第八章 高考专题突破五 第3课时 证明与探索性问题.pptx

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1、大一轮复习讲义 第八章高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题 第3课时证明与探索性问题 题型一证明问题 师生共研 (1)求C的离心率; 解设双曲线的离心率为e,焦距为2c, 所以a2acb2c2a2,所以e2e20,所以e2. (2)若B在第一象限,证明:BFA2BAF. 设B(x,y)(x0,y0),当xc时, 设BAF, 因为02BAF,0BFA, 所以BFA2BAF. 当xc时, 综上,BFA2BAF. 圆锥曲线中的证明问题常见的有 (1)位置关系方面的:如证明直线与曲线相切,直线间的平行、垂直,直 线过定点等. (2)数量关系方面的:如存在定值、恒成立、相等等. 在熟悉圆锥曲线的定义与性质

2、的前提下,一般采用直接法,通过相关的 代数运算证明. 思维升华 跟踪训练1已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点F在y轴正半轴上,圆 心在直线y x上的圆E与x轴相切,且点E,F关于点M(1,0)对称. (1)求E和的标准方程; 因为E,F关于M(1,0)对称, 所以抛物线的标准方程为x24y. 因为圆E与x轴相切,故半径r|a|1, 所以圆E的标准方程为(x2)2(y1)21. (2)过点M的直线l与圆E交于A,B两点,与交于C,D两点,求证:CD AB. 证明由题意知,直线l的斜率存在, 设l的斜率为k,那么其方程为yk(x1)(k0). 因为l与E交于A,B两点,所以d20恒成立,设C(x1,

3、y1),D(x2,y2), 则x1x24k,x1x24k, 题型二探索性问题 师生共研 例2(2019全国)已知点A,B关于坐标原点O对称,AB4,M过点 A,B且与直线x20相切. (1)若A在直线xy0上,求M的半径; 解因为M过点A,B,所以圆心M在AB的垂直平分线上. 由已知A在直线xy0上,且A,B关于坐标原点O对称, 所以M在直线yx上,故可设M(a,a). 因为M与直线x20相切,所以M的半径为r|a2|. 由已知得AO2.又MOAO,故可得2a24(a2)2,解得a0或a4. 故M的半径r2或r6. (2)是否存在定点P,使得当A运动时,MAMP为定值?并说明理由. 解存在定点

4、P(1,0),使得MAMP为定值. 理由如下: 设M(x,y),由已知得M的半径为r|x2|,AO2.由于MOAO, 故可得x2y24(x2)2,化简得M的轨迹方程为y24x. 因为曲线C:y24x是以点P(1,0)为焦点,以直线x1为准线的抛物线, 所以MPx1. 因为MAMPrMPx2(x1)1, 所以存在满足条件的定点P. 探索性问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件,则可先假 设条件成立,再验证结论是否成立,成立则存在,否则不存在;若探 究结论,则应先求出结论的表达式,再针对其表达式进行讨论,往往 涉及对参数的讨论. 思维升华 跟踪训练2(2021皖北协作区联考)已知中心在坐标

5、原点O的椭圆C经过 点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点. (1)求椭圆C的方程; 且可知左焦点F的坐标为(2,0). 又a2b2c2,所以b212, (2)是否存在平行于OA的直线l,使得直线l与椭圆C有公共点,且直线OA 与l的距离等于4?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由. 解不存在,理由如下. 假设存在符合题意的直线l, 整理得3x23txt2120. 因为直线l与椭圆C有公共点, 所以(3t)243(t212)0, 所以符合题意的直线l不存在. 在圆锥曲线问题中,常见各种含两直线斜率k1,k2的双斜率问题, 齐次化处理是解决这类问题的重要策略. 双斜率问题的齐次化处

6、理拓展视野 例已知A,B为抛物线y24x上异于顶点的两动点,且满足以AB为直径 的圆过顶点.求证:直线AB过定点. 证明当直线AB斜率存在时,设直线AB:ykxb, A(x1,y1),B(x2,y2), 整理得,by24xy4kx20, ykxbk(x4),故直线AB过定点(4,0). 当直线AB的斜率不存在时,由对称性可知AOx45. 直线OA和抛物线y24x的交点为(4,4), 直线AB的方程为x4,直线AB过点(4,0). 综上,直线AB过定点(4,0). KESHIJINGLIAN 课时精练 基础保分练 (1)求椭圆C的方程; 解由题意知,c1, 又a2b2c2b21,解得a24,b2

7、3, 12345 (2)已知点M(4,0),过F作直线l交椭圆于A,B两点,求证:FMA FMB. 12345 证明当l与x轴垂直时,直线MF恰好平分AMB,则FMAFMB; 当l与x轴不垂直时,设直线l的方程为yk(x1), 0恒成立, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 12345 直线MA,MB的斜率之和为 kMAkMB0, 故直线MA,MB的倾斜角互补, 综上所述,FMAFMB. 12345 (1)求椭圆E的方程; 12345 (2)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C,D,设弦 AB,CD的中点分别为M,N,证明:O,M,N三点共线. 12345 证明当直线AB,

8、CD的斜率不存在时, 由椭圆的对称性知,中点M,N在x轴上,O,M,N三点共线, 当直线AB,CD的斜率存在时, 设其斜率为k,且设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0), 12345 12345 O,M,N三点共线. (1)求椭圆C1的方程; 12345 12345 证明由(1)得A(2,0),B(2,0),设D(x0,y0),所以E(x0,0), 12345 所以P为DE的中点,PDPE. 12345 技能提升练 12345 证明设直线l的方程为ykxt, 消去y得(4k23)x28ktx4t2120, 则64k2t24(4t212)(34k2)0, 得4k23t2, 123

9、45 12345 12345 因为M(1,m),F(1,0),所以P的坐标为(1,2m). 12345 12345 5.(2021衡水模拟)已知点P在圆O:x2y26上运动,点P在x轴上的投影 为Q,动点M满足 . (1)求动点M的轨迹E的方程; 12345 拓展冲刺练 解设M(x,y),P(x0,y0), 又点P(x0,y0)在圆O:x2y26上, 12345 (2)过点(2,0)的动直线l与曲线E交于A,B两点,问:在x轴上是否存在定 点D,使得 的值为定值?若存在,求出定点D的坐标及该定 值;若不存在,请说明理由. 12345 解当直线l的斜率存在时,设l:yk(x2), (13k2)x212k2x12k260, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 根据题意,假设x轴上存在定点D(m,0), 12345 (x1m)(x2m)y1y2 (x1m)(x2m)k2(x12)(x22) (k21)x1x2(2k2m)(x1x2)(4k2m2) 要使上式为定值,即与k无关, 则3m212m103(m26), 12345 当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x2, 12345 大一轮复习讲义 本课结束 更多精彩内容请登录:

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