1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 考点 17直线、平面所成的角 玩前必备 1两条异面直线所成角的求法 设 a，b 分别是两异面直线 l1，l2的方向向量，则 l1与 l2所成的角a 与 b 的夹角 范围(0， 2 0， 求法cos |ab| |a|b| cos ab |a|b| 2.直线与平面所成角的求法 设直线 l 的方向向量为 a，平面的法向量为 n，直线 l 与平面所成的角为，a 与 n 的夹角为，则 sin |cos |an| |a|n|. 3求二面角的大小 (1)如图，AB，CD 是二面角l的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小AB ， CD (2)如图，n1，n2分别是二面
2、角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足|cos | |cosn1，n2|，二面角的平面角大小是向量 n1与 n2的夹角(或其补角) 玩转典例 题型题型一一求异面直线所成的角 例 1（2020北京市平谷区高三一模）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，底 面 ABCD 是菱形，AB2，BAD60. (1)求证：BD平面 PAC； (2)若 PAAB，求 PB 与 AC 所成角的余弦值 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 玩转跟踪 1.（2018 江苏）如图，在正三棱柱 111 ABCABC中， 1 2ABAA，点P，Q分别为 11 AB，BC的中点 (1)求异面直线BP与 1
3、 AC所成角的余弦值； 2.(2014课标全国)直三棱柱 ABCA1B1C1中，BCA90，M，N 分别是 A1B1，A1C1的中点，BCCA CC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为() A. 1 10 B.2 5 C. 30 10 D. 2 2 题型二求直线与平面所成的角 例 2 （2020安徽省淮北市高三一模 （理） 在直角梯形ABCD（如图 1） ，90ABC ，/ /BCAD，8AD ， 4ABBC，M为线段AD中点.将ABC沿AC折起，使平面ABC 平面ACD，得到几何体 BACD（如图 2）. （1）求证：CD 平面ABC； （2）求AB与平面BCM所成角的正弦值. 玩转数学
4、培优题型篇安老师培优课堂 玩转跟踪 1.(2019日照模拟)在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 ABB1A1为矩形，AB2，AA12 2， D 是 AA1的中点，BD 与 AB1交于点 O，且 CO平面 ABB1A1. (1)证明：BCAB1； (2)若 OCOA，求直线 CD 与平面 ABC 所成角的正弦值 题型三求二面角 例 3 （2020福建省泉州市高三质检（理） ） 如图， 四棱锥PABCD的底面是正方形，PA 平面ABCD， AEPD. （1）证明：AE平面PCD； （2）若APAB，求二面角BPCD的余弦值. 玩转跟踪 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 1.（2020陕西省高三教
5、学质量检测一（理） ）如图，已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ADC为 直角，AP 平面ABCD，:5:4:2BC AD CD ，且1CD . （1）求证：BPAC； （2）若APCD，求二面角DPCB的余弦值. 2. （2020 届山东省六地市部分学校高三 3 月线考） 如图， 三棱柱 111 ABCABC中，CACB， 1 45BAA， 平面 11 AAC C 平面 11 AAB B. （1）求证： 1 AABC； （2） 若 1 22BBAB， 直线BC与平面 11 ABB A所成角为45，D为 1 CC的中点， 求二面角 111 BA DC 的余弦值. 玩转练习 玩转数学培优题型篇
6、安老师培优课堂 1.【2017 课标 II，理 10】已知直三棱柱 111 CC 中，C120 ，2 ， 1 CCC1，则 异面直线 1 与 1 C所成角的余弦值为（） A 3 2 B 15 5 C 10 5 D 3 3 2.（2019 全国理 18）如图，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M， N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点 （1）证明：MN平面 C1DE； （2）求二面角 A-MA1-N 的正弦值 3.（2019 北京理 16）如图，在四棱锥PABCD中，PAABCD 平面，ADCD，ADBCP， 23PAADCDBC，E 为
7、 PD 的中点，点 F 在 PC 上，且 1 3 PF PC （）求证：CDPAD 平面； （）求二面角FAEP的余弦值; （）设点 G 在 PB 上，且 2 3 PG PB .判断直线 AG 是否在平面 AEF 内，说明理由. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 4.（2019 浙江 19）如图，已知三棱柱 111 ABCABC ，平面 11 A ACC 平面ABC,90ABC， 11 30 , ,BACA AACAC E F 分别是 AC，A1B1的中点. （1）证明：EFBC； （2）求直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值. 5. （2019 全国理 19） 图 1 是由矩形 AD
8、EB、 RtABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形， 其中 AB=1， BE=BF=2， FBC=60，将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连结 DG，如图 2. （1）证明：图 2 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC平面 BCGE； （2）求图 2 中的二面角 B-CG-A 的大小. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 6.（2019 全国理 17）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1上，BEEC1. （1）证明：BE平面 EB1C1； （2）若 AE=A1E，求二面角 BECC1的正弦值. 7.(2018 全
9、国卷)如图，在三棱锥PABC中，2 2ABBC，PAPBPC 4AC ，O为AC的中点 (1)证明：PO 平面ABC； (2)若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 8. （2018 全国卷） 如图， 边长为 2 的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上 异于C，D的点 (1)证明：平面AMD 平面BMC； (2)当三棱锥MABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值 9. （2018 全国卷） 如图， 四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点， 以DF为折痕把DFC 折起，使点C到达点P的位置，且PFBF (1)证明：平面PEF 平面ABFD； (2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 10.（2017 新课标）如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且90BAPCDP (1)证明：平面PAB平面PAD； (2)若PAPDABDC，90APD ，求二面角APBC的余弦值
