1、延庆区 20192020 学年第二学期期末试卷 高 二 数 学2020.7 本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟. 第一部分第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，选出符在每小题给出的四个选项中，选出符 合题目要求的一项合题目要求的一项. 1设全集U R，集合 |1Ax x， |2Bx x，则集合U UA B （A）(,) （B）1,)（C）1,2)（D）(,1)2,) 2焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为3的抛物线的标准方程是 （A） 2
2、12yx（B） 2 3yx（C） 2 6xy（D） 2 6yx 3. 已知向量( ,1)ta，( 2,1)b.若ab，则a的值为 （A）5（B）2（C） 5 2 （D） 2 2 4设 0.2 1 2ln2,( ),lg0.2 2 abc ，则 （A）cba（B）cab（C）abc（D）bac 5. 在下列函数中，定义域为实数集的奇函数为 （A） 3 yx（B） cosyx （C）tanyx（D） x ye 6. 圆 22 4220 xyxy截x轴所得弦的长度等于 （A）2 2（B）2 3（C）4 2（D）2 7已知两条不同的直线, l m和两个不同的平面,，下列四个命题中错误的为 （A）若/l
3、，l，则（B）若/ ，m，则m （C）若m,l且l,则lm（D）若/ ，/m，则/m 8. 已知函数( )sin(0)f xx，则“( )f x在 , 6 3 上单调递减”是“34”的 （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 9将函数( )cos(3) 6 f xx 的图象向左平移 2 个单位长度，得到的图象的函数解析式为 （A）sin(3) 6 yx （B）cos(3) 2 yx （C）cos(3) 6 yx （D）sin(3) 6 yx 10已知函数( )f x的定义域为R，且满足下列三个条件： 对任意的 12 ,5,10 x x ，且
4、12 xx，都有 12 12 ()() 0 f xf x xx ； (10)( )f xf x；(5)f x是偶函数； 若(2020)af，(3)bf，( 18)cf，则a，b，c的大小关系正确的是 （A）abc（B）bac（C）acb（D）cba 第第卷卷（非选择题，共 110 分） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分. 11已知复数 42i i z ，则z 12双曲线)0, 0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x M的离心率为2，则其渐近线方程为. 13数列 n a中， 1 3a =， 1 2 nn aa + =，
5、 * nN. 若其前k项和为93，则k=_. 14在ABC中，4AB 5AC ，6BC ， ，则AC边上的高等于. 15已知函数( ), ( ) x f xeg xkx： 函数( )f x的单调递减区间为(,0)； 若函数( )( )( )F xf xg x有且只有一个零点，则1k ； 若(1, )( ,)kee，则b R，使得函数( )0f xb恰有 2 个零点 1 x， 2 x， ( )0g xb恰有一个零点 3 x，且 123 xxx， 123 1xxx. 其中，所有正确结论的序号是_. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 85 分分.解答应写出文字说明，证明
6、过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分 14 分） 已知 n a是公差为d的无穷等差数列，其前n项和为 n S. 又4d ，且 5 40S ，是否存 在大于1的正整数k,使得 1k SS？若存在，求k的值；若不存在，说明理由. 17.（本小题满分 14 分） 已知函数 2 ( )cos (2sin3cos )3sinf xxxxx （）求函数( )f x的最小正周期和单调递减区间； （）若当 0, 2 x时，关于x的不等式( )f xm有解，求实数m的取值范围 18. （本小题满分14分） 在天猫进行 6.18 大促期间，某店铺统计了当日所有消费者的消费金额
7、（单位：元） ，如图 所示： （）将当日的消费金额超过 2000 元的消费者称为“消费达人”，现从所有“消费达 人”中随机抽取 3 人，求至少有 1 位消费者，当日的消费金额超过 2500 元的概率； （）该店铺针对这些消费者举办消费返利活动，预设有如下两种方案： 方案 1：按分层抽样从消费金额在不超过 1000 元，超过 1000 元且不超过 2000 元， 2000 元以上的消费者中总共抽取 25 位“幸运之星”给予奖励金，每人分别为 100 元、200 元和 300 元 方案 2：每位会员均可参加线上翻牌游戏，每轮游戏规则如下：有 3 张牌，背面 都是相同的喜羊羊头像，正面有 1 张笑脸
8、、 2 张哭脸，将 3 张牌洗匀后背面朝上摆放，每次 只能翻一张且每翻一次均重新洗牌，共翻三次 每翻到一次笑脸可得 30 元奖励金如果消 费金额不超过 1000 元的消费者均可参加 1 轮翻牌游戏；超过 1000 元且不超过 2000 元的消费 者均可参加 2 轮翻牌游戏；2000 元以上的消费者均可参加 3 轮翻牌游戏（每次、每轮翻牌的 结果相互独立） 以方案 2 的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少?并说明理由 19.（本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，2PAAB，1BCCD， 3PC ，E为线段PB上一点（E不是端点） ，_ . (5
9、00,1000 40 30 20 10 0 (0,500(1000,1500 (1500,20002500,3000(2000,2500( 8 20 25 35 8 4 消费金额/元 人数 从CDBC；/ /CD平面PAB；这两个条件中选一个，补充在上面问题中，并完 成解答；注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. （）求证：四边形ABCD是直角梯形； （）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值； （） 是否存在点E， 使得直线/ /AE平面PCD，若存在， 求出 PE PB 的值，若不存在，请说明理由. 20.（本小题满分 15 分） 已知函数 1 ( ) ex x f x . （）求
10、函数( )f x的单调区间； （）求证：当(,0)x 时， 2 1 ( )21 2 f xxx ； （）当0 x 时，若曲线( )yf x在曲线 2 41yaxax 的下方，求实数a的取值范围. 21. （本小题满分 14 分） 已知椭圆 22 22 1(0): xy ab ab C的短轴长为 2，离心率为 3 2 ， 1 A、 2 A分别是椭圆长轴 的左右两个端点，P 是椭圆上异于点 1 A、 2 A的点 （）求出椭圆C的标准方程； （）设点Q满足： 11 QAPA， 22 QAPA求 12 PA A与 12 QA A面积的比值 高二数学答案及评分标准高二数学答案及评分标准2020.7 一、
11、选择题一、选择题： （4 1040） 1.A2.D3 . C4.B5.A6. A7. D8.B9.D10. C 二、填空题二、填空题： （5 525 ）11.2 512.yx ；13.5；14. 3 7 2 ；15. 注：第 15 题全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他得 3 分. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 85 分分. 16.（本小题满分 14 分） 解：存在正整数8k ,使得 1k SS.(此处未写，结论处有，不扣分) 2 分 理由如下： 在等差数列 n a中， 511 54 5510 2 Sadad 5 分 又4d ， 5 40S . 所
12、以由 1 2, 51040 d ad 得 1 16.a 7 分 所以 2 1 (1)(1) 16( 4)218 22 k k kk k Skadkkk .10 分 令 1 16 k SS，即 2 21816kk. 整理得 2 218160kk.解得1k 或8k .12 分 因为1k ，所以8k .（未写 k1 扣一分）14 分 所以当8k 时， 1k SS. 17. (本小题满分 14 分） 解：（）因为 22 ( )=2sincos3cos3sinf xxxxx=sin23cos2xx =2sin(2) 3 x3 分 所以函数( )f x的最小正周期T 4 分 因为函数sinyx的的单调递减
13、区间为 3 2 ,2 , 22 kkkZ， 所以 3 222() 232 kxkkZ ,6 分 解得 7 () 1212 kxkkZ ,7 分 所以函数( )f x的单调递减区间是 7 ,() 1212 kkkZ .8 分 (一个kZ都没写的扣一分) （）由题意可知，不等式( )f xm有解，即 max ( )mf x10 分 由（）可知 ( )=2sin(2) 3 f xx.当0, 2 x 时, 4 2, 333 x ,11 分 故当2 32 x ,即 12 x 时, f(x)取得最大值,最大值为2.13 分 所以2m.故实数m的取值范围是(,2.14 分 18. （本小题满分 14 分）
14、（）解：记“在抽取的 3 人中至少有 1 位消费者消费超过 2500 元”为事件 A.1 分 由图可知，去年消费金额在(2000,2500内的有 8 人，在(2500,3000内的有 4 人， 消费金额超过 2000 元的“消费达人”共有 8+4=12（人） ， 从这 12 人中抽取 3 人，共有 3 12 C种不同方法，2 分 其中抽取的 3 人中没有 1 位消费者消费超过 2500 元，共有 3 8 C种不同方法 所以，( )P A 3 8 3 12 1441 1=1 5555 C C 4 分 （）解：方案 1 按分层抽样从消费金额在不超过 1000 元，超过 1000 元且不超过 200
15、0 元， 2000 元以上的消费者中总共抽取 25 位“幸运之星”，则“幸运之星”中的人数分别为 820 257 100 ， 2535 2515 100 ， 12 253 100 ，5 分 按照方案 1 奖励的总金额为 1 7 100 15 2003 3004600 （元） 6 分 方案 2 设表示参加一轮翻牌游戏所获得的奖励金，则的可能取值为 0，30，60，907 分 由题意，每翻牌 1 次，翻到笑脸的概率为 1 1 1 3 1 3 C P C ，8 分 所以 030 3 218 (0)( ) ( ) 3327 PC， 121 3 214 (30)( ) ( ) 339 PC 212 3
16、212 (60)( ) ( ) 339 PC， 303 3 211 (90)( ) ( ) 3327 PC 所以的分布列为： 10 分 数学期望为 8421 030609030 279927 E（元） ，12 分 按照方案 2 奖励的总金额为 2 (2860 2 12 3) 305520 （元） ，13 分 因为由 12 ，所以施行方案 1 投资较少14 分 19. (本小题满分 14 分） 解： （）选择，连结AC， 因为PA 平面ABCD， 所以PAAC，.1 分 因为2PA ，3PC ，所以 222 5ACPCPA.2 分 因为2AB ，1BC ，所以 222 ACABBC，所以ABBC
17、.3 分 因为CDBC，所以/ /ABCD， 所以四边形ABCD是直角梯形.4 分 选择，连结AC， 因为PA 平面ABCD， 所以PAAC，.1 分 因为2PA ，3PC ，所以 222 5ACPCPA.2 分 因为2AB ，1BC ，所以 222 ACABBC，所以ABBC.3 分 因为/ /CD平面PAB，CD 平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB， 所以/ /ABCD， 所以四边形ABCD是直角梯形.4 分 （）在平面PAC内过C作/ /CFPA,则CF 平面ABCD，由（）知CDBC， 所以以C为原点，,CD CB,CF所在直线分别为, ,x y z轴，建立空间直角坐标系 Cxy
18、z,.5 分 则(0 0 0)C，(1 0 0)D，(0 1 0)B，(2 1 0)A，(2 1 2)P，. 则( 2,0, 2)PB ,(1,0,0)CD ，(2,1,2)CP .6 分 0306090 P8 27 4 9 2 9 1 27 设平面PCD的一个法向量= ()nx y z r ， ，则 0 0 n CD n CP ， ， r uuu r r uur 即 0 220 x xyz 7 分 令1z ，则2y ，0 x ，则= (0 -2 1)n， ， r 8 分 设直线PB与平面PCD所成的角为， 所以 0 ( 2)0 ( 2)1 ( 2)10 sincos, 102 25 PB n
19、 .9 分 所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为 10 10 . （）设(01) PE = PB ，则( 2 02)( 202 )PE=PB ， uuruur 10 分 所以(221 22 )E， ( 2 ,0,22 )AE 11 分 若/ /AE平面PCD， 则0AE n ，12 分 即( 2 )00( 2)(22 ) 10 ， 所以113 分 因为1(0,1)， 所以， 线段PB上不存在点E使得直线/ /AE平面PCD14 分 20. (本小题满分 15 分） （） 因为 1 ( ) ex x f x ， 定义域 R， 所以 2 ( ) ex x fx .2 分 令( )0fx ， 解
20、得2x ， 令( )0fx ， 解得2x 3 分 所 以 函 数( )f x的 单 调 递 增 区 间 为(,2)， 单 调 递 减 区 间 为 (2,)4 分 （）令 22 111 ( )( )2 +121(0) 2e2 x x g xf xxxxxx ，5 分 21e1 ( )=2(2)(1)(2)() eee x xxx x g xxxx .6 分 由0 x 得20 x，e10 x ， 于 是( )0g x ， 故 函 数( )g x在(0),上 是 增 函 数.7 分 所以当(0)x ,时，( )(0)0g xg， 即 2 1 ( )21 2 f xxx . 9 分 （）若曲线( )y
21、f x在曲线 2 41yaxax 的下方，则 2 ( )41f xaxax 10 分 令 22 1 ( )( )4141 ex x h xf xaxaxaxax ，则 21 ( )2 (2)(2)(2) ee xx x xa xxah . 11 分 当 1 2 a 时，解法一：因为0 x ，所以 222 1 21 ( 2 1 41)()(24 ) 2 xxaxaxaxa x 2 11 ()(4 )() (4)0 22 axxax x由（）知 22 1 ( )21 2 41f xxxaxax .13 分 解法二：因为0 x ，所以 20 x ，01 x e ， 1 1 x e ，且 1 2 a
22、，则21a， 1 2 e 0 x a ，所以( )0 xh，)(xh在(0),上是增函数. 所以( )(0)0h xh，符合题 意.13 分 当 1 2 a 时，若 1 ln0 2 x a ，则 1 1 2 x e a ，那么 1 12 x a e ，所以( )0h x ， 则( )h x在 1 (ln0) 2a ，上 是 减 函 数 .所 以 1 (ln0) 2 x a ，时 ，( )(0)0h xh， 不 合 题 意.15 分 综上所述，实数a的取值范围是 1 ( 2 ,. 21. (本小题满分 14 分） （）由题意，得22b， 3 2 c a . 2 分； 又因为 222 abc， 3
23、 分 所以2a ，3c . 4 分；故椭圆E的方程为 2 2 1 4 x y. 5 分 （）因为两个三角形的底边均为 12 A A，所以面积之比等于: pq yy6 分 解法一：由 P 是椭圆上异于点 1 A、 2 A的点可知, 直线 12 ,PA PA的斜率存在且不为 0 设直线 12 PAPA，的斜率分别为, k k，则直线 1 PA的方程为(2)yk x7 分 由 11 QAPA，直线 1 QA的方程为 1 (2)yx k 8 分 将(2)yk x代入 2 2 1 4 x y，得 22 4140kyky， 因为P是椭圆上异于点 12 AA，的点，所以 P y 2 4 41 k k 9 分
24、 所以 2 2 2 4 01 41 24 244 4 2 41 pp P p Pp k yky y k k ykk xykk k k k 11 分 由 22 QAPA，所以直线 2 QA的方程为4 (2)yk x12 分 由 1 (2) 4 (2) yx k yk x ，得 2 16 41 Q k y k 13 分 所以 12 12 2 2 4 1 41 16 4 41 PA A P QA AQ k S y k k Sy k 14 分 解法二：设),( 00 yxP ，则1 4 2 0 2 0 y x ， 2 0 2 0 44yx ，7 分 且2 0 x ， )0 , 2(),0 , 2( 21 AA 因为 2 0 0 1 x y k PA ，8 分 所以 0 0 2 1 y x k QA ， 则直线)2( 2 : 0 0 1 x y x yQA ，9 分 同理直线 )2( 2- : 0 0 2 x y x yQA ，10 分 与联立，解得： 0 2 4 0 y x yQ ， 12 分 将带入，得 0 4yyQ ，13 分 所以 12 12 0 0 1 44 PA A P QA AQ S yy Syy 14 分
