1、抛物线极其标准方程 抛球运动抛球运动 F l M1 M M2 当当 0k1 时是双曲线时是双曲线 当当 k=1 是？是？ M F l e ; , k F lM F M 距离之比为 ）的（不过点 到定直线与 的距离到定直线 如果动点 画抛物线 ； F K M N 注意注意 F M l N 如何建立直角如何建立直角 坐标系？坐标系？ 想一想？想一想？ 求曲线方程的基求曲线方程的基 本步骤是怎样的？本步骤是怎样的？ 步骤：步骤： （1）建系）建系 （2）设点）设点 （3）列式）列式 （4）化简）化简 （5）检验）检验 标准方程 (1)(2)(3) L F K M N L F K M N L F K
2、M N xxx yyy o oo x y o F M l N K 1 1、建系、建系 。的方程），准线的坐标（那么焦点 ），设建立平面直角坐标系 的中点重合，并使原点与线段垂足为 轴，的直线为且垂直于直线取经过点 2 0 , 2 0( p xl p F ppKFOxy KFK xlF 2 2、设点、设点 dMFMP d lMyxM 物线是点的集合由抛物线的定义，由抛为 的距离到准线点是抛物线上任意一点，设 . ),( 3 3、列式、列式 2 ) 2 2 ,) 2 22 22 p xy p x p xdy p xMF （所以 （ 4、化简 ）（得将上式两边平方化简，02 2 ppxy 方程。方程
3、叫做抛物线的标准 抛物线上，我们把上述方程的解为坐标的都在的距离相等，即以上述 的距离和它到准线与抛物线的焦点的点以上述方程的解为坐标 都是上述方程的解标抛物线上任意一点的坐从上述过程可以看到， 2 )0 , 2 (),( ),( p x p Fyx yx 的抛物线是 准线轴正半轴，焦点是它表示焦点在 2 ),0 , 2 ( p x p Fx 方程方程 y2 = 2px（p0） 其中其中 为正常数，它的几何意义是为正常数，它的几何意义是: 焦焦 点点 到到 准准 线线 的的 距距 离离 抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程 一一.定义定义:平面内与一个定点平面内与一个定点F F和一条定直线和一
4、条定直线l l的的 距离相等的点的轨迹叫做距离相等的点的轨迹叫做。定点。定点F F叫做抛叫做抛 物线的物线的定直线定直线l l 叫做抛物线的叫做抛物线的。 二二.标准方程标准方程: y o x F M l N K 则则F（ ，0），），l：x = - p 2 p 2 一条抛物线，由于它在坐标平一条抛物线，由于它在坐标平 面内的位置不同，方程也不同，所面内的位置不同，方程也不同，所 以抛物线的标准方程还有其它形式以抛物线的标准方程还有其它形式. 方程方程y2 = 2px（p0）表示抛物表示抛物 线的焦点在线的焦点在 X轴的正半轴上轴的正半轴上 抛物线的标准方程还有抛物线的标准方程还有 几种不同的
5、形式几种不同的形式?它们是它们是 如何建系的如何建系的? y x o y xo y x o y xo 图图 形形 焦焦 点点 准准 线线 标准方程标准方程 ？ （1）已知抛物线的标准方程是）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x， 求它的焦点坐标和准线方程；求它的焦点坐标和准线方程； （2）已知抛物线的方程是）已知抛物线的方程是y = 6x2， 求它的焦点坐标和准线方程；求它的焦点坐标和准线方程； （3）已知抛物线的焦点坐标是）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），）， 求它的标准方程。求它的标准方程。 解：因为，故焦点坐标为（解：因为，故焦点坐标为（,） 准线方程为准线方程为x=- . 3 2
6、 3 2 1 12 解解:方程可化为方程可化为:x =- y,故故p=,焦点坐标焦点坐标 为为(0, -),准线方程为准线方程为y= . 1 6 1 24 1 24 2 解解:因焦点在因焦点在y轴的负半轴上轴的负半轴上,且且p=4,故其标准故其标准 方程为方程为:x = - 8y 2 练习：练习： 1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：、根据下列条件，写出抛物线的标准方程： （1）焦点是）焦点是F（3，0）；）； （2）准线方程）准线方程 是是x = ； 4 1 （3）焦点到准）焦点到准 线的距离是线的距离是2。 y2 =12x y2 =x y2 =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y
7、或或 x2 = -4y 2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）y2 = 20 x （2）x2= y （3）x2 +8y =0 2 1 焦点坐标焦点坐标 准线方程准线方程 （1） （2） （3） （5，0） x= -5 （0，） 1 8 y= - 1 8 y=2 (0 , -2) 例例2 2、求过点求过点A（-3，2）的抛物线的的抛物线的 标准方程。标准方程。 A O y x 解：当抛物线的焦点在解：当抛物线的焦点在y轴轴 的正半轴上时，把的正半轴上时，把A（-3，2） 代入代入x2 =2py，得，得p= 4 9 当焦点在当焦点在x轴的负半轴上时，轴的
8、负半轴上时， 把把A（-3，2）代入）代入y2 = -2px， 得得p= 3 2 抛物线的标准方程为抛物线的标准方程为x2 = y或或y2 = x 。 2 9 3 4 22 1 (0)yaxaxy a 11 0) 44aa 焦点（ ，准线y=- )0( 2 aaxy p a 2 1 时，结论都为时，与当当00aa 例3，一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交 线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射 入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处，如图1， 已知接受天线的口径（直径）为4.8m，深度为1m，试建 立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。 )0 ,44. 1 (76. 5 88. 2, 124 . 2 4 . 2 , 1 02 2 2 2 ，焦点准方程是所以，所求抛物线的标 即代入方程得 ），的坐标是（由已知条件得，点 ）。（设抛物线的标准方程是 轴上。与原点重合，焦点在 线的顶点）收天线的顶点（即抛物建立直角坐标系，使接 的轴截面所在的平面内解：如图，在接收天线 xy pp A xpxy x O y x F A B
