1、第三十讲数列求和 回归课本 1.公式法 对于等差数列和等比数列,在求和时可直接套用它们的前n项 和公式: n(n 1) n(a a ) 等差数列前n项和公式:S =na +d 1n . n1 22 等比数列前n项和公式: q 1,na ,S = n 1 n a (1 q ) , q 1. 1 1 q 另外,还有一些常见的求和公式: n(n 1) (1)1+2+3+n=, 2 (2)1+3+5+(2n-1)=n2, n(n 1)(2n 1) (3)12+22+32+n2= . 6 2.倒序相加法 一个数列如果距首末两项等距离的两项和相等,那么求这个 数列的前n项和可用倒序相加法.如等差数列前n项
2、和公式 的推导. 3.错位相减法 如果当数列的每一项可分解为两个因式的乘积,各项的第一 个因子成公差为d的等差数列,第二个因子成公比为q的等 比数列,可将此数列前n项的和乘以公比q,然后错项相减从 而求出S . n 4.拆项分组法 把不能直接求和的数列分解成几个可以求和的数列,分别求 和. 5.裂项相消法 把数列的每一项变为两数之差,以便大部分项能“正” “负” 相消,只剩下有限的几项.裂项时可直接从通项入手,并且要 判断清楚消项后余下哪些项,常用的裂项公式为: 11 1 n(n 1) n n 1 (1) 1 1 1 1 (2) (n 1)(n 1) 2 n 1 n 1 3 n1 ! n! 6
3、.并项转化法 有时候把两项并成一项考虑,也可以实现我们的转化目的.通 常适用于数列中各项的符号是正负间隔的情况. 考点陪练 1 1. 设函数 f x x ax f x 2x 1, m 的导函数 则数列 f (n) * 的前 项和是( )nn N n n 1 n n 2 n 1 n 1 n A.B. C.D. n 1 解析 m 1 :f x mx a 2x 1, a 1, m 2, 111 1 f x x x 1 , ,用裂项法求和 f (n) n(n 1) n n 1 n n 1 得S .故选A. n 答案:A 3 2.已知a =(nN*),记数列a 的前n项和为S ,则使 n nn 2n 1
4、1 S 0的n的最小值为() n A.10 C.12 B.11 D.13 3 11 2 解析:构造函数f x ,此函数关于点P ,0 对称, 2x 11 故f 1 f 2 f 10 0,即S 0. 10 当n11时,f n 0, a f 11 0,S 0 .故选B. 1111 答案:B 3.首项为2,公比为3的等比数列,从第n项到第N项的和为720, 则n,N的值分别为( A.2,6 B.2,7 ) C.3,6 D.3,7 解析:由题意知S -S =720, N n-1 N n1 2 (1 3 ) 2(1 3 ) 代入得 720, 1313 解得n=3,N=6,故选C. 答案:C 1 4.数列
5、 a 的前n项和为S ,若a ,则S 等于( ) nnn 5 n(n 1) 5 6 A.1B. C. 1 D. 1 630 11 1 解析: , n n(n 1) n n 1 1 1 1 2 2 3 1 1 1 5 5 6 6 6 S 1 1 . 5 答案:B 5.(2010黄冈中学月考题)化简S =n+(n-1)2+(n- n 2)22+22n-2+2n-1的结果是( ) A.2n+1+n-2 C.2n-n-2 B.2n+1-n+2 D.2n+1-n-2 解析:将S 两边同时乘以2,可以得到:2S =2n+(n-1)22+(n- nn 2)23+22n-1+2n,与S =n+(n-1)2+(
6、n- n 2)22+22n-2+2n-1两边同时相减可得到2S -S =- n n n1 n+(2+22+23+2n-1)+2n=-n+ 2(1 2 ) +2n,S =- n 1 2 n+2n-2+2n=2n+1-n-2.故选D. 答案:D 类型一公式法求和 解题准备:如果数列是等差数列或等比数列等特殊数列时,直 接应用求和公式求解. 6n 5 (n为奇数), 【典例1】已知数列 a ,通项a nn 2n(n为偶数), 求其前n项和S . n 解当n为奇数时, 奇数项组成以a =1为首项,公差为12的等差数列,偶数项组成 1 以a =4为首项,公比为4的等比数列. 2 n 1n1 (1 6n
7、5) n1 4(1 4 ) (n 1)(3n 2) 4(2 1) 2 2 S ; n 21 423 n 当n为偶数时,奇数项和偶数项各有 项. 2 nn (1 6n 5) 1 4 n 4(1 4 ) n(3n 2) 4(2 1) 2 2 S . n 223 类型二分组转化法求和 解题准备:1.有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,但 若把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合,就 能转化为等差数列或等比数列.从而可以利用等差、等比 数列的求和公式解决.这种求和方法叫分组转化法. 2.此类问题求解的关键是要分析研究数列的通项公式. 1 1 【典例2】 (2010 武汉 求下面数列的前n
8、项和:11, 4, a a 2 1 7, 3n 2, n1 a 解前n项和为 1 1 1 3n 2 S 11 4 7 n 2n 1 a a a 1 11 n1 a 1 2 a a 1 1 a a2 1 设S 1 1 n 1 a n a 1 当a 1时,S n;当a 1时,S . 11 n 1 n a a (3n 1)n S 1 4 7 3n 2 . 2 2 (3n 1)n (3n 1)n 当a 1时S S S n ; n12 22 n a 1 (3n 1)n 当a 1时,S S S . n12 n 1 n a a2 反思感悟有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列.若 将这类数列适当拆开,可
9、分为几个等差 等比或常见的数列, 即能分别求和,然后再合并. 类型三裂项相消法求和 解题准备:1.裂项相消法是分解与组合思想在数列求和中的具 体应用,其实质是将数列中的某些项分解,然后重新组合,使 之能消去一些项,最终达到求和的目的. 2.数列中的每一项均能分裂成一正一负两项,这是裂项相消法 1 使用的前提,一般地,形如(其中a 是等差数列)的 n a a n1 n 数列可尝试采用此法.常用的裂项技巧有: 1 1 1 1 (1); n(n k) k n n k 11 (2) (3) ( n k n); n k n k 1 1 11 ; (2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1 11 1
10、1 (4). n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)(n 2) 1 1 2 1 2 3 【典例3】数列1,1 ,1 ,1 , 2 3 3 4 4 4 1 2008 22007 2008 2008 n 1 写出它的通项a ,并说明数列 a 是等差数列; n 1 n 2 设b ,求数列 b 的前n项之和. nan n2 分析准确写出a 的表达式,然后用裂项相消法. n 解 1 a 1 1 1 2 ) n 1 . 1 2n 1 n n nnn2 n 2 n 1 1 , 2 2 因为a a n1n 2 1 所以数列 a 是首项为1,公差为 的等差数列. n 2 14 11 2 因为b 2
11、 , n 1)(n 3) n 1 n 3 an n 所以数列 b 的前n项和为 n 1 1 1 1 1 1 2 4 3 5 4 6 1 1 n n 2 n 1 n 3 1 1 2 1 1 11 2 . 2 3 n 2 n 3 类型四错位相减法求和 解题准备:错位相减法是推导等比数列的前n项和公式时所用 的方法,也是数列求和中经常用到的一种方法. 【典例4】已知数列a 是等差数列,且a =2,a +a +a =12. n1123 (1)求数列a 的通项公式; n (2)令b =a xn(xR).求数列b 的前n项和公式. nnn 分析用错位相减法解(2). 解(1)设数列a 公差为d,则a +a
12、 +a =3a +3d=12, n1231 a =2,d=2,a =2n. 1n (2)令S =b +b +b ,则由b =a xn=2nxn, n12nnn 得S =2x+4x2+(2n-2)xn-1+2nxn. n xS =2x2+4x3+(2n-2)xn+2nxn+1. n 当x1时,减去,得(1-x)S =2(x+x2+xn)-2nxn+1= n 2x(1 x 1 x n ) -2nxn+1, nn1 2x(1 x ) 2nx S = .n 2 1 x (1 x) 当x 1时,S 2 4 2n n n 1 . n n(n 1) , x 1, 综上可得S n n 1 2x(1 x ) 2
13、nx n , x 1. (1 x) 1 x 2 错源一思维定势,数错项数 3 4 【典例1】求数列1, , , n n 1的前n项和S . n n 23n 1 2 2 2 2 n 1 , 错解所给数列的通项公式为a n 2n 2 3 则S n 1 2n n 2 2 2 2 31n 1 S n n 1 23 22 22 12 1 11 n 1 ,得 S n n 1 23n 22 2 22 2 1 1 1 n n 1n 2 2 2 2 1 S 3. 1 nn 1 2n2 1 2 剖析本题的错误原因在于乘公比错位相减后,中间是n-1项 求和,错当成了n项和,对相减后的结构认识不清楚或认识 模糊. n
14、 1 , 正解所给数列的通项公式为a n 2n 2 3 则S n 1 2n n 2 2 2 2 31n 1 S n n 1 23 22 22 11 11 n 1 ,得 S 1 n n 1 23n 22 22 2 1 1 1 n1 2 n 1 3 n 3 2 2 1 1 1 2 n 1 n 1 22 2 n 3 . S 3 n 2n 错源二忽略基本“特征” 【典例2】已知两个等差数列a 和b 的前n项和为S 和T , nnnn a S 5n 3 且对一切正整数n都有试求 , 的 9 值. n b9 T 2n 7 n 错解设S =(5n+3)k,T =(2n+7)k, nn 则a =S -S =(
15、59+3)k-(58+3)k=5k. 99 8 b =T -T =(29+7)k-(28+7)k=2k. 99 8 a 5k 5 . 9 因此 b 2k 2 9 剖析错解忽略了等差数列前n项和公式的基本“特征”.其 实,等差数列的前n项和是关于n的二次函数,且常数项为零. 正解设S =(5n+3)nk,T =(2n+7)nk, nn 那么,a =S -S =(59+3)9k-(58+3)8k=88k, 99 8 b =T -T =(29+7)9k-(28+7)8k=41k, 99 8 a 88k 88 因此9 . b 41k 41 9 技法一分类讨论思想 【典例1】定义“等和数列”:在一个数列
16、中,如果每一项与它 的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数 列,这个常数叫做该数列的公和. 已知数列a 是等和数列,且a =2,公和为5,那么a 的值为 n118 _;这个数列的前n项和S 的计算公式为 n _. 解题切入点本题重点考查同学们在新情境下的独立分析问 题和解决问题的能力. 解析由定义知a +a =a +a =a +a =a +a =5.且 12232k-12k2k2k+1 a =2, 1 所以a =a =a =2, 132k+1 a =a =a =3.所以a =3. 242k18 n nnn5n 当n为偶数时, a 中有 个2, 个3,S 2 3 ; nn 2 222
17、2 n 1 n 1 当n为奇数时, a 中有 个2, 个3, n 22 n 12 3 5n 1.n 1 S n 222 5n (n为偶数), 2 所以S n 5n 1 (n为奇数). 2 5n (n为偶数), 2 答案3S n 5n 1 (n为奇数). 2 技法二函数思想 【典例2】若数列a 的前n项和S =n2-10n(n=1,2,3,),则此 nn 数列的通项公式为_;数列na 中数值最小的项是 n 第_项. 解析当n2时, a =S -S nn n-1 =n2-10n-(n-1)2+10(n-1) =2n-11. 当n=1时,S =a =-9,也满足式. 11 所以a =2n-11. n na =(2n-11)n=2n2-11n. n 11 所以n= 时,na 最小. 4 n 由于nN*,所以n=3时,使得na 最小. n 故通项公式为a =2n-11,数列na 中数值最小的项是第3项. nn 答案a =2n-113 n 方法与技巧本题第一问注意a =S -S 满足n2时,能否合 nn n-1 写成一个通项公式,需要验证n=1的情况.而第二问是利用 二次函数的思想,由于二次函数开口向上,最小值在对称轴 上取得,但是由于nN ,所以最小值在距离对称轴较近的 + 整数n上取得.体现了数列与函数的密切关系.
