1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 考点 33函数图像和零点 玩前必备 1图象变换 (1)平移变换 (2)对称变换 yf(x) 关于 x 轴对称 yf(x)； yf(x) 关于 y 轴对称 yf(x)； yf(x) 关于原点对称 yf(x)； yax(a0 且 a1) 关于 yx 对称 ylogax(a0 且 a1) (3)伸缩变换 yf(x) a1，横坐标缩短为原来的1 a倍，纵坐标不变 0a1，纵坐标伸长为原来的 a 倍，横坐标不变 0a1，纵坐标缩短为原来的 a 倍，横坐标不变 ya
2、f(x) (4)翻折变换 yf(x) 保留 x 轴上方图象 将 x 轴下方图象翻折上去 y|f(x)|. yf(x) 保留 y 轴右边图象，并作其 关于 y 轴对称的图象 yf(|x|) 2函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数 yf(x)(xD)，把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 yf(x)(xD)的零点 (2)三个等价关系 方程 f(x)0 有实数根函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点函数 yf(x)有零点 (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)0 部分关于 y 轴的对称 部分，即得 y 1
3、 2 |x|的图象，如图实线部分 (4)y2 1 x1，故函数的图象可由 y 1 x的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到，如图所 示 题型题型二二函数图像识别函数图像识别 例例 2(1)（2019 全国理 5）函数 f(x)= 2 sin cos xx xx 在, 的图像大致为 A B C D 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 【解析】： 因为 2 sin cos xx fx xx ，x ，所以 22 sinsin coscos xxxx fxfx xxxx ， 所以
4、fx为 ，上的奇函数，因此排除 A； 又 22 sin 0 cos1 f ，因此排除 B，C； 故选 D (2)（2019 全国理 7）函数 3 2 22 xx x y 在6,6的图像大致为 A B C D 【解析】 因为 33 2()2 ()( ) 2222 xxxx xx fxf x ， 所以( )f x是6,6上的奇函数，因此排除 C，又 11 8 2 (4)7 21 f ，因此排除 A，D故选 B (3)（2019 浙江 6）在同一直角坐标系中，函数 y = 1 x a ，y=loga(x+ 1 2 )，(a0 且 a1)的图像可能是 A.B. C.D. 玩转数学培优题型篇安老师培优课
5、堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 【解析】由函数 1 x y a ， 1 log 2 a yx ，单调性相反，且函数 1 log 2 a yx 图像恒过 1 ,0 2 可满 足要求的图象为 D.故选 D 玩转跟踪 1.(1)(2020青岛模拟)函数 y4cos xe|x|(e 为自然对数的底数)的图象可能是() (2)(2020潍坊模拟)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x2)2f(x)，当 x0,2时，f(x) x，x0，1， x22x，x1，2. 则函数 yf(x)在2,4上的大致图象是() 听前试做(
6、1)因为函数 f(x)4cos xe|x|，所以 f(x)f(x)，函数 f(x)为偶函数，图象关于 y 轴对称，排除 B、D，又 f(0)30，故选 A. (2)当 2x3 时，0 x21，又 f(x2)2f(x)，所以 f(x)2f(x2)2x4，当 3x4 时，1x22， 又 f(x2)2f(x)，所以 f(x)2f(x2)2(x2)24(x2)2x212x16，所以 f(x) 2x4，2x3， 2x212x16，3x4， 所以 A 正确 答案：(1)A(2)A 题型题型三三 函数零点函数零点 例例 3(1)函数 f(x) x22，x0， 2x6ln x，x0 的零点个数是 答案2 解析
7、当 x0 时，令 x220，解得 x 2(正根舍去)，所以在(，0上，f(x)有一个零点；当 x0 时， f(x)21 x0 恒成立，所以 f(x)在(0，)上是增函数 又因为 f(2)2ln 20，所以 f(x)在(0，)上有一个零点，综上，函数 f(x)的零点个数为 2. (2)(2020天津河东区模拟)函数 f(x)|x2|ln x 在定义域内的零点的个数为() A0B1C2D3 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 答案C 解析由题意可知 f(x)的定义域为(0，)，在同一直角坐标系
8、中画出函数 y|x2|(x0)，yln x(x0)的 图象，如图所示 由图可知函数 f(x)在定义域内的零点个数为 2. (3)函数 f(x) xcos x 在0，)内() A没有零点B有且仅有一个零点 C有且仅有两个零点D有无穷多个零点 答案B 解析当 x(0，1时，因为 f(x) 1 2 xsin x， x0，sin x0，所以 f(x)0，故 f(x)在0,1上单调递增， 且 f(0)10，所以 f(x)在0,1内有唯一零点当 x1 时，f(x) xcos x0，故函数 f(x) 在0，)上有且仅有一个零点，故选 B. 例例 4设 f(x)ln xx2，则函数 f(x)的零点所在的区间为
9、() A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4) 答案B 解析f(1)ln 11210，f(1)f(2)0， 函数 f(x)ln xx2 的图象在(0，)上是连续的，且为增函数，f(x)的零点所在的区间是(1,2) 玩转跟踪 1（2020北京卷）已知函数( )21 x f xx，则不等式 ( )0f x 的解集是（） A.( 1,1)B.(, 1)(1,) C.(0,1)D.(,0)(1,) 【答案】D 【解析】作出函数2xy 和 1yx 的图象，观察图象可得结果. 【详解】因为 21 x f xx，所以 0f x 等价于2 1 x x ， 在同一直角坐标系中作出2xy 和 1yx 的图
10、象如图： 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21 x x 的解为0 x 或1x . 所以不等式 0f x 的解集为：,01,.故选：D. 2.函数 f(x) 1 2 x 1 2 x的零点个数为( ) A0B1C2D3 答案B 解析函数 f(x) 1 2 x 1 2 x的零点个数是方程 1 2 x 1 2 x0 的解的个数， 即方程 1 2 x 1 2 x的解的个数， 也就 是函数 y 1 2 x与 y 1 2 x的图象的交点个数，在同一
11、坐标系中作出两个函数的图象如图所示，可得交点个数 为 1. 3函数 f(x)2x2 xa 的一个零点在区间(1,2)内，则实数 a 的取值范围是( ) A(1,3)B(1,2) C(0,3)D(0,2) 答案C 解析因为 f(x)在(0，)上是增函数，则由题意得 f(1)f(2)(0a)(3a)0，解得 0a0， 若方程 f(x)xa 有两个不同实 根，则实数 a 的取值范围为() A(，1)B(，1 C(0,1)D(，) 答案A 解析当 x0 时，f(x)2 x1，当 0 x1 时，10 的部分是将 x(1,0的部分周期性向右平移 1 个单位得到的，其部分图象如图所示 若方程 f(x)xa
12、有两个不同的实数根，则函数 f(x)的图象与直线 yxa 有两个不同交点，故 a1，即 a 的取值范围是(，1) 8函数 f(x)ln x2 x的零点所在的大致区间是( ) A(1,2)B(2,3) 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 C. 1 e，1和(3,4)D(4，) 答案B 解析f(2)ln 210 且函数 f(x)的图象在(0，)上连续不断，f(x)为增函数，f(x)的零点在区间(2,3)内 9函数 f(x)ex3x 的零点个数是() A0B1C2D3 答案B 解析由 f(x)e
13、x30，得 f(x)在 R 上单调递增，又 f(1)1 e30，因此函数 f(x)有且只有 一个零点 10函数 f(x)ln2x3ln x2 的零点是() A(e,0)或(e2，0)B(1,0)或(e2，0) C(e2，0)De 或 e2 答案D 解析f(x)ln2x3ln x2(ln x1)(ln x2)， 由 f(x)0 得 xe 或 xe2. 11若二次函数 f(x)x22xm 在区间(0,4)上存在零点，则实数 m 的取值范围是 答案(8,1 解析mx22x 在(0,4)上有解，又x22x(x1)21，yx22x 在(0,4)上的值域为(8,1， 80)，g(x)xex，h(x)xln
14、 x(x0)的零点分别为 x1，x2，x3，则() Ax1x2x3Bx2x1x3 Cx2x3x1Dx3x10)，yex，yln x(x0)的图象，如图所示，可知选 C. 13设函数 yf(x1)是定义在(，0)(0，)上的偶函数，在区间(，0)上是减函数，且图象过 点(1,0)，则不等式(x1)f(x)0 的解集为 答案x|x0 或 11， fx0 或 x1， fx0. 由图可知符合条件的解集为x|x0 或 1x2 14（全国卷 16）设函数 yf(x)的图象与 y2x a的图象关于直线 yx 对称，且 f(2)f(4)1，则实 数 a. 答案2 解析由函数 yf(x)的图象与 y2x a的图象关于直线 yx 对称，可得 f(x)alog2(x)，由 f(2) f(4)1，可得alog22alog241，解得 a2.
