1、第二十六讲平面向量的应用 回归课本 1.向量应用的常用结论 (1)两个向量垂直的充要条件 符号表示:abab=0. 坐标表示:设a=(x ,y ),b=(x ,y ),则abx x +y y =0. 1 12 21 21 2 (2)两个向量平行的充要条件 符号表示:若ab,b0,则a=b. 坐标表示:设a=(x ,y ),b=(x ,y ),则ab (x ,y )=(x ,y ),即 1 12 21 12 2 x x 或x y -x y =0. 12 1 2 2 1 , y y2 1 a (3)夹角公式cos= (4)模长公式|a|= (0180). | a | b | | a | 2 x y
2、 (a=(x,y). 22 (5)数量积性质|ab|a|b|. 2.向量应用的分类概述 (1)应用平面向量解决函数与不等式的问题,是以函数和不等 式为背景的一种向量描述,它需要掌握向量的概念及基本 运算,并能根据题设条件构造合适的向量,利用向量的“数” “形”两重性解决问题. (2)平面向量与三角函数的整合,仍然是以三角题型为背景的 一种向量描述,它需要根据向量的运算性质将向量问题转 化为三角函数的相关知识来解答,三角知识是考查的主体. (3)平面向量在解析几何中的应用,是以解析几何中的坐标为 背景的一种向量描述,它主要强调向量的坐标运算,将向量 问题转化为坐标问题,进而利用直线和圆锥曲线的位
3、置关 系的相关知识来解答,坐标的运算是考查的主体. (4)平面向量在平面几何中的应用,是以平面几何中的基本图 形(三角形 平行四边形 菱形等)为背景,重点考查平面向量 的几何运算(三角形法则 平行四边形法则)和几何图形的 基本性质. (5)平面向量在物理力学等实际问题中的应用,是以实际问题 为背景,考查学科知识的综合及向量的方法. 注意:(1)在解决三角形形状问题时,回答要全面 准确,处理四 边形问题时,要根据平行四边形或矩形 菱形 正方形及梯 形的性质处理. (2)用向量处理物理问题时,一般情况下应画出几何图形,结合 向量运算与物理实际进行解决. 考点陪练 1.( 2010 湖北 已知和点M
4、满足MA MB MC 0. 若存在实数m使得AB AC m AM成立,则m ( ) A.2 B. 3 C.4 D.5 解析:由MA MB MC 0得点M是的重心, AM 1 (AB AC), AB AC 3AM,m 3,选B. 3 答案:B 2.( 2010 天津 如图 在中 AB, BC 3BD,| AD |1, 则AC) 3 A.2 3B. 2 3 C.D. 3 3 解析:因为AC BC BA 3BD BA,所以AC ( 3BD BA) 又AD AB,所以BA所以 又BD AD AB,所以AC 3BD 3(AD AB) 答案:D x 3 6 4 3.将y 2cos 的图象按向量a ,2 .
5、平移,则 平移后所得图象的解析式为( ) x A.y 2cos 2 3 4 x B.y 2cos 2 3 4 x C.y 2cos 2 3 12 x D.y 2cos 2 3 12 x 3 6 解析:函数y 2cos 的图象按向量a ,2 平 4 1 移后所得图象解析式为y 2cos x 2 3 4 6 1 2cos x 2,所以选A. 3 4 答案:A 4.若直线2x-y+c=0按向量a=(1,-1)平移后与圆x2+y2=5相切, 则c的值为( ) A.8或-2 C.4或-6 B.6或-4 D.2或-8 解析:直线2x-y+c=0,按a=(1,-1)平移后得直线 2(x-1)-(y+1)+c
6、=0,即2x-y-3+c=0, | c 3| 由d=r, 得 答案:A 得c=8或-2. 5, 5 5.已知等差数列a 的前n项和为S ,若a+a2009 OB OAnn2 ,且A B C三点共线(该直线不过点O),则S 等于( ) OC2010 A.1005 C.2010 B.1010 D.2015 解析:由题意知A B C三点共线,则a +a =1. 22009 S =10051=1005.故选A. 2010 2010(a a ) 答案:A 12010 2 类型一利用向量解决平面几何问题 解题准备:一般情况下,用向量解决平面几何问题,要用不共线 的向量表示题目所涉及的所有向量,再通过向量的
7、运算法 则和性质解决问题. 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”: 建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几 何元素,将平面几何问题转化为向量问题; 通过运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; 把运算结果“翻译”成几何关系. 【典例1】如图,正方形OABC两边AB BC的中点分别为D和 E,求DOE的余弦值. 分析把DOE转化为向量夹角. 1 解解法一:OD OA AD OA AB,OE 2 1 OC CE OC CB. 2 OD 22 OAAB 24 C,OA CB, AB OD| , | OD | | OA| 2 又 2 2 | AD |2 15 | AB | |
8、AB | | AB | ,| OE | | OD | 2. 2 2 22 44 22 ODoOE | AB | | AB | 4 cosDOE . 5 4 | OD | OE | | OD |25 | AB |2 解法二:如图建立直角坐标系,设A(2,0),C(0,2),则 D(2,1),E(1,2). OD | OD | OE | 5. ODoOE 112 4. 4 4 . 故cosDOE 5| OD | OE | ( 5)2 反思感悟利用向量解几何题,关键是将有关线段设为向量, 不同的设法可出现不同的解法;或者建立平面直角坐标系, 用坐标法解之.利用向量解平面几何有时特别方便,但要注 意一
9、点,不宜搞得过难,因为高考在这方面要求不高. 类型二向量在解析几何的应用 解题准备:向量与解析几何结合的综合题是高考命题的热点, 解题的关键是正确把握向量与坐标之间的转化和条件的运 用.常见技巧有两个:一是以向量的运算为切入口;二是结合 向量的几何意义及曲线的有关定义作转化. 【典例2】在平面直角坐标系xOy中,点P到两点 (0, 3), (0, 3) 的距离之和等于4,设点P的轨迹为C,直线y=kx+1与C交于 A,B两点. (1)写出C的方程; (2) 若 求k的值; OA OB, (3)若点A在第一象限,证明:当k0时,恒有 |OA| |OB |. 分析(1)由点P满足的条件列出等式,化
10、简可得C的方程; (2)由 这是解题的突破口; (3)证明的关键是写出 再结合题的条件即可求证. OA OB OA |OA| 2 |OB | , 2 解(1)设P(x,y),由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以 (0, 3), (0, 3)为焦点,长半轴为2的椭圆. 它的短半轴 2 2 b 2 ( 3) 1, y 2 故曲线C的方程为x2+ 1. 4 2 y 2 x 1, 消去y并 2 设A x , y ,B x , y ,其坐标满足4 1122 y kx 1, 2k 整理,得 k 4 x 2kx 3 0,故x x 2 2 , 12 2 k 4 3 x x 1 2 . 2 k 4 若OA OB,则
11、x x y y 0. 1 21 2 于是 而 2y y k x x k x x 1, x x y y 1 21 2121 21 2 22 3 2 3k2k 1 0, 4k 1 0, 化简得 2 k 4 k 4 k 4 2 2 1 所以k . 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 3 证明:| OA| | OB | (x y ) (x y ) 2 1 2 2 (x x ) 4(1 x 1 x ) 2 1 2 2 6k(x x ) 3 x x x x . 12 1212 2 k 4 在第一象限,故x 0. 1 3 由x x ,知x 0,从而x x 0. 1 2 212 2 k 4 k 0,
12、| OA| | OB | 0. 又 故 2 2 即在题设条件下,恒有| OA| OB |. 类型三向量在物理中的应用 解题准备:用向量知识研究物理问题的基本思想和方法是:(1) 认真分析物理现象,深刻把握物理量之间的相互关系;(2)通 过抽象 概括,把物理现象转化为与之相关的向量问题;(3) 利用向量知识解决这个向量问题,并获得这个向量的解;(4) 利用这个结果,对原物理现象作出合理解释.即用向量知识 圆满解决物理问题. 【典例3】一条河的两岸平行,河宽为d km,一艘船从A处出发 航行到对岸,已知船航行的速度为|v | km/h,水流速度为|v | 12 km/h.要使船抵达B的上游C处且B
13、C=d km,若取 |v |=10,|v |=4,d=2,则用时多少? 12 解作出位移平行四边形AGCF,如图所示,则CF=AG=|tv |, 2 在RtABF中, d2+(d+t|v |)2=t2|v |2, 21 即(|v |2-|v |2)t2-2d|v |t-2d2=0, 122 把d=2,|v |=10,|v |=4代入上式,得 12 84t2-16t-8=0,解得t0.418(h). 类型四向量在三角形中的应用 解题准备:平面向量与解三角形的综合题是高考中的一个热 点.其解题的基本思路是: (1)在这些问题中,平面向量实际上主要呈现为叙述问题的一 种语言或者工具,其考查要求并不高
14、,解题时要综合利用平 面向量的几何意义等将题中的条件翻译成简单的数学问题 . (2)在解题时,既要考虑三角形中的边角关系性质的应用;又要 考虑向量的工具性作用,如利用向量的模与数量积转化边 长与夹角问题;还要注意三角形中边角的向量关系式的表 示形式. 【典例4】已知的面积S满足 3S3,且AB 设AB与BC的夹角为. 1 求的取值范围; sin 2sin 求函数 f 2 cos2的最小值 . 2 解 1 6 cos | AB |. 1 2 3tan, 又AB | BC | 3 33tan3,即 tan1,又 ), 3 . 64 2 f 1 2cos sin2 cos2 sin2 2 2 2si
15、n 2 2,由 , ,得2 , , 6 4 3 2 4 7 3 2 , , 4 12 4 3 当2 时,f 3. 4 4 min 反思感悟三角形的三边可与三个向量对应,这样就可以利用 向量的知识来解三角形了,解决此类问题要注意内角与向 量的夹角之间的联系与区别,还要注意向量的数量积与三 角形面积公式之间关系的应用. 类型五向量在函数不等式中的应用 解题准备:借助向量的坐标表示,将已知条件实数化并转化为 函数问题,利用函数的性质解之.向量主要是通过模与不等 式联系起来,常用的工具有均值不等式及|ab| |a|b|. 【典例5】设0|a|2且函数f(x)=cos2x-|a|sinx-|b|的最大值
16、 为0,最小值为-4,且a与b的夹角为45,求|a+b|. 分析由于已知=45,故可求出|a|、|b|后再求|a+b|. 2 f x 1 sin x a sinx b解 sinx | a | | a | 2 | b | 1. 2 2 4 | a | 12 2,当sinx 时, a b 1 0; 2 4 当sinx 1时, a b 4. 1 4 | a | 2 | b | 1 0 | a | 2, 由 | b | 2. | a | | b | 4 2 a b 8 4 2,即 a b 2 2 2. 反思感悟由于已知f(x)的最值,故可结合二次函数的最值确 定|a|与|b|的大小,再结合=45,可求
17、出|a+b|.本题充 分体现了函数与不等式思想在向量中的应用. 错源一错误地认为|ab|=|a|b| 【典例1】已知向量a,b,试比较|ab|与|a|b|的大小. 错解|ab|=|a|b|. 剖析设向量a与b的夹角为. 则ab=|a|b|cos. (1)当ab时,=90,ab=0, 所以|ab|=0,但|a|b|0, 故有|ab|a|b|; (2)当a与b同向或反向时,cos0=1,cos180=-1, 有|ab|=|a|b|; (3)当夹角为锐角或钝角时, |ab|=|a|b|cos|, |cos|1,故有|ab|a|b|. 正解综合上述可知,|ab|a|b|. 错源二“共线”运用出错 【典
18、例2】如图,半圆的直径AB=2,O为圆心,C是半圆上不同 于A,B的任意一点,若P为半径C上的动点,则 最小值是_. (PA PB) 的 错解 点 是AB的中点,PA PB 2PO, 1 PC | AB 1, 2 设| PC | x 0 x1 ,则2PO 2 1 1 2 2 2x 1 x 2 x , 当x 0或x 1时,上式有最小值0. 剖析本题的错误在于忽视向量的方向,导致了计算上的失误 .向量 虽然共线,但其方向相反,所以向量运算时, PO,PC 一定要看清方向. 正解 点 是AB的中点, PA PB 2PO, 设| PC | x,则| PO |1 x 0 x1 , (PA PB) 2 1
19、 1 2x(1 x) 2 x . 2 2 11 当x 时,上式有最小值 . 22 1 答案 2 技法一整体思想 【典例1】如图所示,在Rt中 已知BC a,若长为2a的线 段PQ以点A为中点,问PQ与BC的夹角取何值时, BP 的 值最大?并求出这个最大值. 解题切入点解答本题的关键是要结合图形,利用向量的三角 形法则找出向量之间的关系;或建立适当的坐标系,利用向 量的坐标形式来解答. 解以直角顶点A为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建 立平面直角坐标系, 设B(b,0),C(0,c),所以b2+c2=a2, 设P点坐标为(x,y), 则Q点坐标为(-x,-y),且x2+y2=a2, 则BP
20、 (x b, y),CQ (x,y c), b)( x) y( y c) x y bx cy . 2 2 BP 又BC (b,c), PQ (2x,2y),而BC cos 2bx 2cy, BP os a , 2 当cos 1时, BP 有最大值0,即当 0(即PQ与B C的方 向相同)时, BP 最大 最大值为0. 技法二转化与化归 【典例2】如图所示,若点D是ABC内一点,并且满足 AB2+CD2=AC2+BD2,求证:ADBC. 解题切入点借助向量的减法,分别表示出向量,然后代入已知 条件证明. 证 明设AB c, AC b, AD m,则BD AD AB m c, CD AD AC m b. 22 2 2 CD AC BD , 2 2 2 c m b b m c , 2 2 2 2222 即c m 2m 即2m0,即AD AD BC.
