1、第二模块 函数 (必修1:第一章 函数概念;第二章 基本 初等函数();第三章 函数的应用) 第四讲 函数及其表示 回归课本 1.函数的概念 设集合A,B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使 对A中的任意一个数x,在集合B中,都有唯一确定的数f(x)和 它对应,那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数,记 作y=f(x),xA.其中x叫做自变量,自变量的取值范围叫做 这个函数的定义域.自变量取值a,则由法则f确定的值y称为 函数在a处的函数值,记作y=f(a).所有函数值构成的集合 y|y=f(x),xA叫做这个函数的值域. 2.构成函数的要素:定义域 对应关系 值域. 3.两个
2、函数的相等 当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数 才是同一个函数. 4.常用的函数表示法 (1)解析法;(2)列表法;(3)图象法. 5.分段函数 在函数的定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有着不同的 对应法则,这样的函数通常叫做分段函数. 6.映射的概念 设A B是两个非空集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对 于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的 元素y与之对应,那么就称f为从集合A到集合B的一个映射, 记作“f:AB”. 考点陪练 1.下列函数中与函数y x x0 相等的是 x2 2 B.y A.y ( x) x 33 D.y x 2 C.y x 解
3、析:当两个函数的解析式和定义域完全相同时,这两个函数 相等.同时满足这两个条件的只有A,B中x0,C中xR,D中 xR. 答案:A 2.设集合M=x|0 x2,N=y|0y2,则在下面4个图形中,能 表示集合M到集合N的函数关系的有( ) A. C. B. D. 解析:由函数的定义易知成立,故选C. 答案:C 3.下列函数中是相等函数的为 A. f (x) x (x) x(x 1) 2 x 4 B. f (x) , g(x) x 2 x 2 2 C.f x x 2x 1, g t t 2t 1 2 D.f n 2n 1,g n 2n 1 解析:A中f(x)的定义域是x|x0, g(x)的定义域
4、是x|x0或x-1,f(x)与g(x)的定义域不同 ,f(x)与g(x)不是相等函数. 2 x 4 x 2 B中f(x)=的定义域为x|xR,且x2,g(x)的定义 域为R,f(x)与g(x)的定义域不同, f(x)与g(x)不是相等函数. C中f(x)、g(t)虽然自变量用不同的字母表示,但定义域 对应 关系都相同,所以f(x)、g(t)表示相同函数. D中f(n)、g(n)的对应关系不同,所以不是相等函数. 所以应选C. 答案:C 评析:根据函数的三要素,从定义域 值域 对应关系等方面对 所给的函数进行分析判断. 判断两个函数是否相同,只需判断这两个函数的定义域与对 应关系是否相同.即使定
5、义域和值域都分别相同的两个函 数,它们也不一定是相等函数,因为定义域 值域不能唯一地 确定函数的对应关系. 此外,两个函数是否相同与自变量用什么字母表示无关. 4.已知集合A=(x,y)|y=f(x),x-1,2,集合B=(x,y)|x=0,则 AB的子集的个数是( ) A.0 C.2 B.1 D.不确定 解析:函数f(x)定义在-1,2上,所以由函数定义知当x=0时有唯 一的y与之对应,即直线x=0与函数图象有唯一交点,故AB 中有一个元素,有2个子集.故选C. 答案:C 5.已知映射f:AB,其中集合B=-2,0,4,10,集合B中的元素都 是集合A中的元素在映射f下的对应元素,且对任意的
6、aA, 在B中和它对应的元素是(a+1)(a-2),那么集合A中元素的 个数最多可能是( ) A.4 C.8 B.6 D.10 解析:当(a+1)(a-2)=10时,得a=4,-3;当(a+1)(a-2)=4时,得a=3,- 2;当(a+1)(a-2)=0时,得a=2,-1;当(a+1)(a-2)=-2时,得a=0,1, 所以根据映射的定义知集合A中元素最多可能有4,-3,3,- 2,2,-1,0,1,一共8个,故选C. 答案:C 类型一函数的基本概念 解题准备:(1)函数是指两个非空数集A B之间的一种对应关 系,它要求集合A中的任意一个数,在集合B中都有唯一的数 f(x)与之对应;(2)两
7、个函数相等是指函数的三要素相同,由 于函数的值域是由定义域和对应关系唯一确定,因此只需 判定定义域与对应关系是否相同即可. 【典例1】 (1)函数y=f(x),xD与直线x=2交点个数为 _. x 1, x 1 1 x, x 1 2 已知命题p :f x x 1 与f x 是相等函数;命题q :f x x 1与f x x 1 是 相等函数,则命题p q是_ 命题 (填“真”或“假” ). 解析 (1)当x=2D时,根据函数定义A中任何一个自变量在 B中都有唯一元素和它对应,即有且只有一个交点;当x=2 D时,无交点. (2)命题p中两函数的定义域不同,p是假命题,命题q中两函数 对应关系不同,
8、q也是假命题,所以pq是假命题. 反思感悟 两个函数的定义域 值域和对应关系中有一个不 同,它们就不表示相等的函数. 答案 (1)0个或1个 (2)假 类型二求函数的解析式 解题准备:求函数解析式的常用方法有:(1)配凑法;(2)换元法 ;(3)待定系数法;(4)消元法等. 1 x 1 【典例 】 配凑法 已知 求 2 1 () f x x 3, f x ; 3 x 2 x 2 (换元法)已知f 1 lgx,求f x ; 3 (待定系数法)已知f x 是一次函数,且满足 3f x 1 2f x 1 2x 17,求f x ; 1 x 4 (方程思想)已知f x 满足2 f (x) f 3x,求f
9、 x . 3 1 x 1 1 1 3 1解x3 x3 x , x x x f x x 3x(x 2 x 2). 3 或 222 2 令 1 t(t 1),则x ,f t lg , xt 1 t 1 2 f (x) lg (x 1) . x 1 3 设f x ax b a 0 ,则3f x 1 2f x 1 3ax 3a 3b 2ax 2a 2b ax b 5a 2x 17, a 2, b 7,f x 2x 7. 1 1 4 2f x f 3x,把中的x换成 ,得 x x 1 33 2 f f (x) ,2 得3f x 6x , x xx 1 f x 2x (x 0). x 类型三分段函数 解题
10、准备:(1)对于分段函数,一定要明确自变量所属的范围,以 便于选择与之相应的对应关系; (2)分段函数体现了数学的分类思想,相应的问题处理应分段 解决. x 2, x 2 且f 2 1,则 【典例3】设f x 2 logt(x 1) , x2 f(f( 5 )的值为_ . 分析 先根据f(2)=1求出解析式中参数t的值,再进一步求 f ( f 5 ) 的值. 解析 由于当 时 2 且 x 2 f x log x 1 , f 2 1, t 2 所以log 2 1 1, log 3 1,解得t 3.这时f x tt x 2,2 于是f ( 5) log ( 5) 1 log 4, 2 33 2 l
11、og (x 1), x2. 3 所以 log 4 2, f (f ( 5 ) f log 4 2 log 4 3 4 8. 且 33 答案 8 反思感悟 对于分段函数给定自变量求函数值时,应根据自 变量的范围,利用相应的解析式直接求解;若给定函数值求 自变量,应根据函数每一段的解析式分别求解,但应注意检 验该值是否在相应的自变量取值范围之内. 探究 某市某种类型的出租车,规定3千米内起步价8元(即行 程不超过3千米,一律收8元).若超过3千米,除起步价外,超过 部分再按1.5元/千米收费计价,若乘客与司机约定按四舍五 入以元计费不找零钱,下车后乘客付了16元,则乘客乘车里 程的范围是_.(单位
12、:千米) 解析设乘客乘车里程为x千米,计价为y元,由题意可知: 0 x 38, y 8 (x 3)1.5, x 3 26 由15.58 x 3 1.5 16.5,解得8x . 3 26 答案 8, 3 类型四抽象函数 解题准备:抽象函数是一个难点,解决抽象函数问题,要全面应 用所具有的性质展开解题思路,通常方法是赋值法,并善于 根据题目条件寻找该函数模型,帮助探求解题思路和方法. 【典例4】 已知函数对任意的实数a,b,都有f(ab)=f(a)+f(b) 成立. (1)求f(0),f(1)的值; 1 x (2)求证: f f (x) 0(x 0); (3)若f(2)=m,f(3)=n(m,n均
13、为常数),求f(36)的值. 解 (1)对a,bR,有f(ab)=f(a)+f(b), 令a=b=0,得f(0)=f(0)+f(0), f(0)=0. 令a=b=1,得f(1)=0. 1 2 当x 0时, x 1 x 1 x 于是f 1 f x) f 0, 1 f f (x) 0. x 3m, f 3 n, 2 2 f 36 f 2 f 3 2f 2 2f 3 2 m n . 错源一换元不等价 2 x 1 x 1 【典例1】若f 1, 2 x x 求f x 的解析式. x 1 111 t 1 错解 1 ,设1 t,则x , xxx 1 x 1 2 所以 即 f 11 2 1, f t 2 t
14、1 t 2t 3, 2 x f x 所以 的解析式为 f x x 2x 3 x R . 2 剖析 错解中采用了换元法,但换元前后变量取值范围不相 等,所以错解中f(x)定义域为R是错的,f(x)定义域应为变量t 的取值范围. x 1111 正解1 ,设1 t,则t 1, x , t 1 xxx 1 x 1 2 所以 即 f 1 1, f t 2 t 1 t 2t 3 t 1 ,1 2 2 x 2 f x x 2x 3 x 1 . 所以f x 的解析式为 评析在应用换元法时应注意,换元后函数的形式变了但其实 质并没有发生变化,所以新元的取值范围必须由原来的变量决 定. 错源二 解析式化简不等价导
15、致函数定义域变大 1 x 1 【典例2】若函数f x ,则函数y f f x 的定义 域为_ . 1 x 1 1 1x 1 x 2 ,f f x f 错解, 1 x 1 1 x 1 故函数y f f x 的定义域是 x | x R,x 2 . 剖析 本题的错误在于盲目地对函数解析式进行化简,导致 扩大了自变量x的取值范围. 1 x 1 1 正解因为f x ,所以f f x , 1 1 x 1 x 1 0, 因此要使函数有意义,应满足 1 0 ,1 x 1 即x 1,且x 2,于是函数的定义域是 x | x R,x 1且x 2 . 答案 x|xR,x-1且x-2 技法 求函数解析式的方法 一 特
16、殊值法 【典例1】 已知对一切x,yR,关系式f(x-y)=f(x)-(2x-y+1)y 都成立,且f(0)=1,求f(x). 解题切入点 由f(x-y)=f(x)-(2x-y+1)y对一切x,yR都成立, 可根据需要对x,y进行赋值,本题可令x=0. 解 因为f(x-y)=f(x)-(2x-y+1)y对一切x,yR都成立.所以令 x=0, 得f(-y)=f(0)-(1-y)y, 又f(0)=1,所以f(-y)=y2-y+1, 再令x=-y,得f(x)=x2+x+1. 方法与技巧 当所给函数的等式中有两个变量时,可对这两 个变量交替用特殊值代入或使这两个变量相等代入,再用 已知条件,可求出未知
17、的函数. 二 配凑法 1 x 1 3 2 ,求f x 的解析式. 【典例2】已知f 1 2 x x x 解题切入点由函数定义,通过恒等变形将已知式的右边 2 x 1 3 配凑为1 的表达式. x x 1 2 x 1 x 1 3 2 2 1 1 解因为f 1 1 2 2 x x x x x x 1 1 11 1 2 1 1, (其中 0,故1 1) x x xx f x x x 1 x 1 . 所以 2 方法与技巧 已知fg(x)=h(x),求f(x)的问题,可先用g(x)表 示h(x),然后再将g(x)用x代替,即得f(x)的解析式. 三 换元法 【典例3】已知f (1 2 x) 2x x,求
18、函数f x 的解析式. 解题切入点把f (1 2 x)中的1 2 x换成另一个字母t 来表示函数的自变量,再把x用t表示出来,代入已知式, 得到关于t的函数式,即是所求函数解析式. 2 (t 1) 解令1 2 x t,则x (t1). 4 2 2 (t 1) t 1 t t 所以f t ( t1) , 222 2 x x 从而f x x1 . 2 方法与技巧 若已知条件中没有给出函数的具体解析式,但 给出了函数的某种关系,可结合整体思想采用换元法,把解 析式的某一部分设为一个变量进行求解,注意新变量的范 围. 四 待定系数法 【典例4】 已知f(x)是二次函数,且f(x+1)+f(x-1)=2
19、x2-4x+4, 求f(x). 解 设f(x)=ax2+bx+c, f(x+1)+f(x-1)=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x+4. 对应得a=1,b=-2,c=1. 所以f(x)=x2-2x+1. 方法与技巧 已知函数式的构造模式时可用. 五 转化法 【典例5】 设f(x)是定义在(-,+)上的函数,对一切xR,均 有f(x)+f(x+2)=0,当-1x1时,f(x)=2x-1.求当1x3时,函数 f(x)的解析式. 解 设1x3,则-1x-21. 又对任意的xR,有f(x)+f(x+2)=0. 即f(x+2)=-f(x). 所以f(x-2)=-f(x-2)+2=-f(x). 又
20、-1x-21时, f(x-2)=2(x-2)-1=2x-5. 所以f(x)=-f(x-2)=-2x+5(1x3). 故当x(1,3时,f(x)=-2x+5. 六 消去法 1 x x , 2 【典例 】已知函数f x 满足63 f (x) f 求f x ,并证明f x 3. 4 1 x x 2解因为 3 f (x) f 1 1 1 x2 以 代替式中的x,得 3 f f (x) x x 1 x2 可得 32f x 3x 2 1 1 f x 所以 3x2. 2 2 1 x 2 1 x 又f x 3x 3 3,因此f x 3. 4444 2 七 分段求解法 x 2 x0 【典例7】已知函数f x 2x 1,g x 1 x 0, 求f g x 的解析式. 解题切入点本题是求分段函数的解析式,应按分段 函数的定义分段求解. 2 解当x0时,g x x ,f g x f x 2x 1. 2 2 当x 0时,g x 1,f g x f 1 2 1 1 3. 2 2x 1x0, x 0. 所以f g x 3 方法与技巧若已知f x 满足某个等式,这个等式除 f x 是未知量外,还出现其他未知量(如f x , 1 x 1 f 等),可以用 x, 等代替其中的x从而得到另一等式, x 1 x 解它们组成的方程组,即消去f x 或f , 进而得到f x 的解析式.此法也称解方程组法.
