1、2.5对数与对数函数对数与对数函数 考试要求1.理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或 常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的 图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数 yax与对数函数 ylogax(a0，且 a1)互为反函数 1对数的概念 一般地，如果 a(a0，a1)的 b 次幂等于 N，即 abN，那么称 b 是以 a 为底 N 的对数，记 作 blogaN，其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数 以 10 为底的对数叫做常用对数，记作 lg N. 以 e 为底的对数叫做自然对数，记作 ln N.
2、2对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：loga10，logaa1， logaN aN(a0，且 a1，N0) (2)对数的运算性质 如果 a0，且 a1，M0，N0，那么： loga(MN)logaMlogaN； logaM Nlog aMlogaN； logaMnnlogaM(nR) (3)换底公式：logablogcb logca(a0，且 a1，b0，c0，且 c1) 3对数函数的图象与性质 ylogaxa10a1 时，y0； 当 0 x1 时，y1 时，y0； 当 0 x0 在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数 4.反函数 指数函数 yax(a0 且 a1)与对数函数 ylog
3、ax(a0 且 a1)互为反函数，它们的图象关于 直线 yx 对称 微思考 1根据对数的换底公式，说出 logab 与 logba，log m n a b与 logab 的关系？ 提示logablogba1，log m n a bn mlog ab. 2如图给出 4 个对数函数的图象比较 a，b，c，d 与 1 的大小关系 提示0cd1a0，则 loga(MN)logaMlogaN.() (2)对数函数 ylogax(a0，且 a1)在(0，)上是增函数() (3)函数 yloga 1x 1x与函数 yln(1x)ln(1x)是同一个函数( ) (4)对数函数 ylogax(a0，且 a1)的
4、图象过定点(1,0)，且过点(a,1)， 1 a，1.() 题组二教材改编 2设函数 f(x)3x9x，则 f(log32)_. 答案6 解析函数 f(x)3x9x， f(log32) 339 log 2log 2log 4 3929246. 3已知 f(x)是不恒为 0 的函数，定义域为 D，对任意 xD，nN*，都有 nf(x)f(xn)成立， 则 f(x)_.(写出满足条件的一个 f(x)即可) 答案log2x 解析运算符合对数函数的运算法则，如 f(x)log2x，nf(x)nlog2xlog2xnf(xn)，可以填写 f(x)log2x. 4函数 2 3 log (21)yx的定义域
5、是_ 答案 1 2，1 解析由 2 3 log (2)01x，得 02x11. 1 20，log5ba，lg bc,5d10，则下列等式一定成立的是() AdacBacd CcadDdac 答案B 6计算：(log29)(log34)_. 答案4 解析(log29)(log34)lg 9 lg 2 lg 4 lg 3 2lg 3 lg 2 2lg 2 lg 3 4. 题型一 对数式的运算 例 1 (1)(2020全国)设 alog342，则 4 a等于( ) A. 1 16 B.1 9 C.1 8 D.1 6 答案B 解析方法一因为 alog342， 所以 log34a2， 所以 4a329，
6、 所以 4 a1 4a 1 9. 方法二因为 alog342， 所以 a 2 log342log 43log432log49， 所以 1 44 log 9log 91 1 4449. 9 a (2)计算：lg 25lg 50lg 2lg 500(lg 2)2_. 答案4 解析原式2lg 5lg(510)lg 2lg(5102)(lg 2)2 2lg 5lg 51lg 2(lg 52)(lg 2)2 3lg 51lg 2lg 52lg 2(lg 2)2 3lg 52lg 21lg 2(lg 5lg 2) 3lg 52lg 21lg 2 3(lg 5lg 2)1 4. 思维升华 解决对数运算问题的
7、常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简 (2)将同底对数的和、差、倍合并 (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变 形应用 (4)利用常用对数中的 lg 2lg 51. 跟踪训练 1 (1)设 2a5bm，且1 a 1 b2，则 m 等于( ) A. 10B10C20D100 答案A 解析2a5bm， log2ma，log5mb， 1 a 1 b 1 log2m 1 log5mlog m2logm5logm102， m210，m 10(舍 m 10) (2)计算：log535 1 2 2log2log5 1 50log 514_. 答案
8、2 解析原式log535log5 1 50log 514 2 1 2 log ( 2) log5 35 1 5014 1 2 log 2 log51251log5531312. 题型二 对数函数的图象及应用 例 2 (1)已知函数 f(x)loga(2xb1)(a0，且 a1)的图象如图所示，则 a，b 满足的关系是 () A0a 1b1 B0ba 11 C0b 1a1 D0a 1b11.函数图象与 y 轴的交点坐标为(0，logab)，由 函数图象可知1logab0，解得1 ab1. 综上有 01 ab1. (2)若方程 4xlogax 在 0，1 2 上有解，则实数 a 的取值范围为_ 答
9、案 0， 2 2 解析若方程 4xlogax 在 0，1 2 上有解，则函数 y4x和函数 ylogax 在 0，1 2 上有交点， 由图象知 0a1， loga1 22， 解得 0a 2 2 . 思维升华 对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、 最高点、最低点等)排除不符合要求的选项 (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解 跟踪训练 2 (1)函数 f(x)loga|x|1(0a0 时，g(x)的图象，然后根据 g(x)的图象关于 y 轴对称画出 x0， 3x，x0， 关于
10、x 的方程 f(x)xa0 有且只有一个实根，则实数 a 的取值范围是_ 答案(1，) 解析问题等价于函数 yf(x)与 yxa 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知 a1. 题型三 对数函数的性质及应用 命题点 1比较指数式、对数式的大小 例 3 (1)设 alog3e，be1.5， 1 3 1 log 4 c ，则() AbacBcab CcbaDaclog3ea. 又 clog342， acb. (2)若实数 a，b，c 满足 loga2logb2logc20，则下列关系中正确的是() AabcBbac CcbaDacb 答案C 解析根据不等式的性质和对数的换底公式可得 1 log2
11、a 1 log2b 1 log2c0， 即 log2clog2blog2a0， 可得 cba0， 1 2 log () x ，xf(a)，则实数 a 的取值范围是() A(1,0)(0,1)B(，1)(1，) C(1,0)(1，)D(，1)(0,1) 答案C 解析由题意得 a0， log2a 1 2 log a 或 alog2a， 解得 a1 或1a0，解得 x 1 2或 x0 且 t1，yln t， 又 t1 2 2x1在 1 2，上单调递减，且 yln t 为增函数， f(x)在 1 2，上单调递减，故 C 正确； yln t 的值域是(，0)(0，)，故 D 正确 (2)若 f(x)lg
12、(x22ax1a)在区间(，1上单调递减，则 a 的取值范围为() A1,2)B1,2 C1，)D2，) 答案A 解析令函数 g(x)x22ax1a(xa)21aa2，对称轴为 xa，要使函数在(， 1上递减，则有 g10， a1， 即 2a0， a1， 解得 1a0，且 a1)，若 f(x)1 在区间1,2上恒成立，则 实数 a 的取值范围是_ 答案 1，8 3 解析当 a1 时，f(x)loga(8ax)在1,2上单调递减，由 f(x)1 在区间1,2上恒成立， 则 f(x)minf(2)loga(82a)1，且 82a0， 解得 1a8 3. 当 0a1 在区间1,2上恒成立， 知 f(
13、x)minf(1)loga(8a)1，且 82a0. 解得 a， 综上可知，实数 a 的取值范围是 1，8 3 . (2)已知函数 f(x)|log2x|，实数 a，b 满足 0ab，且 f(a)f(b)，若 f(x)在a2，b上的最大值为 2，则1 ab_. 答案4 解析f(x)|log2x|， f(x)的图象如图所示， 又 f(a)f(b)且 0ab， 0a1 且 ab1， a2a，由图知， f(x)maxf(a2)|log2a2|2log2a2， a1 2，b2， 1 ab4. 课时精练课时精练 1(2019全国)已知 alog20.2，b20.2，c0.20.3，则() AabcBac
14、b CcabDbca 答案B 解析alog20.21，c0.20.3(0,1)，ac0，且 a1)的反函数且 f(2)1，则 f(x)等于() Alog2xB. 1 2x C 1 2 log xD2x 2 答案A 解析函数 yax(a0，且 a1)的反函数是 f(x)logax， 又 f(2)1，即 loga21， 所以 a2. 故 f(x)log2x. 3若函数 f(x)loga(xb)的图象如图所示，其中 a，b 为常数，则函数 g(x)axb 的图象大 致是() 答案D 解析由 f(x)的图象可知 0a1,0b0 且 a1，b1，若 logab1，则() A(a1)(ab)0 C(b1)
15、(ba)0 答案AD 解析当 a1 时，logab1logaa， ba，ba1， (a1)(ab)0. 当 0a1logaa，ba， 0ba1， b10，ba0. 6(多选)已知函数 f(x)log2(1|x|)，则关于函数 f(x)有下列说法，其中正确的说法为() Af(x)的图象关于原点对称 Bf(x)的图象关于 y 轴对称 Cf(x)的最大值为 0 Df(x)在区间(1,1)上单调递增 答案BC 解析f(x)log2(1|x|)为偶函数，不是奇函数， A 错误，B 正确； 根据 f(x)的图象(图略)可知 D 错误； 1|x|1，f(x)log210，故 C 正确 7计算：log31 2
16、log 49lg5 22lg 2_. 答案0 解析原式log32 2 2 2 log3lg5 2lg 4 log32log23lg 5 24 110. 8已知函数 yloga(x3)1 的图象恒过定点 P，则点 P 的坐标是_ 答案(4，1) 解析令 x31，则 x4， yloga111， 故点 P 坐标为(4，1) 9函数 f(x)log2x 2 log(2 ) x的最小值为_ 答案1 4 解析依题意得 f(x)1 2log 2x(22log2x)(log2x)2log2x log2x1 2 21 4 1 4，当 log 2x 1 2，即 x 2 2 时等号成立，所以函数 f(x)的最小值为
17、1 4. 10若函数 f(x)loga(x2x2)在区间0,2上的最大值为 2，则实数 a_. 答案2 解析令 u(x)x2x2，则 u(x)在0,2上的最大值 u(x)max4，最小值 u(x)min7 4. 当 a1 时，ylogau 是增函数，f(x)maxloga42，得 a2； 当 0a0，且 a1)，且 f(1)2. (1)求实数 a 的值及 f(x)的定义域； (2)求 f(x)在区间 0，3 2 上的最大值 解(1)f(1)2，loga42(a0，且 a1)， a2.由 1x0， 3x0， 得1x0， 解得1 2a 1 3. 故实数 a 的取值范围是 1 2， 1 3 . 13
18、(多选)已知函数 f(x)ln xln(2x)，则() Af(x)在(0,2)上单调递增 Bf(x)在(0,2)上的最大值为 0 Cf(x)的图象关于直线 x1 对称 Df(x)的图象关于点(1,0)对称 答案BC 解析f(x)ln xln(2x)，定义域为(0,2)， f(x)lnx(2x)ln(x22x)， 令 tx22x，yln t， tx22x，x(0,2)，在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减， f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，故 A 不正确； f(x)maxf(1)0，故 B 正确； f(1x)ln(1x)ln(1x)， f(1x)ln(1x)ln
19、(1x)， f(1x)f(1x)， f(x)的图象关于直线 x1 对称，故 C 正确，D 不正确 14设实数 a，b 是关于 x 的方程|lg x|c 的两个不同实数根，且 ab10，则 abc 的取值范围 是_ 答案(0,1) 解析由题意知，在(0,10)上，函数 y|lg x|的图象和直线 yc 有两个不同交点(如图)，ab 1,0clg 101，abc 的取值范围是(0,1) 15设 alog0.20.3，blog20.3，则() Aabab0Babab0 Cab0abDab0log0.210， blog20.3log210，ablog0.30.4log0.310， 0ab ab 1，abab0，且 a1)是“半保值函数”，求实数 t 的取值范围 解函数 f(x)loga(axt2)(a0，且 a1)是“半保值函数”，且定义域为 R.当 a1 时，zax t2在 R 上单调递增，ylogaz 在(0，)上单调递增，可得 f(x)为 R 上的增函数；当 0a0， 则 u2ut20 有两个不相等的正实根 得14t20，且 t20， 0t21 4，解得 t 1 2，0 0，1 2 . 实数 t 的取值范围是 1 2，0 0，1 2 .
