =a +kb 若a c ， 则k =_ 理科数学试题第2页 （共4页） 15.
5、已知F1， F2为椭圆C：x 2 16 + y2 4 =1的两个焦点， P， Q为C 上关于坐标原点对称的两点， 且|PQ|=|F1F2|， 则四边形PF1QF2的面积为_ 16. 已知函数 f (x) = 2cos(x + ) 的部分图像如图所示， 则满足条件 f(x)- f - 7 4 f(x)- f 4 3 0的最小正整数x为_ 三、 解答题： 共70分。解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第22、 23为选考题。考生根据要求作答。 (一)必考题： 共60分。 17. (12分) 甲、 乙两台机床生产同种产品， 产品按质量分为一级品
6、和二级品， 为了比较两台机床产品的质量， 分别 用两台机床各生产了200件产品， 产品的质量情况统计如下表： 一级品二级品合计 甲机床15050200 乙机床12080200 合计270130400 (1)甲机床、 乙机床生产的产品中一级品的频率分别为多少？ (2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？ 附： K2= n(ad -bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ， P(K2k)0.0500.0050.001 k3.8416.63510.828 18. (12分) 已知数列an的各项均为正数， 记Sn为an的前n项和， 从下面中选取两个作为条件， 证
7、明另外 一个成立： 数列an是等差数列； 数列 Sn是等差数列； a2=3a1 注： 若选择不同的组合分别解答， 则按第一个解答计分 19. (12分) 已知直三棱柱 ABC - A1B1C1中， 侧面 AA1B1B为正方形， AB= BC =2， E， F 分别为 AC 和CC1的中点， D为棱 A1B1上的点， BF A1B1 (1)证明： BF DE； (2)当B1D为何值时， 面BB1C1C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小？ 理科数学试题第3页 （共4页） 20. (12分) 抛物线C 的顶点坐标为原点O， 焦点在 x轴上， 直线l： x=1交C 于P， Q两点， 且OPOQ已知
8、点M (2,0)， 且M 与l 相切 (1)求C， M 的方程； (2)设 A1， A2， A3是C 上的三个点， 直线 A1A2， A1A3均与M 相切判断直线 A2A3与M 的位置关系， 并说明理由 21. (12分) 已知a0且a1， 函数 f(x)= xa ax (x0) (1)当a=2时， 求 f(x)的单调区间； (2)若曲线 y= f(x)与直线 y=1有且仅有两个交点， 求a的取值范围 (二)选考题： 共10分。请考生在第22、 23题中任选一题作答。如果多做， 则按所做的第一题计分。 22. 选修4-4： 坐标系与参数方程(10分) 在直角坐标系 xOy中， 以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C 的极坐标方程为 = 2 2cos (1)将C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)设点 A的直角坐标为(1,0)， M 为C 上的动点， 点 P 满足AP =2AM ， 写出 P 的轨迹C1的参数方程， 并判断C 与C1是否有公共点 23. 选修4-5： 不等式选讲(10分) 已知函数 f(x)=|x-2|， g(x)=|2x+3|-|2x-1| (1)画出 y= f(x)和 y=g(x)的图像； (2)若 f(x+a)g(x)， 求a的取值范围 理科数学试题第4页 （共4页）
