1、上海市宝山区 2021 届高三二模数学试卷 2021.4 一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分） 1. 抛物线 2 8yx的焦点到准线的距离为 2. 不等式|1| 2x的解集为 3. 若关于x、y的方程组 1 xym xny 有无穷多组解，则mn的值为 4. 若12i （i是虚数单位）是方程 2 0 xbxc（, b cR）的一个根，则cb 5. 已知常数mR，若函数( )2x mf x 反函数的图像经过点(4,2)，则m 6. 设无穷等比数列 n x的公比为m，若 674 lim() n n xxxx ，则m 7. 某四棱锥的三视图如图
2、所示，则该四棱锥的最长侧棱的长度为 8. 在 89 (1) (1)xx的展开式中， 4 x项的系数为（结果用数值表示） 9. 如图， 点M为矩形ABCD的边BC的中点，1AB ，2BC ， 将矩形ABCD绕直线AD 旋转所得到的几何体体积记为 1 V，将MCD绕直线CD旋转所得到的几何体体积记为 2 V， 则 1 2 V V 的值为 10. 为巩固交通大整治的成果，某地拟在未来的连续 15 天中随机选择 4 天进行交通安全知 识的抽查，则选择的 4 天恰好为连续 4 天的概率为（结果用最简分数表示） 11. 设函数 31 22 8 ( ) 8 axx f x x （aR），若函数4 ( )5y
3、f x的零点为 4，则使得 2 8 (3)630f n 成立的整数n的个数为 12. 如图， 若同一平面上的四边形PQRS满足：(1 3 )(1)mnRPnm QPm nSP uuruuu ruu r （0m ， 0n ），则当PRS的面积是PQR的面积的 1 3 倍时， 1 mn 的最大值为 二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13. 设xR，则“3x ”是“ 2 9x ”的（） A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件 C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件 14. 某班有学生 40 人，将这 40 人编上 1 到 40 的号码，用系统抽样的方法抽取一个容量为
4、4 的样本，已知编号为 3、23、33 的学生在样本中，则另一个学生在样本中的编号为（） A. 12B. 13C. 14D. 15 15. 在平面直角坐标系中，角（ 3 2 ）的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负 半轴重合，终边经过函数( )2xf x 与 1 2 ( )log ()g xx 的交点，角(0,) 4 ，则（） A. 2 1cot() 2 B. 2 1tan() 2 C. 2 1cos() 2 D. 2 1sin() 2 16. 如果数列同时满足以下四个条件：（1） i u Z（1,2,10i ）；（2）点 28 5 (,2) uu u 在 函数4xy 的图像上； （3）向量
5、1 (1,)au r 与 10 (3,)bu r 互相平行； （4） 1ii uu 与 1 2 ii uu 的等差中项为 3 2 （1,2,9i ）；那么，这样的数列 1 u， 2 u， 10 u的个数为（） A. 78B. 80C. 82D. 90 三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分） 17. 如图， 在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，ABCD是边长为2的正方形，4PA ， M为侧棱PA的中点. （1）求四棱锥PABCD的体积； （2）求直线PD与平面MBC所成角的正弦值. 18. 将关于x的函数 2 (2)m x y x （mR）的图像向右平
6、移 2 个单位后得到的函数图像 记为C，并设C所对应的函数为( )f x. （1）当0m 时，试直接写出函数( )f x的单调递减区间； （2） 设(4)8f， 若函数 2 ( )25g xxax（1a ） 对于任意 1 0,1t ， 总存在 2 0,1t ， 使得 21 ( )( )g tf t成立，求a的取值范围. 19. 某地区的平面规划图中（如图），三点A、B、C分别表示三个街区， 3 ABC ， 现准备在线段AB上的点D处建一个停车场，它到街区B的距离为 1，到街区A、C的距 离相等. （1）若线段AD的长为 3，求sinBCD的值； （2）若BCD的面积为3，求点A到直线BC的距离
7、. 20. 设平面直角坐标系中的动点P到两定点( 2,0)、(2,0)的距离之和为4 2，记动点P的 轨迹为. （1）求的方程； （2）过上的点Q作圆 22 1xy的两条切线，切点为 1 Q、 2 Q，直线 12 QQ与x、y轴 的交点依次为异于坐标原点O的点 3 Q、 4 Q，试求 34 Q OQ的面积的最小值； （3）过点(2,0)且不垂直于坐标轴的直线l交于不同的两点M、N，线段MN的垂直 平分线与x轴交于点D，线段MN的中点为H，是否存在（ 2 4 ），使得 02 13190 |02|DHMN 成立？请说明理由. 21. 若数列满足：从第二项起的每一项不小于它的前一项的（R）倍，则称该
8、数列 具有性质( )P. （1）已知数列1，2x，3x具有性质(4)P，求实数x的取值范围； （2）删除数列 1 3， 2 3，3n，中的第 3 项，第 6 项，第3n项，余下的项 按原来顺序组成一个新数列 n t，且数列 n t的前n项和为 n T，若数列 n T具有性质( )P， 试求实数的最大值； （3）记 12 n immmn i m uuuuu （mN），如果0 k a （1,2,2021k ），证 明： “ 2021 1 1 k k a ”的充要条件是“存在数列 n x具有性质(1)P， 且同时满足以下三个条件： （） 数列 n x的各项均为正数，且互异；（）存在常数0A ，使得数
9、列 n x收敛于A； （） 20212020 11 10 nnkn kkn k kk xxa xax （1,2,n ，这里 0 0 x ）”. 答案 1【答案】4p 【解析】由抛物线的定义得 2 8yx的焦点到准线的距离为4p . 2【答案】( 1,3) 【解析】由|1| 2x解得13x ，故解集为( 1,3). 3【答案】2mn 【解析】由题意得 1 xym xny 应为同一方程，所以1mn，所以2mn. 【注】也可使用行列式求解. 4【答案】1 【解析】由题意得另一根为12i ， 由韦达定理得12 )( 12 )( 12 )( 1)(2321ciibii 5【答案】0m 【解析】由题意得(
10、 )2x mf x 的图像经过点(2,4)，所以 2 42 m ，所以0m . 6【答案】 15 2 m 【解析】因为 674 lim n n xxxx ，所以 6 4 1 x x m ，所以 2 4 4 1 mx x m ， 所以 2 1mm ，又1,1m ，所以 15 2 m . 7【答案】3 【解析】 由三视图可得直观图，在四棱锥PABCD中，最长的棱为PA 即 2 222 213PAPBPC 8【答案】28 【解析】 8 892 82 8 (1) (1)(1)(1)(1)(1)(1)xxxxxxxx， 故 4 x只由 2 8 (1)x提供， 4 x的系数为 2 8 28C . 9【答案
11、】6 【解析】 1 V为圆柱体的体积， 2 V为圆锥体的体积， 22 12 11 122 ,1 1 33 VV ，所以 1 2 6 V V 10【答案】 4 455 【解析】选择的 4 天恰好为连续 4 天的概率是 4 15 124 455 P C . 11【答案】14 【解析】因为函数4 ( )5yf x的零点为4，所以 5 (4) 4 f ，又 31 22 8 ( ) 8 axx f x x ， 所以 8 165 (4) 124 a f ，所以9a ，所以 31 22 98 ( ) 8 xx f x x ， 根据复合函数的单调性，易得( )f x在0,上单调递减，且 63 (64) 8 f
12、 ， 由 2 83630f n 得 2 63 8 3f n ，所以 2 0364n， 故67,33, 67n ，又nZ， 故8, 7, 3n ，故整数n的个数为14. 12【答案】105 3 【解析】法一：因为(1 3 )(1)mnRPnm QPm nSP ， 所以 1 31mn PRPQPS mn ， 过点S作SAPR于A，过点Q作QBPR于B， 因为PRS的面积是PQR面积的 1 3 ，所以3QBSA，从而3BQSA ， 在 1 31mn PRPQPS mn 的两边同时点乘BQ ， 得03 1 31 BQSA mn PQPS mn ， 由向量数量积的几何意义（投影）得 22 ,33PQPS
13、BQBQSASA ， 从而 22 1 3 0( 3) 1mn m QA n BS ，即 1 31 30( 1) mn mn ， 整理得 31 10 mn ， 所以 1101010 5(23) 313 42 3 4() mn mn mn nmnm ， 当且仅当3mn时取等号，所以 1 mn 的最大值为5(23). 法二：在PR的反向延长线上取点 R ，使得PR PR ， 由平面几何知识得, PR SPRSPR QPRQ SSSS ， (1 3 )(1)mnRPnm QPm nSP 转化为(1 3 )(1)0PSnm PQm nmnPR ， 由奔驰定理得 (1 3 )1 (1)3 PR S PR
14、Q Snm Sm n ，即3 (1 3 )(1)nmm n， 从而 31 10 mn ，以下同法一. 13【答案】A 【解析】 2 9, 33,xx ，故为充分非必要条件，选 A. 14【答案】B 【解析】学生 40 人，现用系统抽样的方法，从中抽取一个容量为 4 的样本，则抽样间隔为 10，故另一个学生在样本中的编号为 13 15【答案】D 【解析】因为 12 2 ( )2( )log ()log (), x f xg xxx 互为反函数，其交点在yx上， 又 3 2 ，所以 5 4 ，而0, 4 ，所以 53 , 42 ， 所以 2 tan()1,cot()0,1 ,sin()1, 2 ，
15、故选 D. 16【答案】B 【解析】由（1）得(1,2,10) i uiZ，由（2）得 285 2uuu，由（3）得 101 3uu， 由（4）得 1 1 2 3 ii ii uu uu ，从而 1 1 ii uu 或 1 2 ii uu ， 从而 1011 29,18uuu，故 1 5,6,7,8,9u ， 考虑 13258617094 uuuuuuuuuu的变换， 每一步变换均为1或2，且 3254 uuuu和 6587 uuuu所加之和 相等， 若 1 5u ，则 10 15u，则 9 步中只有 1 步为2，且只能在 2 边，故有 3 种； 若 1 6u ，则 10 18u，则 9 步中
16、有 3 步2，6 步1， 共有 111 333 128C C C种； 若 1 7u ，则 10 21u，则 9 步中有 5 步2，4 步1， 共有 122311 333333 36C C CC C C种； 若 1 8u ，则 10 24u，则 9 步中有 7 步2，2 步1， 共有 133322 333333 12CC C CC C种， 若 1 9u ，则 10 27u，则 9 步都为2，共有 1 种， 综上，共有32836 12 180 种，选 B. 17【答案】（1） 16 3 ；（2） 10 5 . 18【答案】（1）0,2)和(2,4)；（2） 7 2 a . 19【答案】（1） 3 6 ；（2） 393 2 . 20【答案】（1） 22 1 84 xy ；（2） 2 8 ；（3）不存在，理由略. 21【答案】（1） 5 6 3 x；（2） max 5 8 ；（3）证明略.
