1、【第【第 8 讲】讲】 二元一次、三元一次、二元二次方程组及其解法二元一次、三元一次、二元二次方程组及其解法 【基础知识回顾】【基础知识回顾】 知识点知识点 1 1三元一次方程组三元一次方程组 三一次方程组中含有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是 1，并且一共有三个方程 它的一般形式是 1111 2222 3333 a xb yc zd a xb yc zd a xb yc zd ，未知项的系数不全为零，其中每一个方程都可以是 三元、二元、一元一次方程，但方程组中一定要有三个未知数 知识点知识点 2 2二元二次方程组二元二次方程组 含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是 2 的整式方
2、程，叫做二元二次方程 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组， 或由两个二元二次方程组组成的方程组，叫做二元二次方程组 【合作探究】【合作探究】 探究一探究一二元一次方程组二元一次方程组及其解法及其解法 方法方法 1、代入消元法解二元一次方程组代入消元法解二元一次方程组 【例例 1-1】解方程组 327, 25. xy xy 【解析】【解析】由，得 52xy . 将代入，得 3(52 )27yy ， 15627yy ， 88y ， 1.y 把 1y 代入，得 3.x 所以原方程组的解是 . 1 , 3 y x 归纳总结归纳总结：此题方程的系数较简单，且方程中未知数 x 的系数是 1，
3、因此考虑将方程 变形，并用含 y 的代数式表示 x.用代入消元法解二元一次方程组，需先观察方程组的系数 特点，判断消去哪个未知数较为简单. 代入消元时，要注意所代代数式的整体性，必要时可 添加括号，以避免符号错误. 【练习练习 1-1】用代入法解方程组： 34, 11 0. 42 xy xy 【答案】 8 4 x y 方法方法 2 2、加减消元法解二元一次方程组加减消元法解二元一次方程组 【例【例 1-2】解方程组： 521, 7316. mn mn 【解析】【解析】法一：3，2，得 1563, 14632. mn mn -，得 29m=-29，m=-1.将 m=-1 代入，得-5+2n=1，
4、n=3.所以原方程组的解为 1, 3. m n 法二：7，5，得 35147, 351580. mn mn +，得 29n=87，n=3.把 n=3 代入，得 5m+6=1，m=-1.所以原方程组的解为 1, 3. m n 探究二探究二三元一次方程组三元一次方程组及其解法及其解法 【例【例 2-1】 解方程组 347 239 5978 xz xyz xyz 【分析】方程只含 x，z，因此，可以由，消去 y，再得到一个只含 x，z 的方程，与 方程组成一个二元一次方程组 【解析】3，得 11x10z35（4） 与组成方程组 347 111035 xz xz 解这个方程组，得 5 2 x z ，把
5、 x5，z2 代入，得 253y29， 1 3 y 所以 5 1 3 2 x y z 【例【例 2-2】 解方程组 3414 5217 223 xyz xyz xyz 【分析】【分析】三个方程中，z 的系数比较简单，可以考虑用加减法，设法先消 z 【解析】+，得 5x+6y=17 +2，得， 5x+9y=23 与组成方程组 5617 5923 xz xy ，解这个方程组，得 1 2 x y ， 把 x=1，y=2 代入得： 21+22-z=3， z=3 1 2 3 x y z 归纳总结：归纳总结： 探究三探究三二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组
6、解法解法 【例【例 3-1】解方程组 22 20 (1) 30 (2) xy xy 【解析】【解析】由(1)得： 2yx (3) 将(3)代入(2)得： 22 (2 )30 xx ，解得： 12 11xx 或 把 1x 代入(3)得： 2 2y ；把 1x 代入(3)得： 2 2y 原方程组的解是： 11 11 11 22 xx yy 或 归纳总结：归纳总结：(1) 解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤： 由二元一次方程变形为用x表示 y 的方程，或用 y 表示x的方程(3)； 把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元二次方程； 解消元后得到的一元二次方程； 把一元二次方程
7、的根，代入变形后的二元一次方程(3)，求相应的未知数的值； (2) 消x还是消 y ，应由二元一次方程的系数来决定若系数均为整数，那么最好消 去系数绝对值较小的，如 210 xy ，可以消去x，变形得 21xy ，再代入消元 (3) 消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值不能代 入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这点注意 【练习练习 3-1】解方程组 22 440, 220. xy xy 【解析】第二个方程可变形为 x2y2， ，将其带人到第一个方程，整理得 8y28y0， 即 y(y1)0， 解得 y10，y21 把 y10 代入,得x12； 把
8、 y21 代入,得 x20 所以原方程组的解是 1 1 2, 0 x y ， 2 2 0, 1. x y 【例【例 3-2】解方程组 9 (1) 18 (2) xy xy 【解析】【解析】根据一元二次方程的根与系数的关系，把x、 y 看成是方程 2 9180zz 的两 根，解方程得： 3zz或6 原方程组的解是： 11 11 36 63 xx yy 或 【练习练习 3-2】解方程组 7 12 xy xy 【解析】【解析】解法一：由，得 7.xy 把代入，整理，得 2 7120yy 解这个方程，得 12 3,4yy 把 1 3y 代入，得 1 4x ；把 2 4y 代入，得 2 3x 所以原方程
9、的解是 1 1 4, 3 x y ， 2 2 3, 4. x y 解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把 , x y 看作一个一 元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求 , x y 这个方程组的 , x y 是一元二次方程 2 7120zz 的两个根，解这个方程，得 3z ，或 4z 所以原方程组的解是 1 1 4, 3; x y 2 2 3, 4. x y 【练习练习 3-3】解下列方程组: （1） 22 5, 625; yx xy （2） 3, 10; xy xy （3） 22 1, 54 3; xy yx （4） 2 22 2 , 8. yx xy 【答
10、案】 （1） 1 1 15, 20, x y 2 2 20, 15; x y （2） 1 1 5, 2, x y 2 2 2, 5; x y （3） 5 , 3 4 . 3 x y （4） 1 1 2, 2, x y 2 2 2, 2. x y 探究四探究四二元二次方程组成的方程组二元二次方程组成的方程组的解法的解法 【例例 4-1】解方程组 2 2 12 (1) 4 (2) xxy xyy 【分析【分析】本题的特点是方程组中的两个方程均缺一次项，我们可以消去常数项，可得到一个 二次三项式的方程对其因式分解，就可以转化为例 3 的类型 【解析】【解析】(1) (2) 3 得： 22 3()0
11、xxyxyy ， 即 22 230(3 )()0 xxyyxy xy ， 300 xyxy或 原方程组可化为两个二元一次方程组： 22 300 , 44 xyxy xyyxyy 用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是： 12 12 33 , 11 xx yy 归纳总结归纳总结：若方程组的两个方程均缺一次项，则消去常数项，得到一个二元二次方程此方 程与原方程组中的任一个方程联立，得到一个可因式分解型的二元二次方程组 【例【例 4-2】解方程组 22 26 (1) 5 (2) xy xy 【分析【分析】 (1)(2)2 得： 2 ()36 (3)xy ，(1) (2)2 得： 2 ()16 (4
12、)xy ，分 别分解(3)、(4)可得四个二元一次方程组 【解析】【解析】(1) +(2) 2 得： 222 236()3666xyxyxyxyxy 或 ， (1) -(2) 2 得： 222 216()1644xyxyxyxyxy 或 解此四个方程组，得原方程组的解是： 3124 1234 1515 , 1551 xxxx yyyy 归纳总结：归纳总结：对称型方程组，如 22 xya xyb 、 22 xya xyb 都可以通过变形转化为 xym xyn 的形式，通过构造一元二次方程求解 【课后作业【课后作业 1 1】 1. 解下列三元一次方程组 （1） 15 239 540 xyz xyz
13、 xyz （2） 3 6 9 ab bc ca （3） 34518 268 322 xyz xyz xyz 2已知3 45 xyz ，且 x+y+z=24，求 x、y、z 的值 3代数式 ax2+bx+c 在 x 为 1，-1，2 时，它的值分别是-6，-8，-11，求： （1）a，b，c 的值；（2）当 x=-4 时，求代数的值 *4已知 2x+5y+4z=0，3x+y-7z=0，且 xyz0，求： 234 xyz xyz 的值 *5已知 567 xyyzzx 且 xyz0，求 x：y：z *6用 100 元恰好买了三种笔共 100 支，其中金笔每支 10 元，铂金笔每支 3 元，圆珠笔每
14、支 0.5 元，试问三种笔各买了多少支？ 【参考答案【参考答案 1 1】 1.(1) 4 3 8 x y z (2) 3 0 6 a b c (3) 8 4 2 x y z 2. x=6,y=8,z=103.a=-2,b=1,c=-5;-41 4.8 1 5. :3:2:4x y z 6.金笔 5 支铂金笔 5 支圆珠笔 90 支 【课后作业【课后作业 2 2】 A组组 1解下列方程组： (1) 2 6xy yx (2) 22 28 2 xy xy (3) 22 1 235 xy xxyy (4) 2 20 3210 xy xxy 2解下列方程组： (1) 3 2 xy xy (2) 1 6
15、xy xy 3解下列方程组： (1) 2 (23)0 1 xx yx (2) (343)(343)0 325 xyxy xy (3) 22 (2)()0 8 xyxy xy (4) ()(1)0 ()(1)0 xy xy xy xy 4解下列方程组： (1) 22 22 3 0 xy xy (2) 16 8 xyx xyx B组组 1解下列方程组： (1) 2 23 2320 xy xyx (2) 22 231 234330 xy xxyyxy 2解下列方程组： (1) 3 2 xy xy (2) 24 221 xy xy 3解下列方程组： (1) 22 22 38 4 xy xxyy (2)
16、 22 4 221 xy xy 4解下列方程组： (1) 22 5 2 xy xy (2) 22 4 10 xy xy 5解下列方程组: （1） 22 5, 625; yx xy （2） 3, 10; xy xy （3） 22 1, 54 3; xy yx （4） 2 22 2 , 8. yx xy 【参考答案【参考答案 2 2】 A 组组 1 212 121 121 2 12 81010 3204 322 (1),(2),(3),(4), 32 223 1010 3 44 xxx xxxx yyyy y yy 2 1212 1212 1232 (1),(2), 21 23 xxxx yyyy
17、 3 2 1 1 2 3 0 2 (1), 15 4 x x y y 31212 3 12 12 713 23113 (2),(3),33 2 3113 14 xxxxx y yy yy 23 414 414 23 11 201 22 ,(4), 20110 22 xx xxx yyy yy 4(1) 1234 1234 6666 2222 , 6666 2222 xxxx yyyy (2) 4 3 x y B 组组 1 1 122 122 1 7 515 4 (1),(2), 41 33 2 x xxx yyy y 2 12 12 1212 73 12 (1),(2), 37 21 22 xx xx yyyy 3 12 34 34 12 6 136 13 22 1313 (1), 22 2 132 13 1313 xx xx yy yy 3124 12 34 2002 (2), 22 22 xxxx yy yy 4 3124 1234 1212 (1), 1221 xxxx yyyy ， 12 12 13 (2), 31 xx yy 5 （1） 1 1 15, 20, x y 2 2 20, 15; x y （2） 1 1 5, 2, x y 2 2 2, 5; x y （3） 5 , 3 4 . 3 x y （4） 1 1 2, 2, x y 2 2 2, 2. x y
