1、大一轮复习讲义 第八章高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题 第3课时证明与探索性问题 题型一证明问题 师生共研 (1)求C的离心率； 解设双曲线的离心率为e，焦距为2c， 所以a2acb2c2a2，所以e2e20，所以e2. (2)若B在第一象限，证明：BFA2BAF. 设B(x，y)(x0，y0)，当xc时， 设BAF， 因为02BAF，0BFA， 所以BFA2BAF. 当xc时， 综上，BFA2BAF. 圆锥曲线中的证明问题常见的有 (1)位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直 线过定点等. (2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等. 在熟悉圆锥曲线的定义与性质
2、的前提下，一般采用直接法，通过相关的 代数运算证明. 思维升华 跟踪训练1已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点F在y轴正半轴上，圆 心在直线y x上的圆E与x轴相切，且点E，F关于点M(1,0)对称. (1)求E和的标准方程； 因为E，F关于M(1,0)对称， 所以抛物线的标准方程为x24y. 因为圆E与x轴相切，故半径r|a|1， 所以圆E的标准方程为(x2)2(y1)21. (2)过点M的直线l与圆E交于A，B两点，与交于C，D两点，求证：CD AB. 证明由题意知，直线l的斜率存在， 设l的斜率为k，那么其方程为yk(x1)(k0). 因为l与E交于A，B两点，所以d20恒成立，设C(x1，
3、y1)，D(x2，y2)， 则x1x24k，x1x24k， 题型二探索性问题 师生共研 例2(2019全国)已知点A，B关于坐标原点O对称，AB4，M过点 A，B且与直线x20相切. (1)若A在直线xy0上，求M的半径； 解因为M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上. 由已知A在直线xy0上，且A，B关于坐标原点O对称， 所以M在直线yx上，故可设M(a，a). 因为M与直线x20相切，所以M的半径为r|a2|. 由已知得AO2.又MOAO，故可得2a24(a2)2，解得a0或a4. 故M的半径r2或r6. (2)是否存在定点P，使得当A运动时，MAMP为定值？并说明理由. 解存在定点
4、P(1,0)，使得MAMP为定值. 理由如下： 设M(x，y)，由已知得M的半径为r|x2|，AO2.由于MOAO， 故可得x2y24(x2)2,化简得M的轨迹方程为y24x. 因为曲线C：y24x是以点P(1,0)为焦点，以直线x1为准线的抛物线， 所以MPx1. 因为MAMPrMPx2(x1)1， 所以存在满足条件的定点P. 探索性问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假 设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探 究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往 涉及对参数的讨论. 思维升华 跟踪训练2(2021皖北协作区联考)已知中心在坐标
5、原点O的椭圆C经过 点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点. (1)求椭圆C的方程； 且可知左焦点F的坐标为(2,0). 又a2b2c2，所以b212， (2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA 与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由. 解不存在，理由如下. 假设存在符合题意的直线l， 整理得3x23txt2120. 因为直线l与椭圆C有公共点， 所以(3t)243(t212)0， 所以符合题意的直线l不存在. 在圆锥曲线问题中，常见各种含两直线斜率k1，k2的双斜率问题， 齐次化处理是解决这类问题的重要策略. 双斜率问题的齐次化处
6、理拓展视野 例已知A，B为抛物线y24x上异于顶点的两动点，且满足以AB为直径 的圆过顶点.求证：直线AB过定点. 证明当直线AB斜率存在时，设直线AB：ykxb， A(x1，y1)，B(x2，y2)， 整理得，by24xy4kx20， ykxbk(x4)，故直线AB过定点(4,0). 当直线AB的斜率不存在时，由对称性可知AOx45. 直线OA和抛物线y24x的交点为(4,4)， 直线AB的方程为x4，直线AB过点(4,0). 综上，直线AB过定点(4,0). KESHIJINGLIAN 课时精练 基础保分练 (1)求椭圆C的方程； 解由题意知，c1， 又a2b2c2b21，解得a24，b2
7、3， 12345 (2)已知点M(4,0)，过F作直线l交椭圆于A，B两点，求证：FMA FMB. 12345 证明当l与x轴垂直时，直线MF恰好平分AMB，则FMAFMB； 当l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x1)， 0恒成立， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 12345 直线MA，MB的斜率之和为 kMAkMB0， 故直线MA，MB的倾斜角互补， 综上所述，FMAFMB. 12345 (1)求椭圆E的方程； 12345 (2)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦 AB，CD的中点分别为M，N，证明：O，M，N三点共线. 12345 证明当直线AB，
8、CD的斜率不存在时， 由椭圆的对称性知，中点M，N在x轴上，O，M，N三点共线， 当直线AB，CD的斜率存在时， 设其斜率为k，且设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)， 12345 12345 O，M，N三点共线. (1)求椭圆C1的方程； 12345 12345 证明由(1)得A(2,0)，B(2,0)，设D(x0，y0)，所以E(x0,0)， 12345 所以P为DE的中点，PDPE. 12345 技能提升练 12345 证明设直线l的方程为ykxt， 消去y得(4k23)x28ktx4t2120， 则64k2t24(4t212)(34k2)0， 得4k23t2， 123
9、45 12345 12345 因为M(1，m)，F(1,0)，所以P的坐标为(1，2m). 12345 12345 5.(2021衡水模拟)已知点P在圆O：x2y26上运动，点P在x轴上的投影 为Q，动点M满足 . (1)求动点M的轨迹E的方程； 12345 拓展冲刺练 解设M(x，y)，P(x0，y0)， 又点P(x0，y0)在圆O：x2y26上， 12345 (2)过点(2,0)的动直线l与曲线E交于A，B两点，问：在x轴上是否存在定 点D，使得 的值为定值？若存在，求出定点D的坐标及该定 值；若不存在，请说明理由. 12345 解当直线l的斜率存在时，设l：yk(x2)， (13k2)x212k2x12k260， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 根据题意，假设x轴上存在定点D(m,0)， 12345 (x1m)(x2m)y1y2 (x1m)(x2m)k2(x12)(x22) (k21)x1x2(2k2m)(x1x2)(4k2m2) 要使上式为定值，即与k无关， 则3m212m103(m26)， 12345 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x2， 12345 大一轮复习讲义 本课结束 更多精彩内容请登录：
