1、【第【第 9 讲】讲】 分式方程与无理方程的解法分式方程与无理方程的解法 【基础知识回顾】【基础知识回顾】 知识点知识点 1 1分式方程分式方程 分式方程是方程中的一种，是指分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程 知识点知识点 2 2无理方程无理方程 根号下含有未知数的方程，叫做无理方程 【合作探究】【合作探究】 探究一探究一分式方程的解法分式方程的解法 方法一、方法一、去分母化分式方程为一元二次方程去分母化分式方程为一元二次方程 【例【例 1-1】解方程 2 142 1 224 x xxx 【分析】：【分析】：去分母，转化为整式方程 【解析】：【解析】：原方程可化为： 142 1 2(2
2、)(2)2 x xxxx 方程两边各项都乘以 2 4x 得， 2 (2)42(2)4xxxx 即 2 364xx ，整理得： 2 320 xx ，解得： 1x 或 2x 检验：把 1x 代入 2 4x ，不等于 0，所以 1x 是原方程的解； 把 2x 代入 2 4x ，等于 0，所以 2x 是增根 所以，原方程的解是 1x 归纳总结：归纳总结：(1) 去分母解分式方程的步骤： 把各分式的分母因式分解； 在方程两边同乘以各分式的最简公分母； 去括号，把所有项都移到左边，合并同类项； 解一元二次方程； 验根 (2) 验根的基本方法是代入原方程进行检验 方法二、方法二、用换元法化分式方程为一元二次
3、方程用换元法化分式方程为一元二次方程 【例例 1-2】解方程 22 2 3 ()40 11 xx xx 【分析【分析】：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难但注意到方程的结构 特点，设 2 1 x y x ，即得到一个关于 y 的一元二次方程 【解析】：【解析】：设 2 1 x y x ，则原方程可化为： 2 340yy 解得 4y 或 1y (1)当 4y 时， 2 4 1 x x ， 去分母， 得 22 4(1)4402xxxxx ； (2)当 1y 时， 2 22 15 1110 12 x xxxxx x 检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为 0 所以， 2x ，
4、 15 2 x 都是原方程的解 归纳总结：归纳总结：解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法，将分式方程转化为整式方程， 体现了化归思想 【练习练习 1】解方程 22 22 8(2 )3(1) 11 12 xxx xxx 【分析】：【分析】：注意观察方程特点，可以看到分式 2 2 2 1 xx x 与 2 2 1 2 x xx 互为倒数 【解析】：【解析】：设 2 2 2 1 xx y x ，则 2 2 11 2 x yxx 原方程可化为： 2 33 811811301 8 yyyyy y 或 (1)当 1y 时， 2 22 2 21 121 21 xx xxxx x ； (2)当 3 8
5、y 时， 2 222 2 231 81633516303 851 xx xxxxxxx x 或 检验：把把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为 0 所以，原方程的解是 1 2 x ， 3x ， 1 5 x 探究二探究二无理方程无理方程的解法的解法 方法一、方法一、平方法解无理方程平方法解无理方程 【例【例 2-1】解方程 71xx 【解析】：【解析】：移项得： 71xx ，两边平方得： 2 721xxx 移项，合并同类项得： 2 60 xx ，解得： 3x 或 2x 检验：把 3x 代入原方程，左边右边，所以 3x 是增根 把 2x 代入原方程，左边 = 右边，所以 2x 是原方程的根 所以
6、，原方程的解是 2x 归纳总结：归纳总结：含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤： 移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边； 两边同时平方，得到一个整式方程； 解整式方程； 验根 【练习练习 2-1】解方程 3233xx 【分析【分析】：直接平方将很困难可以把一个根式移右边再平方，这样就可以转化为上例的模 式，再用例 4 的方法解方程 【解析】：【解析】：原方程可化为： 3233xx ，两边平方得： 329633xxx 整 理 得 ： 63142337xxxx ， 两 边 平 方 得 ： 2 9(3)4914xxx ，整理得： 2 23220 xx ，解得
7、： 1x 或 22x 检验：把 1x 代入原方程，左边=右边，所以 1x 是原方程的根 把 22x 代入原方程，左边右边，所以 22x 是增根 所以，原方程的解是 1x 方法二、方法二、换元法解无理方程换元法解无理方程 【例【例 2-2】解方程 22 3152512xxxx 【分析【分析】：本题若直接平方，会得到一个一元四次方程，难度较大注意观察方程中含未知 数的二次根式与其余有理式的关系，可以发现： 22 31533(51)xxxx 因此，可 以设 2 51xxy ，这样就可将原方程先转化为关于 y 的一元二次方程处理 【解析】：【解析】：设 2 51xxy ，则 2222 513153(1
8、)xxyxxy 原方程可化为： 2 3(1)22yy ， 即 2 3250yy ，解得： 1y 或 5 3 y (1)当 1y 时， 22 5115010 xxxxxx 或 ； (2)当 5 3 y 时，因为 2 510 xxy ，所以方程无解 检验：把 1,0 xx 分别代入原方程，都适合 所以，原方程的解是 1,0 xx 归纳总结归纳总结：解决根式方程的方法就是采取平方、换元等法，将根式方程转化为有理方程，体 现了化归思想 【课后作业】【课后作业】 A组组 1解下列方程： (1) 215 (1)(2)(2)(3) xx xxxx (2) 22 7 211211235 xx xxxx (3)
9、 2 21 1 24yy (4) 2 152 1 24xx 2用换元法解方程： 2 2 4 4x x 3解下列方程： (1) 2xx (2) 57xx (3) 32xx 4解下列方程： (1) 3141xx (2) 2451xx 5用换元法解下列方程： (1) 120 xx (2) 22 336xxxx B组组 1解下列方程： (1) 22 2541 2324 x xxxx (2) 22 416 124 xx xxxx (3) 2 111 7(21)(7)231 x xxxxx (4) 2 124 0 111 xxx xxx 2用换元法解下列方程： (1) 2 524(1) 140 1(5)
10、xxx xx x (2) 2 2 2(1)6(1) 7 11 xx xx (3) 422 2 211 2 xxx xx 3若 1x 是方程 1 4 x xaxa 的解，试求a的值 4解下列方程： (1) 2 2 3 241 23 xx xx (2) 2 22 36xxax xaxaax 5解下列方程： (1) 22 13xx (2) 6 105 10 x x (3) 22 2432615xxxx 【参考答案】【参考答案】 A 组组 1(1) 1 ,(2)1,21,(3)0,1,(4)3,5xxxyyxx 2 2x 3 53 (1)1,(2)6,(3) 2 xxx 4(1) 5x (2) 20 x 5(1) 9,(2)1,4xxx B 组组 1 1 (1)113,(2)3,(3)5,1,(4) 3 xxxxx 2 317 (1)1,2,3,4,(2)12,(3)1 4 xxxxxxx 3 2 2 4 23 21 (1)0,2,(2) 22 xxxxa 5(1) 2,(2)26,(3)3,1xxxx
