1、2.3.22.3.2 双曲线简单的几何性质双曲线简单的几何性质 思考回顾 椭圆的简单几何性质 ？ 范围范围; 对称性对称性; 顶点顶点; 离心率等离心率等 l 双曲线是否具有类似的性质呢双曲线是否具有类似的性质呢? ? 回想：回想：我们是怎样研究上述性质的？我们是怎样研究上述性质的？ 2、对称性、对称性 一、研究双曲线一、研究双曲线 的简单几何性质的简单几何性质 ) 0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 1、范围、范围 2 22 2 1, , x xa a xa xa Q即 关于关于x轴、轴、y轴和原点都是对称轴和原点都是对称。 x轴、轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，
2、轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 又叫做双曲线的又叫做双曲线的中心中心。 x y o -aa (-x,-y) (-x,y) (x,y) (x,-y) 课堂新授课堂新授 3、顶点、顶点 （1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点顶点 x y o -b 1 B 2 B b 1 A 2 A -aa 12 (,0)( ,0)AaA a顶点是、只有两个！ 如图，线段如图，线段 叫做双曲线叫做双曲线 的实轴，它的长为的实轴，它的长为2a,a叫做叫做 实半轴长；线段实半轴长；线段 叫做双叫做双 曲线的虚轴，它的长为曲线的虚轴，它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长叫
3、做双曲线的虚半轴长 2 A 1 A 2 B 1 B （2） 实轴与虚轴等长的双曲线实轴与虚轴等长的双曲线 叫叫等轴双曲线等轴双曲线 （3） )0( 22 mmyx M(x,y) 4、渐近线、渐近线 1 A 2 A 1 B 2 B N(x,y) Q :的位置关系它与x a b y :的位置的变化趋势它与x a b y 的下方在x a b y 慢慢靠近慢慢靠近 x y o x a b y x a b y a b )0( 22 xax a b y 分的方程为双曲线在第一象限内部 x a b y ba b y a x 的渐近线为 双曲线)0, 0( 1 2 2 2 2 （1） 利用渐近线可以较准确的利
4、用渐近线可以较准确的 画出双曲线的草图画出双曲线的草图 （2） 双曲线的渐近线.gsp 5、离心率、离心率 双曲线的 叫做的比双曲线的焦距与实轴长, a c e 离心率。 Qca0 e 1 e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大 （1）定义：）定义： （2）e e的范围的范围： （3）e e的含义：的含义： 222 ( )1( ) cb e aa 也增大增大且时，当 a b e a b e,), 0(), 1 ( 的夹角增大增大时，渐近线与实轴e 离心率.gsp x y o 的简单几何性质 二、导出双曲线)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b x a y -a a b -b （1）
5、范围）范围: ayay, （2）对称性）对称性:关于关于x轴、轴、y轴、原点都对称轴、原点都对称 （3）顶点）顶点: (0,-a)、(0,a) （4）渐近线）渐近线: x b a y （5）离心率）离心率: a c e 22 24yx求双曲线 的渐近线方程。 例例1 :求双曲线求双曲线 的实半轴长的实半轴长,虚半轴长虚半轴长, 焦点坐标焦点坐标,离心率、渐近线方程。离心率、渐近线方程。 解：把方程化为标准方程解：把方程化为标准方程 可得可得:实半轴长实半轴长a=4 虚半轴长虚半轴长b=3 半焦距半焦距c= 焦点坐标是焦点坐标是(0,-5),(0,5) 离心率离心率: 渐近线方程渐近线方程: 1
6、44169 22 xy 1 34 2 2 2 2 xy 534 22 4 5 a c e xy 3 4 例题讲解例题讲解 小小 结结 ax 或 ax ay ay 或 )0 ,( a ), 0(a x a b y x b a y a c e ) ( 222 bac 其中 关于关于 坐标坐标 轴和轴和 原点原点 都对都对 称称 性性 质质 双曲线双曲线 ) 0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x ) 0, 0( 1 2 2 2 2 ba b x a y 范围范围 对称对称 性性 顶点顶点 渐近渐近 线线 离心离心 率率 图象图象 10 思考：思考： a yx b (3)两种双曲线的渐
7、近线方程，怎样统一记忆？两种双曲线的渐近线方程，怎样统一记忆？ (1)双曲线双曲线 的渐近线方程是什么？的渐近线方程是什么？ 22 22 1 xy ab 22 22 xy =0 ab 22 22 0 yx ab 22 22 xy =1 ab 22 22 1 yx ab b yx a a yx b 22 22 1 yx ab (2)双曲线双曲线 的渐近线方程是什么？的渐近线方程是什么？ b yx a 22 求双曲线x -y =4的实轴长、 虚轴长、渐近线、离心率。 1212 | |A AB B 三、实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线 同学们写几个等轴双曲线,并且求其离心率、 渐近线,能否得出一
8、般规律。 0m m 22 等轴双曲线x -y = （）的焦点位置在哪个轴上？ =2eyx 等轴双曲线的离心率，渐近线 1 1 -6,0F 、对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个 焦点 （），求它的标准方程。 2= 2-5,3M、已知双曲线的离心率e，并且经过点 （）， 求它的标准方程。 22 16xy 22 18xy 1 2 2 2 2 b y a x 的方程为解：依题意可设双曲线 8162aa，即 5 ,10 4 c ec a Q又 36810 22222 acb 1 3664 22 yx 双曲线的方程为 xy 4 3 渐近线方程为 )0 ,10(),0 ,10( 21 FF 焦点 16 5
9、 4 . ex 例2、（1）已知双曲线顶点间的距离是， 离心率，焦点在 轴上，中心在原点，写出 双曲线的方程，并且求出它的渐近线和焦点坐标 2 2 1. 2 x y 例2、（2）已知双曲线的一个焦点为（3,0)且与双曲线 有相同的渐近线，求双曲线标准方程 22 22 1(0,0) xy ab ab b x a 解：由题意可得：双曲线的焦点在x轴上 设双曲线的标准方程为： 双曲线的渐近线方程为：y= 2 2 2 1 22 x yxQ的渐近线方程为y= 22 22 2 ,2 3 6,3 2 1. 63 b abcab a xy Q即 双曲线的标准方程为 2 2 1 2 10 . 2 x y变式：已
10、知双曲线与双曲线有相同的渐近线， 且过点（3，），求双曲线标准方程 22 1 42 xy 16 的渐近线方程为：的渐近线方程为： 2 2 1 4 x y 2 2 4 4 x y的渐近线方程为：的渐近线方程为： 2 2 1 4 x y 的渐近线方程为：的渐近线方程为： 的渐近线方程为：的渐近线方程为： 2 2 4 4 x y 2 x y 2 x y 2 x y 2 x y 2 2 (0) 4 x y 的渐近线方程为：的渐近线方程为： 2 x y 1、“共渐近线共渐近线”的双曲线的应用的双曲线的应用 22 22 22 22 (0) 1 xy ab xy ab 与共渐近线的双曲线系 方程为， 为参数
11、 ， 0表示焦点在表示焦点在x轴上的双曲线；轴上的双曲线； a0)，求点，求点M的轨迹的轨迹. c x 2 a a c M 解：解：设点 设点M(x,y)到到l的距离为的距离为d，则，则 |MFc da 即即 22 2 ()xcyc aa x c 化简得化简得(c2a2)x2 a2y2=a2 (c2 a2) 设设c2a2 =b2， 22 22 1 xy ab (a0,b0) 故点故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线的双曲线. 222 ()|axcyacx 22224222 (2)2axcxcyaa cxc x b2x2a2y2=a2b2即即就可化为就可化
12、为: M 点点M的轨迹也包括双的轨迹也包括双 曲线的左支曲线的左支. 第二定义第二定义 例、双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线例、双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线 的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的 最小半径为最小半径为12m,上口半径为上口半径为13m,下口半径下口半径 为为25m,高高55m.选择适当的坐标系，求出此选择适当的坐标系，求出此 双曲线的方程双曲线的方程(精确到精确到1m). AA0 x CC BB y 13 12 25 例题讲解例题讲解 1 2 b y a x 2 2 2 （ a b 0） 1 2 2 2 2 b y a x ( a 0
13、 b0) 222 b a(a 0 b0) c 222 b a(a b0) c 椭椭 圆圆双曲线双曲线 方程方程 a b c关系关系 图象图象y X F1 0 F2 M X Y 0 F1F2 p 小小 结结 关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称 图形图形 方程方程 范围范围 对称性对称性 顶点顶点 离心率离心率 1 (0) xy ab ab 2222 2222 A1（- a，0），），A2（a，0）A1（0，-a），），A2（0，a） 1 00 yx (a,b) ab 2 22 2 2 22 2 yaya x R ，或或 关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称 (1) c ee a 渐近线渐近线 a yx b . y B2 A1A2 B1 x OF2F1 x B1 y O . F2 F1 B2 A1 A2 . F1(-c,0)F2(c,0) F2(0,c) F1(0,-c) x axa y R ，或或 (1) c ee a b yx a
