1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 考点 34导数和导数应用 玩前必备 1. 基本初等函数的导数公式 原函数导函数 f(x)c(c为常数)f(x)0 f(x)x n(nQ*) f(x)nx n1 f(x)sinxf(x)cosx f(x)cosxf(x)sinx f(x)a x f(x)a xlna f(x)e x f(x)e x f(x)logaxf(x) 1 xlna f(x)lnxf(x)1 x 2导数的运算法则 （1） f(x)g(x)f(x)g(x)； （2） f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)； （3） 2 ( )( )( )( )( ) ( )( ) f xfxg x
2、g xf x g xgx (g(x)0) 3. 函数yf(x)在xx0处的导数几何意义： 函数( )yf x在点 0 x处的导数 0 ()fx就是曲线( )yf x在点 00 (,()xf x处的切线和斜率， 即 0 ()kfx. 相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0) 4函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果 f(x)0，那么函数 yf(x)在这个区间内单调递增；如果 f(x)0，右侧 f(x)0，那么 f(x0)是极大值； 如果在 x0附近的左侧 f(x)0，那么 f(x0)是极小值 (2)求可导函数极值的步骤 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 求 f(x)； 求方程 f(
3、x)0 的根； 检查 f(x)在方程 f(x)0 的根附近的左右两侧导数值的符号如果左正右负，那么 f(x)在这个根处 取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值 6函数的最值 (1)在闭区间a，b上连续的函数 f(x)在a，b上必有最大值与最小值 (2)若函数 f(x)在a，b上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在a，b 上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值 (3)设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求 f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下： 求 f(x)在(a，b)内的极值； 将
4、 f(x)的各极值与 f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 玩转典例 题型题型一一导数的运算导数的运算 例例 1求下列函数的导数 (1)yexln x；(2)yx x21 x 1 x3；(3)y ln x x21 玩转跟踪求下列函数的导数 (1)y(3x24x)(2x1)； (2)yx2sin x. 题型二导数求切线方程问题 例 2（2020全国 1 卷）函数 43 ( )2f xxx的图像在点(1(1)f，处的切线方程为（） A.21yx B.21yx C.23yxD.21yx 玩转跟踪 1(新课标全国，14)已知函数 f(x)ax3x1 的图象在点(1，f
5、(1)处的切线过点(2，7)，则 a_ 2(广东，11)曲线 y5ex3 在点(0，2)处的切线方程为_ 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 3(广东，12)若曲线 yax2ln x 在(1，a)处的切线平行于 x 轴，则 a_ 4.（2020全国 3 卷）若直线 l 与曲线 y= x和 x2+y2= 1 5 都相切，则 l 的方程为（） A. y=2x+1B. y=2x+ 1 2 C. y= 1 2 x+1D. y= 1 2 x+ 1 2 题型三导数求函数单调性 例 3已知函数 f(x)ln xk ex (k 为常数，e2.718 28是自然对数的底数)，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的
6、切 线与 x 轴平行 (1)求 k 的值； (2)求 f(x)的单调区间； 玩转跟踪 1(陕西，9)设 f(x)xsin x，则 f(x)() A既是奇函数又是减函数B既是奇函数又是增函数 C是有零点的减函数D是没有零点的奇函数 2(新课标全国，11)若函数 f(x)kxln x 在区间(1，)单调递增，则 k 的取值范围是() A(，2B(，1 C2，)D1，) 3(新课标全国，21)已知 f(x)ln xa(1x) (1)讨论 f(x)的单调性； (2)当 f(x)有最大值，且最大值大于 2a2 时，求 a 的取值范围 题型题型四四导数求函数的极值和最值 例 4(天津，19)已知函数 f(
7、x)x22 3ax 3(a0)，xR. (1)求 f(x)的单调区间和极值； 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 玩转跟踪 1(陕西，9)设函数 f(x)2 xln x，则( ) Ax1 2为 f(x)的极大值点 Bx1 2为 f(x)的极小值点 Cx2 为 f(x)的极大值点 Dx2 为 f(x)的极小值点 2(陕西，21)设函数 f(x)ln xm x ，mR. (1)当 me(e 为自然对数的底数)时，求 f(x)的极小值； 玩转高考 1.(2015新课标全国， 14)已知函数f(x)ax3x1的图象在点(1， f(1)处的切线过点(2， 7)， 则a_ 2.(2016新课标全国，21)已
8、知函数 f x = x 2 ex+ a(x 1)2. (I)讨论 f(x)的单调性； (II)若 f(x)有两个零点，求a的取值范围. 3.(2017新课标全国，14)曲线 2 1 yx x 在点（1，2）处的切线方程为_ 4.(2017新课标全国，21)已知函数( )f x=ex(exa)a2x （1）讨论( )f x的单调性； （2）若( )0f x ，求 a 的取值范围 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 5(2018 全国卷)设函数 32 ( )(1)f xxaxax，若( )f x为奇函数，则曲线( )yf x在点(0,0)处的 切线方程为 A2yx By x C2yxDy x 6.（
9、2019 全国理 13）曲线 2 3()exyxx在点(0 )0，处的切线方程为_ 7.（2019 全国理 6）已知曲线eln x yaxx在点1ea（，）处的切线方程为 y=2x+b，则 Ae1ab ，Ba=e，b=1 C 1 e1ab ，D 1 ea ，1b 8.(2018 全国卷)已知函数 1 ( )lnf xxax x (1)讨论( )f x的单调性； (2)若( )f x存在两个极值点 12 ,x x，证明： 12 12 ()() 2 f xf x a xx 9.（2019 全国理 20）已知函数 ( )sinln(1)f xxx ， ( )fx 为 ( )f x的导数证明： （1） ( )fx 在区间( 1,) 2 存在唯一极大值点； （2） ( )f x有且仅有 2 个零点
