1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 考点考点 1212平面向量的概念和运算平面向量的概念和运算 玩前必备 1向量的有关概念 (1) 向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量AB 的大小叫做向量的长度(或模)，记作 |AB |. (2) 零向量：长度为 0 的向量叫做零向量，其方向是任意的 (3) 单位向量：长度等于 1 个单位长度的向量叫做单位向量 (4) 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可 以移到同一直线上 规定：0 与任一向量平行
2、(5) 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 (6) 相反向量： 与向量 a 长度相等且方向相反的向量叫做 a 的相反向量 规定零向量的相反向量仍是零向量 2.向量的加法 (1) 定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法 (2) 法则：三角形法则；平行四边形法则 (3) 运算律：abba；(ab)ca(bc) 3.向量的减法 (1) 定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法 (2) 法则：三角形法则 (3) 运算律：aba(b) 4.向量的数乘 (1) 实数与向量 a 的积是一个向量，记作a，它的长度与方向规定如下： |a|a； 当0 时，a 与 a 的方向相同； 当0 时，a 与
3、a 的方向相反；当0 时，a0. (2) 运算律：设、R，则： (a)()a； ()aaa； (ab)ab 5. 向量共线的判定定理 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 a 是一个非零向量，若存在一个实数，使得 ba，则向量 b 与非零向量 a 共线 6平面向量基本定理 如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，存在唯一一对实数1、2， 使 a1e12e2. 我们把不共线的向量 e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底 一个平面向量 a 能用一组
4、基底 e1，e2表示，即 a1e12e2.则称它为向量的分解。当 e1，e2互相垂直时， 就称为向量的正交分解。 7平面向量的坐标运算 (1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB (x 2x1，y2y1)，|AB | x 2x12y2y12. (2)设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)， (3)若 a(x，y)，则a(x，y)；|a| x2y2. 8向量平行的坐标表示 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0.abab x1y2x2y10. 玩转典例 题型一题型一平面向量的基本概念平面向量的基本概念 例例 1 给
5、出下列命题： 向量AB 的长度与向量BA的长度相等； 两个非零向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； 两个有公共终点的向量一定是共线向量 其中不正确命题的个数为() A. 1B. 2C. 3D. 4 【解析】对于，在ABC 中，BA 与CA有公共终点 A，但不是共线向量，故错正确，故选 A. 玩转跟踪 1.下列命题中，正确的是_(填序号) 有向线段就是向量，向量就是有向线段； 向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； 向量AB 与向量CD 共线，则 A、B、C、D 四点共线； 如果 ab，bc，那么 ac；
6、 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 【解析】不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量； 不正确，若 a 与 b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反； 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行； 不正确，如果 b0，则 a 与 c 不一定平行； 正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小 2.给出下列命题： 若|a|b|， 则 ab； 若 A，
7、 B， C， D 是不共线的四点， 则“AB DC ”是“四边形 ABCD 为平行四边形” 的充要条件；若 ab，bc，则 ac；ab 的充要条件是|a|b|且 ab. 其中正确命题的序号是_ 答案 解析不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同 正确AB DC ，|AB |DC |且AB DC ， 又A，B，C，D 是不共线的四点，四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形， 则AB DC 且|AB |DC |，因此，AB DC .故“AB DC ”是“四边形 ABCD 为平行四边形”的充要条件 正确ab，a，b 的长度相等且方向相同；又 bc， b，c 的
8、长度相等且方向相同，a，c 的长度相等且方向相同，故 ac. 不正确当 ab 且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到 ab，故“|a|b|且 ab”不是“ab”的充 要条件，而是必要不充分条件综上所述，正确命题的序号是. 题型题型二二平面向量的线性运算平面向量的线性运算 例例 2（2015新课标）设D为ABC所在平面内一点，3BCCD ，则() A 14 33 ADABAC B 14 33 ADABAC C 41 33 ADABAC D 41 33 ADABAC 【答案】A 【解析】由 4414 () 3333 ADABBDABBCABACABABAC ；故选：A 例例 3（2018新课标）
9、在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则(EB ) A 31 44 ABAC B 13 44 ABAC C 31 44 ABAC D 13 44 ABAC 【答案】A 【解析】在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点， 1 2 EBABAEABAD 11 () 22 ABABAC 31 44 ABAC ，故选：A 例例 4(2020威海模拟)在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别为边 BC，CD 的中点，若AB xAEyAF(x，yR)， 则 xy_. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公
10、众号玩转高中数学研讨 【解析】由题意得AE ABBEAB1 2AD ，AF AD DF AD 1 2AB ， 因为AB xAEyAF，所以ABxy 2 AB x 2yAD ， 所以 xy 21， x 2y0， 解得 x4 3， y2 3， 所以 xy2. 玩转跟踪 1.如图，已知AB a，AC b，BD 3DC ，用 a，b 表示AD ，则AD () Aa3 4b B. 1 4a 3 4b C. 1 4a 1 4b D. 3 4a 1 4b 答案B 解析CB AB AC ab，又BD 3DC ，CD 1 4CB 1 4(ab)， AD AC CD b1 4(ab) 1 4a 3 4b. 2.
11、（2020 届山东省青岛市高三上期末） 在ABC中, 2ABACAD , 20AEDE ,若EBxAByAC , 则() A2y xB2yx C2xyD2xy 【答案】D 【解析】 如图所示： 2ABACAD ，点D为边BC的中点， 20AEDE ， 2AEDE ， 11 () 36 DEADABAC ，又 11 () 22 DBCBABAC ， 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 1121 ()() 2633 EBDBDEABACABACABAC 又EBxAByAC ， 21 , 33
12、xy ，即2xy 故选：D 题型三题型三平面向量坐标运算平面向量坐标运算 例例 5（2015全国）设平面向量( 1,2)a ，(3, 2)b ，则2(ab ) A(1,0)B(1,2)C(2,4)D(2,2) 【答案】B 【解析】平面向量( 1,2)a ，(3, 2)b ， 2( 2ab ，4)(3，2)(1，2)故选：B 例例 6（2015新课标）已知点(0,1)A，(3,2)B，向量( 4, 3)AC ，则向量(BC ) A( 7, 4)B(7,4)C( 1,4)D(1,4) 【答案】A 【解析】由已知点(0,1)A，(3,2)B，得到(3,1)AB ，向量( 4, 3)AC ， 则向量(
13、 7, 4)BCACAB ；故选：A 例例 7（2015江苏）已知向量(2,1)a ，(1, 2)b ，若(9manb ，8)(m，)nR，则mn的值为 【答案】3 【解析】向量(2,1)a ，(1, 2)b ，若(9, 8)manb 可得 29 28 mn mn ，解得2m ，5n ，3mn 故答案为：3 玩转跟踪 1.(北京，13)向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示若 cab(，R)，则 _. 解析以向量 a 和 b 的交点为坐标原点建立如图所示的坐标系，令每个小正方形的边 长为 1 个单位，则 A(1，1)，B(6，2)，C(5，1)，所以 aAO (1，1)，bOB 玩转数
14、学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 (6，2)，cBC (1，3)由 cab 可得 16， 32， 解得 2， 1 2， 所以 4. 答案4 2.(广东，3)若向量BA (2，3)，CA(4，7)，则BC () A(2，4)B(2，4) C(6，10)D(6，10) 解析BA (2，3)，CA(4，7)， BC BAACBACA (2，3)(4，7)(24，37)(2，4) 答案A 题型题型四四平面向量共线定理平面向量共线定理 例例 8 (新课标 II 理)设向量 a，b 不平行，向量ab 与
15、a2b 平行，则实数_. 答案 1 2 【解析】向量 a，b 不平行，a2b0，又向量ab 与 a2b 平行，则存在唯一的实数，使ab (a2b)成立，即aba2b，则得 ， 12， 解得1 2. 例例 9（2020上饶一模）已知, a b 是不共线的向量，OAab ，2OBab ，2OCab ，若A、B、 C三点共线，则、满足() A3B3C2D2 【解答】解：由OAab ，2OBab ，2OCab ， 所以(2)(1)ABOBOAab ，BCOCOBab 若A、B、C三点共线，则/ /ABBC ， 即(2)(1) ，化简得3故选：B 例例 10（2016全国）平面向量( ,3)ax 与(2
16、, )by 平行的充分必要条件是() A0 x ，0y B3x ，2y C6xy D6xy 【答案】C 【解析】由向量( ,3)ax 与(2, )by 平行，得6xy 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 平面向量( ,3)ax 与(2, )by 平行的充分必要条件是6xy 故选：C 玩转跟踪 1.(2018全国)已知向量 a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若为实数，(ab)c 则() A. 1 4 B. 1 2 C1D2 答案B 解析可得 ab(1，2)，由(ab)c 得(1)432
17、0，1 2. 2 （2020 届山东省潍坊市高三模拟二）已知向量a （1，1），b （1，3），c （2，1），且（a b ） c ，则_. 【答案】 1 7 【解析】向量a （1，1），b （1，3），c （2，1），所以a b （1+，13）， 又（a b ）c ，所以，2（3）1（1+）0，解得 1 7 . 故答案为： 1 7 . 3（2020 届山东省六地市部分学校高三 3 月线考）已知向量(1,1)ax ，( ,2)bx ，若满足a b ，且 方向相同，则x _ 【答案】1 【解析】a b ， (1)20 x x，解得1x 或2x ， 1x 时，(1,2),(1,2)ab 满足题意，
18、2x 时，(1, 1),( 2,2)ab ，方向相反，不合题意，舍去 1x 故答案为：1 玩转练习 1对于非零向量 a，b，“a2b0”是“ab”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 答案A 解析若 a2b0，则 a2b，所以 ab.若 ab，则 a2b0 不一定成立， 故前者是后者的充分不必要条件 2已知向量AB a3b，BC5a3b，CD 3a3b，则() AA，B，C 三点共线BA，B，D 三点共线 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 CA，C，
19、D 三点共线DB，C，D 三点共线 答案B 解析BD BC CD 2a6b2AB ，BD 与AB 共线，由于BD 与AB 有公共点 B， 因此 A，B，D 三点共线，故选 B. 3.如图， 在正方形 ABCD 中， 点 E 是 DC 的中点， 点 F 是 BC 上的一个靠近点 B 的三等分点， 那么EF 等于( ) A.1 2AB 1 3AD B.1 4AB 1 2AD C.1 3AB 1 2DA D.1 2AB 2 3AD 答案D 解析在CEF 中，有EF ECCF.因为点 E 为 DC 的中点，所以EC1 2DC . 因为点 F 为 BC 上的一个靠近点 B 的三等分点，所以CF 2 3C
20、B . 所以EF 1 2DC 2 3CB 1 2AB 2 3DA 1 2AB 2 3AD ，故选 D. 4.如图，已知 AB 是圆 O 的直径，点 C，D 是半圆弧的两个三等分点，AB a，ACb，则AD 等于() Aa1 2b B.1 2ab Ca1 2b D.1 2ab 答案D 解析连接 OC， OD， CD， 由点 C， D 是半圆弧的三等分点， 可得AOCCODBOD60， 且OAC 和OCD 均为边长等于圆 O 半径的等边三角形，所以四边形 OACD 为菱形，所以AD AO AC 1 2AB AC 1 2ab，故选 D. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（7
21、21144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 5已知 M(3，2)，N(5，1)，且MP 1 2MN ，则 P 点的坐标为() A(8,1)B. 1，3 2 C. 1，3 2D(8，1) 答案B 解析设 P(x，y)，则MP (x3，y2)而1 2MN 1 2(8,1) 4，1 2 ， x34， y21 2， 解得 x1， y3 2， P 1，3 2 .故选 B. 6(2020山西榆社中学诊断)若向量AB DC (2,0)，AD (1,1)，则AC BC 等于( ) A(3,1)B(4,2)C(5,3)D(4,3) 答案B 解析AC AD DC (3,1)，又
22、BD AD AB (1,1)，则BCBD DC (1,1)， 所以AC BC (4,2)故选 B. 7(2020海南联考)设向量 a(x，4)，b(1，x)，若向量 a 与 b 同向，则 x 等于() A2B2C2D0 答案B 解析由向量 a 与 b 共线得x24，所以 x2.又向量 a 与 b 同向，所以 x2.故选 B. 8已知平面直角坐标系内的两个向量 a(1,2)，b(m，3m2)，且平面内的任一向量 c 都可以唯一的表示 成 cab(，为实数)，则实数 m 的取值范围是() A(，2)B(2，) C(，)D(，2)(2，) 答案D 解析由题意知向量 a，b 不共线，故 2m3m2，即
23、 m2. 9在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(1,0)，B(0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点，AOC 4，且|OC| 2，若OC OA OB ，则等于() A2 2B. 2C2D4 2 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 答案A 解析因为|OC|2，AOC 4，所以 C( 2， 2)，又OC OA OB ， 所以( 2， 2)(1,0)(0,1)(，)，所以 2，2 2. 10(2020蚌埠期中)已知向量 m sin A，1 2 与向量 n(3，sin A 3cos A)共线
24、，其中 A 是ABC 的内角， 则角 A 的大小为() A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 答案C 解析mn，sin A(sin A 3cos A)3 20， 2sin2A2 3sin Acos A3，1cos 2A 3sin 2A3，sin 2A 6 1， A(0，)，2A 6 6， 11 6.因此 2A 6 2，解得 A 3，故选 C. 11若三点 A(1，5)，B(a，2)，C(2，1)共线，则实数 a 的值为_ 答案5 4 解析AB (a1,3)，AC (3,4)，根据题意知AB AC ， 4(a1)3(3)，即 4a5，a5 4. 12设向量 a，b 满足|a|2 5，b(2,1)，且 a 与 b 的方向相反，则 a 的坐标为_ 答案(4，2) 解析b(2,1)，且 a 与 b 的方向相反， 设 a(2，)(0)|a|2 5，42220，24，2.a(4，2)
