1、大一轮复习讲义 2.1函数的概念及其表示 第二章函数概念与基本初等函数 考试要求 1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域. 2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列 表法、解析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数，并能简单应用. 主干梳理主干梳理 基础落实基础落实 题型突破题型突破 核心探究核心探究 课时精练课时精练 内容 索引 ZHUGANSHULI JICHULUOSHI 主干梳理 基础落实 1 知识梳理 1.函数函数 函数 两个集合A，B设A，B是两个_ 对应法则f：AB 如果按某种对应法则f，使对于集合A中的每一个元 素x，在集合B中都有 的元素y和
2、它对应 名称称为从集合A到集合B的一个函数 函数记法函数yf(x)，xA 非空数集 yf(x)，xA 唯一 2.函数的三要素函数的三要素 (1)定义域 在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，所有的输入值x组成的集合A叫做 函数yf(x)的 . (2)值域 对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应.我们将所有输出值y组成 的集合称为函数的值域. (3)对应法则f：AB. 定义域 4.分段函数分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因不同而分别用几个不 同的式子来表示，这种函数称为分段函数. (2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.分段函数的定 义域等于各段函数的定义域的
3、并集，值域等于各段函数的值域的并集. 对应法则 3.函数的表示法函数的表示法 表示函数的常用方法有、图象法和.解析法列表法 微思考 1.直线xa(a是常数)与函数yf(x)的图象有多少个交点？ 提示0个或1个. 2.函数定义中，非空数集A，B与函数的定义域、值域有什么关系？ 提示函数的定义域即为集合A，值域为集合B的子集. 题组一思考辨析题组一思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若AR，Bx|x0，f：xy|x|，其对应是从A到B的函数.() (2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.() (4)函数yf(x)的图象可以是一条封闭的曲线.() 基础自
4、测 题组二教材改编题组二教材改编 2.函数f(x)的定义域为_. 解得x0且x2， 原函数的定义域为0,2)(2，). 0,2)(2，) 3.已知函数f(x) 则f(2)_. 2 解析f(2)f(1)212. 4.函数f(x)x 在区间2,4上的值域为_. 题组三易错自纠题组三易错自纠 5.下列图形中可以表示以Mx|0 x1为定义域，Ny|0y1为 值域的函数的图象是 解析A选项中的值域不 满足， B选项中的定义域不满足， D选项不是函数的图象， 由函数的定义可知选项C 正确. f(t)t2t1(t0)， f(x)x2x1，x0. x2x1，x0 TIXINGTUPO HEXINTANJIU2
5、题型突破 核心探究 1.下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是 第1课时函数的概念及其表示 题型一函数的概念 2.(多选)下列各组函数相等的是 A.f(x)x22x1，g(s)s22s1 3.已知集合Px|0 x4，Qy|0y2，下列从P到Q的各对应法 则 f不是函数的是_.(填序号) (1)函数的定义要求第一个非空数集A中的任何一个元素在第二个非空数 集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对 多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素. (2)构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同. 思维升华 例1求下列函数的解析式： (1)已知f(1
6、sin x)cos2x，求f(x)的解析式； 题型二求函数的解析式 师生共研 解(换元法)设1sin xt，t0,2， 则sin x1t，f(1sin x)cos2x1sin2x， f(t)1(1t)22tt2，t0,2. 即f(x)2xx2，x0,2. f(x)x22，x(，22，). (3)已知f(x)是一次函数且3f(x1)2f(x1)2x17，求f(x)的解析式； 解(待定系数法)f(x)是一次函数， 可设f(x)axb(a0)， 3a(x1)b2a(x1)b2x17. 即ax(5ab)2x17， f(x)的解析式是f(x)2x7. (4)已知f(x)满足2f(x)f(x)3x，求f(
7、x)的解析式. 解(方程组法)2f(x)f(x)3x， 将x用x替换，得2f(x)f(x)3x， 由解得f(x)3x. 函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式， 然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系 数法. (3)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新 元的取值范围. (4)方程思想：已知关于f(x)与f或f(x)等的表达式，可根据已知条件 再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 思维升华 (2)已知yf(
8、x)是二次函数，若方程f(x)0有两个相等实根，且f(x) 2x2，则f(x)_. 解析设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb， 2axb2x2，则a1，b2. f(x)x22xc， 又f(x)0，即x22xc0有两个相等实根. 44c0，则c1. 故f(x)x22x1. x22x1 (3)已知f(x)满足f(x)2f2x，则f(x)_. 命题点1求分段函数的函数值 题型三分段函数 多维探究 命题点2分段函数与方程、不等式问题 例3(1)(2021长春模拟)已知函数f(x)若f(a)f(1)0， 则实数a的值等于 A.3 B.1 C.1 D.3 解析f(1)212，f(a)20，f
9、(a)2， 当a0时，f(a)a12，a3， 当a0时，f(a)2a2，方程无解， 综上有a3. (2)已知函数f(x) 则不等式f(x)1的解集为 A.(，2 B.(，0(1,2 C.0,2 D.(，01,2 解析当x1时，log2x1，1x2. f(x)1的解集为(，01,2. (1)分段函数的求值问题的解题思路 求函数值：当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值. 求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然 后求出相应自变量的值，切记要代入检验. (2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路 依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来. 思维升华 跟踪训练
10、2(1)(2021河北冀州一中模拟)设f(x) 则 f(f(1)_，f(x)的最小值是_.0 解析f(1)2， 当x0时，每一个x对应2个y，图象中x0 对应2个y，所以均不是函数图象； 图象是函数图象. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析f(8)1log28132， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 4.如图，AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD是 四分之一圆的扇形，点P在线段AB上，PQAB，且PQ交AD或交弧DB 于点Q，设APx(0 x2)，图中阴影部分
11、表示的平面图形APQ(或APQD) 的面积为y，则函数yf(x)的大致图象是 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析观察可知阴影部分的面积y的变化情况为： (1)当0 x1时，y随x的增大而增大，而且增加的速度 越来越快. (2)当1x2时，y随x的增大而增大，而且增加的速度 越来越慢. 分析四个选项中的图象，只有选项A符合条件. 12345678910 11 12 13 14 15 16 1 2 2 1 2 2 故选ACD. 12345678910 11 12 13 14 15 16 1 e x x 12345678910 11 12 13 14 15 16 1 1
12、 1 e x x 1 e x x 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 7.已知f(x5)lg x，则f(2)_. 解析令x52，则x ， 1 5 2 1 5 lg 2 12345678910 11 12 13 14 15 16 8.已知函数f(x) 若f(f(1)3，则b_.3 解析f(1)b1， f(b1)3， 当b11即b2时， 2b113，解得b3， 当b11即b1的实数a的取值范围是 _. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2,0)(0，) 解析因为f(a)1， 由知2a0.
13、 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 10，f(1)352. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)画出这个函数的图象； 解这个函数的图象如图. 在函数f(x)3x5的图象上截取x0的部分， 在函数f(x)x5的图象上截取01的部分. 图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (3)求f(x)的最大值. 解由函数图象可知，当x1时，f(x)取最大值6. 12345
14、678910 11 12 13 14 15 16 12.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能 停下，这段距离叫做刹车距离.在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离 y(m)与汽车的车速x(km/h)满足下列关系：y mxn(m，n是常数).如 图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)的关系图. (1)求出y关于x的函数解析式； 12345678910 11 12 13 14 15 16 解由题意及函数图象， 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)如果要求刹车距离不超过25.2 m，求行驶的最大速度. 得72x70. x
15、0，0 x70. 故行驶的最大速度是70 km/h. 12345678910 11 12 13 14 15 16 技能提升练 13.设函数f(x) 则满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是 _. 解析画出f(x)的图象如图所示， (，0) 解得x0，则实数a的取值范围 为_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (，2)(2，) 解析当a0时，显然不成立. 当a0时，不等式af(a)f(a)0等价于a22a0，解得a2. 当a0等价于a22a0，解得a2. 综上所述，实数a的取值范围为(，2)(2，). 12345678910 11 12 13 14 15 16 拓展冲刺练 12345678910 11 12 13 14 15 16 因为b为正实数， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 大一轮复习讲义 本课结束 更多精彩内容请登录：
