1、大一轮复习讲义 第七章立体几何与空间向量 7.2空间点、直线、平面之间的位置关系 1.理解空间直线、平面位置关系的定义. 2.了解可以作为推理依据的公理和定理. 3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单 命题. 考试要求 主干梳理主干梳理 基础落实基础落实 题型突破题型突破 核心核心探究探究 课时精练课时精练 内容 索引 ZHUGANSHULI JICHULUOSHI 主干梳理 基础落实 1 1.四个公理、三个推论四个公理、三个推论 公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线上所有的点 都在这个平面内. 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这
2、些公 共点的集合是经过这个公共点的一条直线. 公理3：经过 的三点，有且只有一个平面. 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面. 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 . 知识梳理 两点 不在同一条直线上 平行 2.空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系 (1)位置关系的分类 共面直线 直线 直线 异面直线：不同在 一个平面内，没有公共点 定理：过平面内的一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该 点的直线是异面直线. 平行 相交 任何 分类： (2)异面直线所成的角 定义：
3、设a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线aa， bb，把直线a与b所成的 叫做异面直线a与b所成的 角(或夹角). 范围： . 定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同， 那么这两个角相等. 3.直线与平面的位置关系有 、 、_ 三种情况. 4.平面与平面的位置关系有 、 两种情况. 锐角(或直角) 直线在平面内直线与平面相交直线与平 面平行 平行相交 1.分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？ 微思考 提示不一定，因为异面直线不同在任何一个平面内.分别在两个不同平 面内的两条直线可能平行或相交或异面. 2.平面外的一条直线上有两个点到平面的距离相等，则直线与平面的
4、位 置关系如何？ 提示平行或相交. 题组一思考辨析题组一思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)有三个公共点的两个平面必重合.() (2)三条两两相交的直线确定一个平面.() (3)若Al，Bl，且A，B，则l.() (4)如果两个不重合的平面，有一条公共直线a，就说平面，相交， 记作a.() 基础自测 题组二教材改编题组二教材改编 2.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别 是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为 A.30 B.45 C.60 D.90 解析连结B1D1，D1C(图略)，则B1D1EF，故D1B1C即为所求的角.
5、 又B1D1B1CD1C， B1D1C为等边三角形， D1B1C60. 3.如果直线a平面，直线b平面.且，则a与b A.共面 B.平行 C.是异面直线 D.可能平行，也可能是异面直线 解析，说明a与b无公共点， a与b可能平行也可能是异面直线. 4.两两平行的三条直线可确定_个平面. 解析若三条直线在同一平面内，则确定1个平面. 若三条直线不共面，则确定3个平面. 1或3 题组三易错自纠题组三易错自纠 5.若直线ab，且直线a平面，则直线b与平面的位置关系是 A.b B.b C.b或b D.b与相交或b或b 解析由题意知，b与的位置关系可能是b，b与相交或b. 6.下列关于异面直线的说法正确
6、的是_.(填序号) 若a，b，则a与b是异面直线； 若a与b异面，b与c异面，则a与c异面； 若a，b不同在平面内，则a与b异面； 若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面. 解析a，b，则a与b可能平行，异面或相交. a与b异面，b与c异面，则a与c平行、相交或异面. a，b不同在内，则a与b异面或平行. 由异面直线的定义可知正确. TIXINGTUPO HEXINTANJIU2题型突破 核心探究 例1如图所示，已知在正方体ABCDA1B1C1D1 中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，ACBDP， A1C1EFQ.求证： (1)D，B，F，E四点共面； 题型一平面基本性质的应用 师生
7、共研 证明EF是D1B1C1的中位线， EFB1D1. 在正方体AC1中，B1D1BD，EFBD. EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面 (2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线 证明在正方体AC1中，设平面A1ACC1为， 平面BDEF为. QA1C1，Q. 又QEF，Q， 则Q是与的公共点，同理，P是与的公共点， PQ. 又A1CR，RA1C. R，且R， 则RPQ，故P，Q，R三点共线 共面、共线、共点问题的证明 (1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个 平面内. (2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直
8、线上. (3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其 他直线经过该点. 思维升华 跟踪训练1如图，在空间四边形ABCD中，E，F分 别是AB和BC上的点，G，H分别是CD和AD上的点. 若EH与FG相交于点K. 求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点. 证明因为KEH，EH平面ABD，所以K平面ABD， 同理K平面CBD，而平面ABD平面CBDBD，因此KBD， 所以EH，BD，FG三条直线相交于同一点. 题型二判断空间两直线的位置关系 师生共研 例2(1)是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m ，n， 且Am，A，则m，n的位置关系不可能是 A.垂直B.相交
9、C.异面D.平行 解析依题意，mA，n， m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行. (2)已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是长方形A1B1C1D1与长 方形BCC1B1的中心，则下列说法正确的是 A.直线MN与直线A1B是异面直线 B.直线MN与直线DD1相交 C.直线MN与直线AC1是异面直线 D.直线MN与直线A1C平行 解析如图，因为M，N分别是长方形A1B1C1D1 与长方形BCC1B1的中心，所以M，N分别是A1C1， BC1的中点，所以直线MN与直线A1B平行，所以 A错误； 因为直线MN经过平面BB1D1D内一点M，且点M不在直线DD1上， 所以直
10、线MN与直线DD1是异面直线，所以B错误； 因为直线MN经过平面ABC1内一点N，且点N不在直线AC1上， 所以直线MN与直线AC1是异面直线，所以C正确； 因为直线MN经过平面A1CC1内一点M，且点M不在直线A1C上， 所以直线MN与直线A1C是异面直线，所以D错误. (1)点、线、面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型 来判断，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、 线、面的位置关系. (2)对异面直线的判定常用到以下结论：平面外一点A与平面内一点B的连 线和平面内不经过点B的直线是异面直线. 思维升华 跟踪训练2(1)空间中有三条线段AB，BC，CD，
11、且ABCBCD，那 么直线AB与CD的位置关系是 A.平行B.异面 C.相交或平行D.平行或异面或相交均有可能 解析根据条件作出示意图，容易得到以下三种情况均有可能， 如图可知AB，CD有相交，平行，异面三种情况. (2)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的 中点，有以下四个结论： 直线AM与CC1是相交直线； 直线AM与BN是平行直线； 直线BN与MB1是异面直线； 直线AM与DD1是异面直线. 其中正确的结论为_.(注：把你认为正确的结论序号都填上) 解析因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面 CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1
12、不过 点M，所以AM与CC1是异面直线，故错； 取DD1中点E，连结AE(图略)，则BNAE，但AE 与AM相交，故错； 因为B1与BN都在平面BCC1B1内，M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所 以BN与MB1是异面直线，故正确； 同理正确，故填. 题型三求两条异面直线所成的角 师生共研 例3(2021青岛模拟)如图，在底面为正方形，侧 棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1 2AB2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 解析连结BC1，易证BC1AD1， 则A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角 连结A1C1，由AB1，AA12， 用平移法求异面直线所成的
13、角的三个步骤 (1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角. (2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角. (3)三求：解三角形，求出所作的角. 思维升华 跟踪训练3(2018全国)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，ABBC1， AA1 ，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为 解析如图，连结BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连结DM，OM. 易知O为BD1的中点，所以AD1OM，则MOD为异面 直线AD1与DB1所成角或其补角. KESHIJINGLIAN3 课时精练 1.(2021上海市松江区模拟)给出以下四个命题： 依次首尾相接的四条线段必共面； 过不在同一条直线上的三点
14、，有且只有一个平面； 空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角 必相等； 垂直于同一直线的两条直线必平行. 其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 78910 11 12 13 14 15 16 基础保分练 123456 解析中，空间四边形的四条线段不共面，故错误. 中，由公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面， 故正确. 中，由空间角的等角定理知，空间中如果一个角的两边与另一个角的 两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故错误. 中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交，可平行，可异面， 故错误. 78910 11 12 13 14 15
15、16123456 2.已知平面，两两垂直，直线a，b，c满足：a，b，c，则 直线a，b，c不可能满足以下哪种关系 A.两两垂直 B.两两平行 C.两两相交 D.两两异面 78910 11 12 13 14 15 16123456 解析设l，且l与a，b均不重合， 假设abc，由ab可得a，b， 又l，可知al，bl， 又abc，可得cl， 因为，两两互相垂直，可知l与相交， 即l与c相交或异面. 若l与a或b重合，同理可得l与c相交或异面， 可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行. 78910 11 12 13 14 15 16123456 78910 11 12 13 14 15 16
16、 解析由题意知，Dl，l，所以D， 又因为DAB，所以D平面ABC， 所以点D在平面ABC与平面的交线上. 又因为C平面ABC，C， 所以点C在平面与平面ABC的交线上， 所以平面ABC平面CD. 3.如图所示，平面平面l，A，B，ABlD， C，C l，则平面ABC与平面的交线是 A.直线ACB.直线AB C.直线CDD.直线BC 123456 四边形BFOE是平行四边形， BFOE， BF 平面AD1E，OE平面AD1E， BF平面AD1E. 4.在如图所示的正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E， F分别是棱B1B，AD的中点，则直线BF与平面 AD1E的位置关系是 78910 11 1
17、2 13 14 15 16 A.平行B.相交但不垂直 C.垂直D.异面 解析如图，取AD1的中点O，连结OE，OF，则OFBE，OFBE， 123456 5.(多选)(2020全国改编)下列四个命题中是真命题的为 A.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内 B.过空间中任意三点有且仅有一个平面 C.若空间两条直线不相交，则这两条直线平行 D.若直线l平面，直线m平面，则ml 78910 11 12 13 14 15 16123456 解析对于A，可设l1与l2相交，这两条直线确定的平面为； 若l3与l1相交，则交点A在平面内， 同理，l3与l2的交点B也在平面内， 所以，AB，即l3，A
18、为真命题； 对于B，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，故B为假命题； 对于C，两条直线有可能平行也有可能异面，故C为假命题； 对于D，若直线m平面，则m垂直于平面内所有直线， 因为直线l平面，所以直线m直线l，D为真命题. 78910 11 12 13 14 15 16123456 6.(多选)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是B1D1的中点，直 线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是 A.A，M，O三点共线 B.A，M，O，A1共面 C.A，M，C，O共面 D.B，B1，O，M共面 78910 11 12 13 14 15 16123456 解析MA1C，A
19、1C平面A1ACC1， M平面A1ACC1， 又M平面AB1D1， M在平面AB1D1与平面A1ACC1的交线AO上， 即A，M，O三点共线， A，M，O，A1共面且A，M，C，O共面， 平面BB1D1D平面AB1D1B1D1， M在平面BB1D1D外， 即B，B1，O，M不共面，故选A，B，C. 78910 11 12 13 14 15 16123456 7.如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则直线 GH，MN是异面直线的图形有_.(填序号) 78910 11 12 13 14 15 16 123456 解析中GHMN； 中，G，H，N三点共面，但M 平面GHN，因此G
20、H，MN是异面直线； 中连结GM，GMHN且GMHN，所以直线GH与MN必相交； 中，G，M，N三点共面，但H 平面GMN，因此GH，MN是异面直线. 78910 11 12 13 14 15 16123456 8.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中 点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正 切值为_. 78910 11 12 13 14 15 16123456 解析取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连结C1D，AD， 因为C是圆柱下底面弧AB的中点， 所以ADBC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的 角，
21、因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D垂直于圆柱下底面， 所以C1DAD. 因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形， 78910 11 12 13 14 15 16123456 9.(2021西安模拟)如图是正四面体的平面展开图， G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在 这个正四面体中，GH与EF平行；BD与MN为 异面直线；GH与MN成60角；DE与MN垂直. 78910 11 12 13 14 15 16 以上四个命题中，正确命题的序号是_. 123456 78910 11 12 13 14 15 16 解析还原成正四面体A-DEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合
22、. 易知GH与EF异面，BD与MN异面. 又GMH为等边三角形， GH与MN成60角， 易证DEAF，MNAF，MNDE. 因此正确的序号是. 123456 10.已知下列说法： 若两个平面，a，b，则ab； 若两个平面，a，b，则a与b是异面直线； 若两个平面，a，b，则a与b一定不相交； 若两个平面，a，b，则a与b平行或异面； 若两个平面b，a，则a与一定相交. 其中正确的序号是_(将你认为正确的序号都填上). 78910 11 12 13 14 15 16 123456 解析错.a与b也可能异面. 错.a与b也可能平行. 对.，与无公共点， 又a，b，a与b无公共点. 对.由已知及知，
23、a与b无公共点， 那么ab或a与b异面. 错.a与也可能平行. 78910 11 12 13 14 15 16123456 11.如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与 四边形ABCD都是直角梯形，BADFAB 90，BCAD且BC AD，BEAF且BE AF， G，H分别为FA，FD的中点. 78910 11 12 13 14 15 16 (1)证明：四边形BCHG是平行四边形； 证明由已知FGGA，FHHD， GH綊BC. 四边形BCHG为平行四边形. 123456 (2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？ 78910 11 12 13 14 15 16 BE綊FG，四边形BE
24、FG为平行四边形， EFBG. 由(1)知BG綊CH，EFCH， EF与CH共面. 又DFH，C，D，F，E四点共面. 123456 所以PQMN，PQMN， 所以四边形PQMN是平行四边形. 12.已知空间四边形ABCD的对角线AC20，BD 19，异面直线AC与BD所成角的余弦值为 ，点P， Q，M，N分别是AB，BC，CD，DA的中点. 78910 11 12 13 14 15 16 (1)求证：四边形PQMN是平行四边形； 证明因为P，Q分别是AB，BC的中点， 123456 (2)求四边形PQMN的面积. 78910 11 12 13 14 15 16 解因为P，N分别是AB，AD的
25、中点， 又因为PQAC， 所以PQ与PN所成的角就是异面直线AC，BD所成的角， 123456 13.(2019全国)如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形， 平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，则 A.BMEN，且直线BM，EN是相交直线 B.BMEN，且直线BM，EN是相交直线 C.BMEN，且直线BM，EN是异面直线 D.BMEN，且直线BM，EN是异面直线 78910 11 12 13 14 15 16 技能提升练 123456 78910 11 12 13 14 15 16 解析如图，取CD的中点O，连结ON，EO， 因为ECD为正三角形，所以EOCD， 又平面E
26、CD平面ABCD，平面ECD平面ABCDCD， 所以EO平面ABCD. 所以EN2EO2ON24，得EN2. 过M作CD的垂线，垂足为P，连结BP， 123456 78910 11 12 13 14 15 16 连结BD，BE，因为四边形ABCD为正方形， 所以N为BD的中点， 即EN，MB均在平面BDE内， 所以直线BM，EN是相交直线. 123456 78910 11 12 13 14 15 16 14.已知球O是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中 心)ABCD的外接球，BC3，AB 点E在线段BD上，且BD3BE， 过点E作球O的截面，则所得的截面中面积最小的截面圆的面积
27、是_ 123456 2 78910 11 12 13 14 15 16 解析如图，设BDC的中心为O1，球O的半径为R， 连结AO1，O1D，OD，O1E，OE， 123456 在RtOO1D中， R23(3R)2，解得R2， BD3BE，DE2，在DEO1中， 78910 11 12 13 14 15 16 过点E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的 面积最小， 123456 面积为2. 15.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3 ，E，F分别为BC，CD的 中点，P是线段A1B上的动点，C1P与平面D1EF的交点Q的轨迹长为 78910 11 12 13 14 15 16 拓
28、展冲刺练 123456 解析如图所示，连结EF，A1B，连结A1C1， B1D1交于点M，连结B1E，BC1交于点N， 由EFB1D1，即E，F，B1，D1共面， 由P是线段A1B上的动点，当P重合于A1或B时， C1A1，C1B与平面D1EF的交点分别为M，N， 即Q的轨迹为MN， 则BC16， 78910 11 12 13 14 15 16123456 78910 11 12 13 14 15 16123456 由A1BBC1A1C1， 得A1C1B60， 16.如图1，在边长为4的正三角形ABC中，D，F分别为AB，AC的中点， E为AD的中点.将BCD与AEF分别沿CD，EF同侧折起，
29、使得二面角 AEFD与二面角BCDE的大小都等于90，得到如图2所示的多 面体. 78910 11 12 13 14 15 16 (1)在多面体中，求证：A，B，D，E四点共面； 123456 证明因为二面角AEFD的大小等于90， 所以平面AEF平面DEFC， 又AEEF，AE平面AEF，平面AEF平面DEFCEF， 所以AE平面DEFC， 同理，可得BD平面DEFC， 所以AEBD，故A，B，D，E四点共面. 78910 11 12 13 14 15 16123456 (2)求多面体的体积. 78910 11 12 13 14 15 16 解因为AE平面DEFC，BD平面DEFC，EFCD， AEBD，DECD， 所以AE是四棱锥ACDEF的高，点A到平面BCD的距离 等于点E到平面BCD的距离， 123456 大一轮复习讲义 本课结束 更多精彩内容请登录：
