1、4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式同角三角函数基本关系式及诱导公式 考试要求1.理解同角三角函数的基本关系式 sin2cos21，sin cos tan .2.借助单位圆的 对称性，利用定义推导出诱导公式 2，的正弦、余弦、正切. 1同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin2cos21. (2)商数关系：sin cos tan 2k，kZ. 2三角函数的诱导公式 公式一二三四五六 角2k(kZ) 2 2 正弦sin sin sin sin cos cos 余弦cos cos cos cos sin sin 正切tan tan tan tan 口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符
2、号看象限 微思考 1诱导公式记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？ 提示所有诱导公式均可看作 k 2(kZ)和的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指 的是此处的 k 是奇数还是偶数 2同角三角函数关系式的常用变形有哪些？ 提示同角三角函数关系式的常用变形(sin cos )212sin cos ；sin tan cos 等 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若，为锐角，则 sin2cos21.() (2)若R，则 tan sin cos 恒成立( ) (3)sin()sin 成立的条件是为锐角() (4)若 sin 3 2 1 3，则 c
3、os 1 3.( ) 题组二教材改编 2若 sin 5 5 ， 2，则 tan 等于( ) A2B2C.1 2 D1 2 答案D 解析 2，cos 1sin 22 5 5 ， tan sin cos 1 2. 3已知 tan 2，则3sin cos sin 2cos 等于( ) A.5 4 B5 4 C.5 3 D5 3 答案A 解析原式3tan 1 tan 2 321 22 5 4. 4化简 cos 2 sin 5 2 sin()cos(2)的结果为 答案sin2 解析原式sin cos (sin )cos sin 2. 题组三易错自纠 5(多选)已知 Asink sin cosk cos
4、(kZ)，则 A 的值是() A2B1C2D0 答案AC 解析当 k 为偶数时，Asin sin cos cos 2； 当 k 为奇数时，Asin sin cos cos 2. 6已知 sin cos 4 3， 0， 4 ，则 sin cos 的值为 答案 2 3 解析sin cos 4 3，sin cos 7 18. 又(sin cos )212sin cos 2 9， 0， 4 ， sin cos 2 3 . 题型一 同角三角函数基本关系式的应用 1(2021北京市西城区模拟)已知(0，)，cos 3 5，则 tan 等于( ) A.3 4 B3 4 C.4 3 D4 3 答案D 解析因为
5、 cos 3 5且(0，)， 所以 sin 1cos24 5， 所以 tan sin cos 4 3.故选 D. 2已知是三角形的内角，且 tan 1 3，则 sin cos 的值为 答案 10 5 解析由 tan 1 3，得 sin 1 3cos ， 将其代入 sin2cos21，得 10 9 cos21， 所以 cos2 9 10，易知 cos 0， 所以 cos 3 10 10 ，sin 10 10 ， 故 sin cos 10 5 . 3若角的终边落在第三象限，则 cos 1sin2 2sin 1cos2的值为 答案3 解析由角的终边落在第三象限， 得 sin 0，cos 0，cos
6、0， 所以 sin cos 12sin cos 17 13， 联立 sin cos 7 13， sin cos 17 13， 解得 sin 12 13， cos 5 13， 所以 tan 12 5 . 方法二因为 sin cos 7 13， 所以 sin cos 60 169， 由根与系数的关系，知 sin ，cos 是方程 x2 7 13x 60 1690 的两根，所以 x 112 13，x 2 5 13. 又 sin cos 60 1690，cos 0，sin cos 60 1690， 所以 2， 3 4 ，所以 tan 12 5 . 思维升华 (1)利用 sin2cos21 可实现正弦、
7、余弦的互化，开方时要根据角所在象限确定 符号；利用sin cos tan 可以实现角的弦切互化 (2)应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子， 利用(sin cos )212sin cos ，可以知一求二 (3)注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2. 题型二 诱导公式的应用 例 1 (1)在平面直角坐标系 xOy 中，角的终边经过点 P(3,4)，则 sin 2 021 2等于() A4 5 B3 5 C.3 5 D.4 5 答案B 解析由题意知 sin 4 5，cos 3 5， sin
8、2 021 2sin 2 cos 3 5. (2)已知 f() cos 2sin 3 2 costan，则 f 25 3的值为 答案 1 2 解析因为 f() cos 2sin 3 2 costan sin cos cos sin cos cos ， 所以 f 25 3cos 25 3cos 3 1 2. 思维升华 (1)诱导公式的两个应用 求值：负化正，大化小，化到锐角为终了 化简：统一角，统一名，同角名少为终了 (2)含 2整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有 2的整数倍的三角函数式中可直接将 2的整数倍 去掉后再进行运算如 cos(5)cos()cos . 跟踪训
9、练 1 (1)已知 sin 3 12 13，则 cos 6等于() A. 5 13 B.12 13 C 5 13 D12 13 答案B 解析因为 sin 3 12 13， 所以 cos 6sin 2 6 sin 3 12 13. (2)(2020江西临川第一中学等九校联考)已知(0，)，且 cos 15 17，则 sin 2tan( )等于() A15 17 B.15 17 C 8 17 D. 8 17 答案D 解析sin 2tan()cos tan sin ，因为(0，)，且 cos 15 17，所以 sin 1cos21 15 17 28 17，即 sin 2tan() 8 17.故选 D
10、. 题型三 同角三角函数基本关系式和 诱导公式的综合应用 例 2 (1)(2021聊城模拟)已知为锐角，且 2tan()3cos 250，tan()6sin( )10，则 sin 的值是() A.3 5 5 B.3 7 7 C.3 10 10 D.1 3 答案C 解析由已知得 3sin 2tan 50， tan 6sin 10. 消去 sin ，得 tan 3， sin 3cos ，代入 sin2cos21， 化简得 sin2 9 10，则 sin 3 10 10 (为锐角) (2)已知x0，sin(x)cos x1 5.求 sin 2x2sin2x 1tan x 的值 解由已知，得 sin
11、xcos x1 5， 两边平方得 sin2x2sin xcos xcos2x 1 25， 整理得 2sin xcos x24 25. (sin xcos x)212sin xcos x49 25， 由x0 知，sin x0， 又 sin xcos x12 250，sin xcos x0， 故 sin xcos x7 5. sin 2x2sin 2x 1tan x 2sin xcos xsin x 1sin x cos x 2sin xcos xcos xsin x cos xsin x 24 25 1 5 7 5 24 175. 思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关
12、键是寻求条件、结论间 的联系，灵活使用公式进行变形 (2)注意角的范围对三角函数符号的影响 跟踪训练 2 (1)(2021潍坊调研)已知 3sin 33 14 5cos 5 14，则 tan 5 14等于() A5 3 B3 5 C.3 5 D.5 3 答案A 解析由 3sin 33 14 5cos 5 14， 得 sin 5 145 3cos 5 14， 所以 tan 5 14 sin 5 14 cos 5 14 5 3cos 5 14 cos 5 14 5 3. (2)已知函数 f(x)asin(x)bcos(x)，且 f(4)3，则 f(2 021)的值为 答案3 解析因为 f(x)as
13、in(x)bcos(x)， 所以 f(4)asin(4)bcos(4) asin bcos 3， 所以 f(2 021)asin(2 021)bcos(2 021) asin()bcos() asin bcos 3. 课时精练课时精练 1sin 1 050等于() A.1 2 B1 2 C. 3 2 D 3 2 答案B 解析sin 1 050sin(336030)sin 301 2. 2已知是第四象限角，tan 8 15，则 sin 等于( ) A.15 17 B15 17 C. 8 17 D 8 17 答案D 解析因为 tan 8 15，所以 sin cos 8 15， 所以 cos 15
14、8 sin ， 代入 sin2cos21，得 sin2 64 289， 又是第四象限角，所以 sin 8 17. 3(2021杭州学军中学模拟)已知 cos 31a，则 sin 239tan 149的值为() A.1a 2 a B. 1a2 C.a 21 a D 1a2 答案B 解析sin 239tan 149sin(27031)tan(18031)cos 31(tan 31)sin 31 1a2. 4(2021天津西青区模拟)已知 sin cos 2，则 tan 1 tan 等于( ) A2B.1 2 C2D1 2 答案A 解析由已知得 12sin cos 2， sin cos 1 2， t
15、an 1 tan sin cos cos sin sin 2cos2 sin cos 1 1 2 2. 5(多选)在ABC 中，下列结论正确的是() Asin(AB)sin C Bsin BC 2 cos A 2 Ctan(AB)tan C C 2 Dcos(AB)cos C 答案ABC 解析在ABC 中，有 ABC， 则 sin(AB)sin(C)sin C，A 正确 sin BC 2 sin 2 A 2 cos A 2，B 正确 tan(AB)tan(C)tan C C 2 ，C 正确 cos(AB)cos(C)cos C，D 错误故选 ABC. 6(多选)若 sin 4 5，且为锐角，则
16、下列选项中正确的有( ) Atan 4 3 Bcos 3 5 Csin cos 8 5 Dsin cos 1 5 答案AB 解析sin 4 5，且为锐角， cos 1sin21 4 5 23 5，故 B 正确， tan sin cos 4 5 3 5 4 3，故 A 正确， sin cos 4 5 3 5 7 5 8 5，故 C 错误， sin cos 4 5 3 5 1 5 1 5，故 D 错误 7(2020河北九校联考)已知点 P(sin 35，cos 35)为角终边上一点，若 0360，则 . 答案55 解析由题意知 cos sin 35cos 55， sin cos 35sin 55，
17、P 在第一象限， 55. 8sin4 3 cos5 6 tan 4 3 的值是 答案3 3 4 解析原式sin 3 cos 6 tan 3 sin 3 cos 6 tan 3 3 2 3 2 ( 3)3 3 4 . 9(2020上饶模拟)sin 12 1 3，则 cos 17 12 . 答案 1 3 解析由 sin 12 1 3， 得 cos 17 12 cos 3 2 12 sin 12 1 3. 10若 3sin cos 0，则 cos22sin cos 的值为 答案 3 10 解析3sin cos 0cos 0tan 1 3， 所以cos 22sin cos 1 cos 22sin co
18、s sin2cos2 12tan 1tan2 12 3 1 1 3 2 3 10. 11已知 f()sincos2tan tansin . (1)若 cos 3 2 1 5，是第三象限角，求 f()的值； (2)若31 3 ，求 f()的值 解f()sin cos tan tan sin cos . (1)cos 3 2 sin 1 5， sin 1 5. 是第三象限角， cos 1 1 5 22 6 5 . f()cos 2 6 5 . (2)f()cos 31 3cos 3 1 2. 12已知 20，且函数 f()cos 3 2 sin 1cos 1cos 1. (1)化简 f()； (2
19、)若 f()1 5，求 sin cos 和 sin cos 的值 解(1)f()sin sin 1cos 2 1cos2 1 sin sin 1cos sin 1sin cos . (2)方法一由 f()sin cos 1 5， 平方可得 sin22sin cos cos2 1 25， 即 2sin cos 24 25. sin cos 12 25. 又 20，sin 0， sin cos 0， (sin cos )212sin cos 49 25， sin cos 7 5. 方法二联立方程 sin cos 1 5， sin2cos21， 解得 sin 3 5， cos 4 5 或 sin 4
20、 5， cos 3 5. 2sin ，cos sin 1 5， 又(cos sin )212sin cos 1 25， 2sin cos 24 25， 12sin cos 49 25，即(cos sin ) 249 25， cos sin 7 5， sin2cos2(cos sin )(sin cos ) 7 25. 16已知 sin 1sin 2，求 sin2sin 21 的取值范围 解因为 sin 1sin 21cos ， 所以 cos 1sin .因为1cos 1， 所以11sin 1,0sin 2， 又1sin 1，所以 sin 0,1 所以 sin2sin 21sin2cos 1sin2sin 2 sin 1 2 27 4.(*) 又 sin 0,1，所以当 sin 1 2时，(*)式取得最小值 7 4；当 sin 1 或 sin 0 时，(*)式取 得最大值 2，故所求取值范围为 7 4，2.
