1、强化训练强化训练 7空间几何体中的综合问题空间几何体中的综合问题 1(2021运城景胜中学模拟)下列几何体不是旋转体的为() A圆柱B棱柱C球D圆台 答案B 解析由题意，圆柱、球、圆台均为旋转体，棱柱为多面体 2关于棱台，下列说法正确的是() A两底面可以不相似B侧面都是全等的梯形 C侧棱长一定相等D侧棱延长后交于一点 答案D 解析棱台的三个特征：两底面相互平行且相似，各侧棱延长后交于一点，侧面都是 梯形 3.如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，A1A底面 ABC，ABAC，A1AABAC2，那么三 棱锥 A1ABC 的体积是() A.4 3 B.8 3 C4D8 答案A 解析A1A底面 A
2、BC， A1A 为三棱锥 A1ABC 的高，且 AA12， 又 SABC1 2ABAC 1 2222， 1 AABC V 1 3S ABCAA11 322 4 3. 4 (2020宁城蒙古族中学模拟)若圆锥的高等于底面圆的半径， 则它的底面积与侧面积之比是 () A12B1 3C1 2D. 2 3 答案C 解析设圆锥的底面半径为 r， 则高为 r，母线长 l r2r2 2r， 则 S底r2，S侧rl 2r2，S 底 S侧 r2 2r2 1 2. 5已知直三棱柱 ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB3，AC4，ABAC， AA112，则球 O 的半径为() A.3 17
3、 2 B2 10C.13 2 D3 10 答案C 解析如图所示，由球心作平面 ABC 的垂线， 则垂足为 BC 的中点 M. 又 AM1 2BC 5 2， OM1 2AA 16， 所以球 O 的半径 ROA 5 2 26213 2 . 6.(多选)将正三棱锥PABC置于水平反射镜面上， 得一“倒影三棱锥”PABCQ， 如图 下 列关于该“倒影三棱锥”的说法中，正确的有() APQ平面 ABC B若 P，A，B，C 在同一球面上，则 Q 也在该球面上 C若该“倒影三棱锥”存在外接球，则 AB 2PA D若 AB 6 2 PA，则 PQ 的中点必为“倒影三棱锥”外接球的球心 答案AD 解析由“倒影
4、三棱锥”的几何特征可知 PQ平面 ABC，A 正确；当 P，A，B，C 在同一 球面上时，若ABC 的外接圆不是球的最大圆，则点 Q 不在该球面上，B 错误；若该“倒影 三棱锥”存在外接球， 则三棱锥 PABC 的外接球的半径与等边三角形 ABC 外接圆的半径相 等，设其为 R，则 AB 3R，PA 2R，则 AB 6 2 PA，C 错误；由 C 的推导可知该“倒影 三棱锥”外接球的球心为ABC 的中心，即 PQ 的中点，D 正确，故选 AD. 7 (2020上海新场中学模拟)若一个圆锥的轴截面是边长为 4 的等边三角形， 则这个圆锥的侧 面积为_ 答案8 解析因为轴截面是边长为 4 的等边三
5、角形， 所以圆锥底面半径 r2， 圆锥母线 l4. 圆锥的侧面积 Srl248. 8在梯形 ABCD 中，ABBC，ADBC，BC2AD2AB2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直 线旋转一周形成的曲面所围成的几何体的体积为_ 答案 5 3 解析由题意可知几何体的直观图如图，旋转体是底面半径为 1，高为 2 的圆柱，挖去一个 底面相同，高为 1 的倒圆锥，几何体的体积为1221 31 215 3. 9(2021咸阳模拟)已知在三棱锥 ABCD 中，AB，AC，AD 两两垂直，且 AB1，AC 3， AD2 2，则三棱锥 ABCD 外接球的体积为_ 答案4 3 解析因为三棱锥侧棱 AB，AC，
6、AD 两两垂直，补成长方体，如图， 该长方体的三边分别为 1，3，2 2， 所以球的直径为 2R 1 322 222 3， 即 R 3， 所以三棱锥 ABCD 的外接球的体积为 V4 3( 3) 34 3， 10在正方体 ABCDA1B1C1D1中，棱长为 2，E 是线段 CD1上的动点，则 AEDE 的最小 值是_ 答案6 2 解析如图， 取 CD1的中点为 P，连结 AP，DP， 则由 ACAD1，DCDD1知，APCD1，DPCD1， 所以 AEAP，DEDP， 所以 AEDEAPDP， 在正方体中，棱长为 2， 所以 AP 3 2 22 6，DP1 2 22 2， 故当 E 在线段 C
7、D1上运动，E 与 P 重合时，AEDE 有最小值 6 2. 11.如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a，过顶点 B，D，A1截下一个三棱锥 (1)求剩余部分的体积； (2)求点 A 到平面 A1BD 的距离 解(1)由题意，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a， 则正方体的体积为 V正方体a3， 根据三棱锥的体积公式，可得 1 AABD V 锥 三棱 1 3S ABDA1A1 3 1 2ABADA 1A1 6a 3， 所以剩余部分的体积 VV正方体 1 AABD V 锥 三棱 a31 6a 35 6a 3. (2)由(1)知 11 AA BDAABD VV 锥 锥
8、三棱三棱 1 6a 3， 设点 A 到平面 A1BD 的距离为 d， 则 11 1 3 AAA BDBD VSd 三棱锥 1 3 1 2 3 2 ( 2a)2d 3 6 a2d， 故 3 6 a2d1 6a 3， 解得 d 3 3 a. 12.如图所示，正四棱台 AC的高是 17 cm，两底面的边长分别是 4 cm 和 16 cm. (1)求这个棱台的侧棱长和斜高； (2)求该棱台的侧面积与表面积 解(1)设棱台 AC两底面的中心分别是 O和 O， BC，BC 的中点分别是 E，E， 连结 OO，EE，OB，OB，OE，OE，如图所示， 则四边形 OBBO，OEEO都是直角梯形，且 OO17
9、cm， 在正方形 ABCD 中，BC16 cm， 则 OB8 2 cm，OE8 cm， 在正方形 ABCD中，BC4 cm， 则 OB2 2 cm，OE2 cm， 在直角梯形 OOBB中，BB OO2OBOB2 1728 22 2219(cm)， 在直角梯形 OOEE中，EE OO2OEOE2 1728225 13(cm)， 即这个棱台的侧棱长为 19 cm，斜高为 5 13 cm. (2)S侧41 2(416)5 13200 13(cm 2)， S表面积S侧S上底面S下底面200 13441616(200 13272) cm2. 13(2020安康模拟)四棱锥 PABCD 的顶点都在球 O
10、的球面上，ABCD 是边长为 32的正 方形，若四棱锥 PABCD 体积的最大值为 54，则球 O 的表面积为() A36B64C100D144 答案C 解析设球心到平面 ABCD 的距离为 h，球 O 的半径为 r， 根据题意得，当 P 到平面 ABCD 距离最大，即为 rh 时，四棱锥 PABCD 的体积最大， 所以 V1 33 23 2(rh)54， 解得 rh9， 又 A，B，C，D 都在球面上，设平面 ABCD 所在圆的圆心为 O， 由题意得 OA 3 223 22 2 3， 所以 r2h232，解得 r5， 所以表面积 S452100. 14.(2020济南模拟)九章算术是西汉张苍
11、等辑撰的一部数学巨著，被誉为人类数学史上的 “算经之首”书中“商功”一节记录了一种特殊的锥体，称为鳖臑(bi no)如图所示， 在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，ABBC，则该三棱锥即为鳖臑若 AB2 且三棱锥 外接球的体积为 36，则 PBAC 长度的最大值是_ 答案4 5 解析设三棱锥外接球的半径为 R， 由体积为 36，知4 3R 336，即 R3， 又PA平面 ABC，ABBC， ABC 的外接圆半径为 rAC 2 ， 即有 R2PA 2 4 AC 2 4 9，有 PA2AC236， 而在 RtPAB 中，AB2，PB2PA2AB2PA24， PB2AC240， 而(PBAC)
12、22(PB2AC2)80， 当且仅当 PBAC 时等号成立，PBAC4 5. 15(2020佛山模拟)如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为 4 m，一只小虫从圆 锥的底面圆上的点 P 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点 P 处若该小虫爬行的最短路程为 4 2 m，则圆锥底面圆的半径等于_ m. 答案1 解析把圆锥侧面沿过点 P 的母线展开成如图所示的扇形， 由题意 OP4 m，PP4 2 m， 则 cosPOP4 2424 22 244 0，且POP是三角形的内角， 所以POP 2. 设底面圆的半径为 r m， 则 2r 24，所以 r1. 16(2021徐州模拟)如图，已知边长为 2
13、的正方形材料 ABCD，截去如图所示的阴影部分后， 可焊接成一个正四棱锥的封闭容器设FCB. (1)用表示此容器的体积； (2)当此容器的体积最大时，求 tan 的值 解(1)取 BC 的中点 M，连结 FM，连结 AC 交 GF 于 N，如图 由题意知 FMBC， 在 RtCFM 中，CF 1 cos . 在 RtCFN 中，NF CFsin 4， 所以 NF 2 2 2 2 tan ， 所以 GF 2 2tan . 因为CN CFcos 4，所以 CN 2 2 2 2 tan . 从而 S四边形GFEH( 2 2tan )2， 正四棱锥的高 CO CN2NO2 CN2NF2 2 2 2 2
14、 tan 2 2 2 2 2 tan 2 2 tan ， 所以正四棱锥的体积 V1 3S 四边形GFEHCO 1 3( 2 2tan ) 2 2 tan 2 2 3 (1tan )2tan ， 0， 4 . (2)令 t tan ，t(0,1)， 则 V(t)2 2 3 (1t2)2t2 2 3 (t52t3t)， V(t)2 2 3 (5t46t21)2 2 3 (5t21)(t21) 令 V(t)0，得 t 5 5 . 当 t 变化时，V(t)，V(t)的变化情况如下表： t0， 5 5 5 5 5 5 ，1 V(t)0 V(t)极大值 所以 V(t)在 0， 5 5 内单调递增，在 5 5 ，1 内单调递减， 所以 V(t)在 t 5 5 时取到最大值，此时 tan 1 5.
