1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 考点 14空间空间几何体表面积和体积几何体表面积和体积 玩前必备 1. 空间几何体的结构特征 多面 体 棱柱棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是平行且全等的多边形 棱锥棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形 棱台 棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是平行 且相似的多边形 旋转 体 圆柱圆柱可由矩形绕其任意一边旋转得到 圆锥 圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到 圆台 圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上、下底中点连线旋
2、转 得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到 球球可以由半圆或圆绕直径旋转得到 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱圆锥圆台 侧面展开图 侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(r1r2)l 3.空间几何体的表面积与体积公式 名称 几何体 表面积体积 柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VS底h 锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底V1 3S 底h 台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V1 3(S 上S下 S上S下)h 球S4R2V4 3R 3 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转
3、高中数学研讨 玩转典例 题型题型一一简单几何体的概念简单几何体的概念 例例 1以下命题： 以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； 以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； 一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 其中正确命题的个数为() A0B1C2D3 答案B 解析由圆锥、圆台、圆柱的定义可知错误，正确对于命题，只有用平行于圆锥底面的平面去 截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，不正确 例例 2给出下列四个命题： 有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱； 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥； 侧面都是矩形的直四棱柱是长方体； 底面
4、为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱 其中不正确的命题为_(填序号) 答案 解析对于，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故错；对于，对等腰三角形的腰是否为侧 棱未作说明(如图)，故错；对于，若底面不是矩形，则错；由线面垂直的判定，可知侧棱垂直于底 面，故正确 综上，命题不正确 玩转跟踪 1.给出下列命题： 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直； 在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； 存在每个面都是直角三角形的四面体 其中正确命题的序号是_ 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高
5、三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 答案 解析不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；正确，若三棱锥 的三条侧棱两两垂直，则三个侧面所在的三个平面的二面角都是直二面角；正确，因为两个过相对侧棱 的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；正确，如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中的三棱锥 C1ABC， 四个面都是直角三角形 题型题型二二简单几何体的表面积简单几何体的表面积 例例 3 (2018全国)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是 面积为 8 的正方
6、形，则该圆柱的表面积为() A12 2B12 C8 2D10 答案B 解析设圆柱的轴截面的边长为 x，则由 x28，得 x2 2， S圆柱表2S底S侧2( 2)22 22 212.故选 B. 例例 4 （2019全国） 已知平面截球O的球面所得圆的面积为，O到的距离为 3， 则球O的表面积为 【答案】40 【解析】平面截球O的球面所得圆的面积为，则圆的半径为 1， 该平面与球心的距离3d ，球半径 22 1310R 球的表面积 2 440SR 例例 5（2020桥东区校级模拟）胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形研究 发现，该金字塔底面周长除以 2 倍的塔高，恰好为祖冲
7、之发现的密率 355 113 若胡夫金字塔的高为h，则 该金字塔的侧棱长为() A 2 21hB 2 24 8 h C 2 16 4 h D 2 216 4 h 【解答】解：设该金字塔的底面边长为a，则 4 2 a h ，可得： 2 h a 该金字塔的侧棱长 222 222 22162 () 2444 ah hhh 故选：D 玩转跟踪 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 1.（2020全国 1 卷）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱 锥的高为边长的正
8、方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方 形的边长的比值为（） A. 51 4 B. 51 2 C. 51 4 D. 51 2 【答案】C 【解析】设,CDa PEb，利用 2 1 2 POCD PE得到关于, a b的方程，解方程即可得到答案. 【详解】如图，设,CDa PEb，则 2 222 4 a POPEOEb ，由题意 2 1 2 POab，即 2 2 1 42 a bab，化简得 2 4( )210 bb aa ，解得 15 4 b a （负值舍去）. 故选：C. 【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易
9、题. 2. （2020全国 1 卷） 已知, ,A B C为球O的球面上的三个点， 1 O为ABC的外接圆， 若 1 O的面积为4， 1 ABBCACOO，则球O的表面积为（） A.64B.48C.36D.32 【答案】A 【解析】由已知可得等边ABC的外接圆半径，进而求出其边长，得出 1 OO的值，根据球的截面性质，求 出球的半径，即可得出结论. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 【详解】设圆 1 O半径为r，球的半径为R，依题意，得 2 4 ,2rr ，ABC为等边三角形， 由正弦定
10、理可得 2 sin602 3ABr ， 1 2 3OOAB，根据球的截面性质 1 OO 平面ABC， 2222 11111 ,4OOO A ROAOOO AOOr，球O的表面积 2 464SR . 故选：A 【点睛】 本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 3.（2020浙江卷）已知圆锥展开图的侧面积为 2，且为半圆，则底面半径为_ 【答案】1 【解析】利用题目所给圆锥侧面展开图的条件列方程组，由此求得底面半径. 【详解】设圆锥底面半径为r，母线长为l，则 2 1 22 2 rl rl ，解得1,2rl. 故答案为：1 【点睛】本小题主要考查圆锥侧面展
11、开图有关计算，属于基础题. 题型题型三三简单几何体的体积简单几何体的体积 例例 6(2018全国卷)已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为 30.若SAB 的面积为 8，则该圆锥的体积为_ 解析：由题意画出图形，如图，设 AC 是底面圆 O 的直径，连接 SO，则 SO 是圆锥的 高设圆锥的母线长为 l，则由 SASB，SAB 的面积为 8，得 1 2l 28，得 l4.在 Rt ASO 中，由题意知SAO30，所以 SO1 2l2，AO 3 2 l2 3.故该圆锥的体积 V1 3AO 2SO1 3(2 3) 228. 答案：8 例例 7(2017全国卷)已
12、知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的 体积为() 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 AB3 4 C. 2 D 4 解析：选 B.设圆柱底面的半径为 r，由题意可得 12(2r)222，解得 r 3 2 . 圆柱的体积 Vr213 4 ，故选 B. 例例 8.(2018天津卷)如图，已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，则四棱锥 A1BB1D1D 的体积为_ 解析：四棱锥的底面 BB1D1D 为矩形，其面积为 1 2 2， 又点 A1
13、到底面 BB1D1D 的距离，即四棱锥 A1BB1D1D 的高为 1 2A 1C1 2 2 ，所以四棱锥 A1BB1D1D 的体积为 1 3 2 2 2 1 3.答案： 1 3 玩转跟踪 1.（2020江苏卷）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的已知螺帽的底面正六边 形边长为 2 cm，高为 2 cm，内孔半轻为 0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是_cm. 【答案】12 3 2 【解析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果. 【详解】正六棱柱体积为 2 3 622=12 3 4 ,圆柱体积为 2 1 ( )2 22 所求几何体体积为12 3 2 ,故答案为：12 3
14、 2 2.圆环内圆半径为 4，外圆半径为 5，则圆环绕其对称轴旋转一周形成的几何体的体积为() 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 A.244 3 B500 3 C.200 3 D256 3 解析：选 A.该旋转体是大球体中挖掉一个小球体，该旋转体体积为 V4 3 534 3 43244 3 . 题型题型四四简单几何体简单几何体切接问题切接问题 例例 9（2016新课标）体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为() A12B 32 3 C8D4 【答案】A 【解析】正方
15、体体积为 8，可知其边长为 2，正方体的体对角线为4442 3， 即为球的直径，所以半径为3，所以球的表面积为 2 4( 3)12故选：A 例例 10（2017新课标）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面 SCA 平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为 9，则球O的表面积为 【答案】36 【解析】三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA 平面SCB， SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为 9， 可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形，设球的半径为r， 可得 11 29 32 rrr ，解得3r 球O
16、的表面积为： 2 436r 玩转跟踪 1.（2020眉山模拟）已知腰长为 3，底边长 2 为的等腰三角形ABC，D为底边BC的中点，以AD为折痕， 将三角形ABD翻折，使BDCD，则经过A，B，C，D的球的表面积为() A10B12C16D20 【解答】解：如图所示，由题意可得：DB，DC，DA两两相互垂直 222 318AD 设经过A，B，C，D的球的半径为R 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 则 222 411810R 球的表面积10故选：A 2.（2020全国 3 卷）已知圆锥的底
17、面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_ 【答案】 2 3 【解析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值. 【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示， 其中2,3BCABAC，且点 M 为 BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O， 由于 22 312 2AM ，故 1 22 22 2 2 S ABC ， 设内切圆半径为r，则： ABCAOBBOCAOC SSSS 111 222 ABrBCrACr 1 3322 2 2 r ，解得： 2 2 r = ，其体积： 3 42 33 Vr . 故答案为： 2 3 .
18、玩转练习 1.(2015新课标全国卷)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米 依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一 个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已 知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有() A14 斛B22 斛 C36 斛D66 斛 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 解析.设米堆的底面半径为
19、r 尺，则 2r8，所以 r 16 ，所以米堆的体积为 V1 4 1 3r 25 12 16 25320 9 (立方尺)故堆放的米约有320 9 1.6222(斛) 2.（2020凯里市校级模拟）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有 阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？“其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱 锥，它的底面长、宽分别为 7 尺和 5 尺，高为 8 尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四 棱锥的体积为() A140 立方尺B280 立方尺C 280 3 立方尺D 140 3 立方尺 【解答】解：由题意可得：这个四棱锥的体积
20、1280 75 8 33 立方尺， 故选：C 3.（2020湖南省长沙市明达中学高三二模（理）魏晋时期数学家刘徽在他的著作九章算术注中，称一个 正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”， 刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积 与“牟合方盖”的体积之比应为：4.若正方体的棱长为 2，则“牟合方盖”的体积为() A16B16 3C 16 3 D 128 3 【答案】C 【解析】正方体的棱长为 2，则其内切球的半径r1，正方体的内切球的体积 3 44 V 1 33 球 ， 又由已知 V V4 球 牟合方盖 ， 4416 V 33 牟合方盖 。 4.（2020陕西省西安中学高三三模（
21、理）把边长为4的正方形ABCD沿对角线AC折起，当直线BD和 平面ABC所成的角为60时，三棱锥DABC的体积为() A 8 2 3 B 4 6 3 C 8 6 3 D16 2 3 【答案】C 【解析】取 AC 的中点 O，连接,BO DO，作DMBO 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 ADDC，ABBCACDO，ACBO ,BO DO 平面BOD，BODOOAC平面BOD DM 平面BODDMAC 又DMBO，,BO AC 平面ABC，BOACODM平面ABC BD与平面ABC所成角即
22、为DBO，则60DBO DOBODBO为等边三角形 1 16 162 2 2 BODO 6DM 1118 6 4 46 3323 D ABCABC VSDM 。 5.（2019 江苏 9）如图，长方体 1111 ABCDABC D 的体积是 120，E 为 1 CC的中点，则三棱锥 E-BCD 的体 积是. 解析解析 因为长方体 1111 ABCDABC D 的体积是 120，E 为 1 CC的中点， 所以 1 1 11 1 120 ABCD A B C D VABBCDD ，所以三棱锥EBCD的体积： 111 332 E BCDBCD VSCEBCDCCE 1 1 10 12 ABBCDD.
23、 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 6.(2019江西重点中学联考)算术书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最 早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一， 该术相当于给出圆锥的底面周长 l 与高 h，计算其体积 V 的近似公式 V 1 36l 2h，它实际上是将圆锥体积公式 中的圆周率近似取 3，那么，近似公式 V 25 942l 2h 相当于将圆锥体积公式中的近似取( ) A.22 7 B.25 8 C.157
24、50 D.355 113 答案C 解析V1 3r 2h1 3 l 2 2h 1 12l 2h，由 1 12 25 942，得 157 50 ，故选 C. 7（2019 天津理 11）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为 5.若圆柱的一个底面的圆 周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积 为. 解析解析 由题可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2，且垂直相交平分，由勾股定理得，正四棱锥的高为2. 因为圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，则圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半 等于1，即半径等于 1 2 ，由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高
25、的一半，为1. 所以该圆柱的体积为 2 1 1 24 VSh . 8.(2018 天津)已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为 点 E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥MEFGH的体积为 【解析】连接 1 AD， 1 CD， 1 B A， 1 BC，AC，因为E，H分别为 1 AD， 1 CD的中点，所以EHAC， 1 2 EHAC，因为F，G分别为 1 B A， 1 BC的中点， 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 所以FGAC
26、， 1 2 FGAC，所以EHFG，EHFG，所以四边形EHGF为平行四边形， 又EGHF，EHHG，所以四边形EHGF为正方形，又点M到平面EHGF的距离为 1 2 ，所以 四棱锥MEFGH的体积为 2 1211 () 32212 9.(2018 江苏)如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 【解析】正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正八面体的所有棱长都是 2，则该正八面体的体积为 2 14 ( 2)2 33 10.（2020咸阳二模）正四棱锥PABCD的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为6，高为 3，则它 的外接球的表面积为() A4B8C16D20 【解答】解：正四棱锥PABCD的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为6，高为 3，设它的外接 球的半径为R，球心为O，底面ABCD的中心为M设OMx 则 222 ( 3)Rx，3Rx解得： 2 4R 可得球的表面积为16故选：C
