1、10.3二项式定理二项式定理 考试要求能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理， 会用二项式定理解决与二项展 开式有关的简单问题 1二项式定理 二项式定理(ab)nC0nanC1nan 1bCr nan rbrCn nbn(nN*) 二项展开式的通项Tr1Crnan rbr，它表示第 r1 项 二项式系数Crn(r0,1,2,3，n) 2.二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 (2)增减性与最大值 当 n 是偶数时，中间一项 2 C n n 取得最大值；当 n 是奇数时，中间的两项 1 2 C -n n 与 1 2 C +n n 相等，且 同时取得最大值
2、(3)各二项式系数的和 (ab)n的展开式的各个二项式系数的和等于 2n. 微思考 1总结(ab)n的展开式的特点 提示(1)项数为 n1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和为 n. (3)字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到零；字母 b 按升幂排列，从第 一项起，次数由零逐项增 1 直到 n. 2(ab)n的展开式的二项式系数和系数相同吗？ 提示不一定(ab)n的展开式的通项是 Crnan rbr，其二项式系数是 Cr n(r0,1,2,3，n)， 不一定是系数 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)
3、(1)Crnan rbr是(ab)n的展开式的第 r 项( ) (2)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与 a，b 无关() (3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项() (4)(ab)n的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系 数不同() 题组二教材改编 2(xy)n的二项展开式中，第 m 项的系数是() ACmnBCm 1 n CCm 1 nD(1)m 1Cm1 n 答案D 解析(xy)n二项展开式第 m 项的通项为 TmCm 1 n(y)m 1xnm1， 所以系数为 Cm 1 n(1)m 1. 3(八省联考)(1x)2(1x)3(1x)9的
4、展开式中 x2的系数是() A60B80C84D120 答案D 解析(利用公式 CmnCm 1 nCm 1 n1) (1x)2(1x)3(1x)9的展开式中 x2的系数为 C22C23C29C33C23C29 C310120. 4C111C311C511C1111_. 答案210 题组三易错自纠 5已知 x a 3 x n(a 为常数)的展开式的二项式系数之和为 32，常数项为 80，则 a 的值为 () A1B1C2D2 答案C 解析根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为 32，则有 2n32，可得 n5，则 二项式的展开式通项为 Tr1Cr5( x)5 r a 3 x rarCr 5
5、 15 5 6 r x - ，令155r 6 0，得 r3，则其常数 项为 C35a3，根据题意，有 C35a380，可得 a2. 6在 2x21 x n的展开式中，所有二项式系数的和是 32，则展开式中各项系数的和为_ 答案1 解析因为所有二项式系数的和是 32，所以 2n32，解得 n5. 在 2x21 x 5中，令 x1 可得展开式中各项系数的和为(21)51. 题型一 多项展开式的特定项 命题点 1二项展开式问题 例 1 (1)(2020北京)在( x2)5的展开式中，x2的系数为() A5B5C10D10 答案C 解析Tr1Cr5( x)5 r(2)rCr 5 5 2 r x - (
6、2)r， 令5r 2 2，解得 r1. 所以 x2的系数为 C15(2)110. (2)(2019浙江)在二项式( 2x)9的展开式中，常数项是_，系数为有理数的项的个数 是_ 答案16 25 解析该二项展开式的第 r1 项为 Tr1Cr9( 2)9 rxr，当 r0 时，第 1 项为常数项，所以常 数项为( 2)916 2；当 r1,3,5,7,9 时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的 项的个数为 5. 命题点 2两个多项式积的展开式问题 例 2 (1)(2020全国) xy 2 x (xy)5的展开式中 x3y3的系数为( ) A5B10C15D20 答案C 解析方法一 xy
7、2 x (xy)5 xy 2 x (x55x4y10 x3y210 x2y35xy4y5)， x3y3的系数为 10515. 方法二当 xy 2 x 中取 x 时，x3y3的系数为 C35， 当 xy 2 x 中取y 2 x 时，x3y3的系数为 C15， x3y3的系数为 C35C1510515. (2)(2019全国)(12x2)(1x)4的展开式中 x3的系数为() A12B16C20D24 答案A 解析展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成， 则x3的系数为C342C14 4812. 命题点 3三项展开式问题 例 3 (1)(x2xy)5的展开式中，x5y2的系
8、数为() A10B20C30D60 答案C 解析方法一利用二项展开式的通项公式求解 (x2xy)5(x2x)y5， 含 y2的项为 T3C25(x2x)3y2. 其中(x2x)3中含 x5的项为 C13x4xC13x5. 所以 x5y2的系数为 C25C1330.故选 C. 方法二利用排列组合知识求解 (x2xy)5为 5 个 x2xy 之积，其中有两个因式取 y，剩余的三个因式中两个取 x2，一个 取 x 即可，所以 x5y2的系数为 C25C23C1130.故选 C. (2)(2021合肥检测) x1 x1 5的展开式中的常数项为( ) A1B11C19D51 答案B 解析 x1 x1 5
9、 x1 x 1 5 展开式的通项为 Tr1Cr5 x1 x 5r 当 r5 时，常数项为 C551， 当 r3 时，常数项为C12C3520， 当 r1 时，常数项为 C45C2430. 综上所述，常数项为 1203011. 思维升华 (1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数 项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数 r1，代回通项即可 (2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合 思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏 (3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决 跟踪训练 1 (1)(x
10、a)10的展开式中，x7项的系数为 15，则 a_.(用数字填写答案) 答案 1 2 解析通项为 Tr1Cr10 x10 rar，令 10r7， r3，x7项的系数为 C310a315， a31 8，a 1 2. (2)(x2x1)(x1)4的展开式中，x3的系数为() A3B2C1D4 答案B 解析(x1)4的通项为 Tr1Cr4x4 r(1)r，(x2x1)(x1)4的展开式中，x3的系数为 C3 4( 1)3C24(1)2C14(1)2，故选 B. (3)(12x3x2)5的展开式中 x5的系数为_ 答案92 解析方法一(12x3x2)5(1x)5(13x)5， 所以 x5的系数为 C0
11、5C5535C15(1)C4534C25( 1)2C3533C35(1)3C2532C45(1)4C1531C55(1)5C053092. 方法二(12x3x2)5(12x)3x25C05(12x)5C15(12x)4(3x2)C25(12x)3(3x2)2 C55(3x2)5， 所以 x5的系数为 C05C5525C15C3423(3)C25C132(3)292. 题型二 二项式系数与各项的系数问题 命题点 1二项式系数和与各项系数和 例 4 (1)若二项式 x22 x n的展开式的二项式系数之和为 8，则该展开式每一项的系数之和为 () A1B1C27D27 答案A 解析依题意得 2n8，
12、解得 n3.取 x1，得该二项展开式每一项的系数之和为(12)31. (2)若(2x)7a0a1(1x)a2(1x)2a7(1x)7，则 a0a1a2a6的值为() A1B2C129D2 188 答案C 解析令 x0，得 a0a1a2a727128， 又(2x)73(x1)7， 则 a7(1x)7C7730(x1)7，解得 a71. 故 a0a1a2a6128a71281129. 命题点 2二项式系数的最值问题 例 5 二项式 3x 1 3 x n的展开式中只有第 11 项的二项式系数最大，则展开式中 x 的指数为 整数的项的个数为() A3B5C6D7 答案D 解析根据 3x 1 3 x n
13、的展开式中只有第 11 项的二项式系数最大，得 n20， 3x 1 3 x n的 展开式的通项为 Tr1Cr20( 3x)20 r 1 3 x r( 3)20rCr 20 4 20 3 r x，要使 x 的指数是整数，需 r 是 3 的倍数，r0,3,6,9,12,15,18，x 的指数是整数的项共有 7 项 思维升华 (1)求展开式中各项系数和可用“赋值法” (2)二项式系数最大项在中间一项或中间两项取得 跟踪训练 2 (1)(2020随州调研)在 x 1 x n的展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大，则展 开式中系数最小的项的系数为() A126B70C56D28 答案C 解析只有第
14、5 项的二项式系数最大， n8， x 1 x n的展开式的通项为 Tr1(1)rCr8 3 8 2 r x - (r0,1,2，8)， 展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的二项式系数与相应偶数 项的系数互为相反数，而展开式中第 5 项的二项式系数最大，因此展开式中第 4 项和第 6 项 的系数相等且最小，为(1)3C3856. (2) x 1 3 x n的展开式中各项系数之和大于 8，但小于 32，则展开式中系数最大的项是( ) A6 3 xB. 4 x C4x 6 xD. 4 x或 4x 6 x 答案A 解析令 x1，可得 x 1 3 x n的展开式中各项系数之和为 2n，即 82n0)，若 a 和 b 被 m 除得的余数相同，则称 a 和 b 对模 m 同余，记 为 ab(modm) 若 aC020C1202C22022C2020220， ab(mod10)， 则 b 的值可以是() A2 018B2 019C2 020D2 021 答案D 解析aC020C1202C22022C2020220(12)20320(801)5，它被 10 除所得余数为 1，又 ab(mod10)，所以 b 的值可以是 2 021.
