1、第七讲：基本不等式及其应用 【学习目标】 1.了解基本不等式的证明过程，理解基本不等式及等号成立的条件。 2.会用基本不等式证明简单的不等式及解决简单的最大、最小值问题。 【重点、难点】 重点：理解基本不等式及等号成立的条件。 难点：会用基本不等式证明简单的不等式及解决简单的最大、最小值问题。 【知识梳理】 1 1、基本不等式、基本不等式 2 ab ab （1）基本不等式成立的条件：_. （2）等号成立的条件：当且仅当_时不等式取等号. 2 2、几个重要不等式、几个重要不等式 （1） 22 _( ,)aba bR （2）_( ,) ab a b ba 同号 （3） 2 () ( ,) 2 ab
2、 aba bR （4） 22 2 _() 22 abab 3 3、基本不等式求最值、基本不等式求最值 （1）两个_的和为_，当且仅当它们_时，其积最大. （2）两个_的积为_，当且仅当它们_时，其和最小. 利用这两个结论可以求某些函数的最值，求最值时，要注意“一正、二定、三相 等”的条件. 【课前小测】 1.设0ab，则下列不等式中正确的是() A. 2 a b a bab B. 2 a b aabb C. 2 a b aabb D. 2 a b abab 2.已知, a b为正数，则下列不等式中不恒成立的是() A. 2 () 2 ab ab B.2 ab ba C. 22 22 aba b
3、 D. 2ab ab a b 3.周长为 60 的矩形面积的最大值为（） A.225B.450C.500D.900 4. 设函数 1 ( )21(0)f xxx x ，则( )f x（） A. 有最大值B.有最小值 B. 是增函数D.是减函数 5.把一段长 16 米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的 最小值为（） A.4B.8C.16D.32 【典例分析】 题型题型 1 1：利用基本不等式求最值（或取值范围）：利用基本不等式求最值（或取值范围） 例 1.求最大值或最小值. （1）已知 5 4 x，求函数 1 42 45 yx x 的最大值. （2）已知0,0,xy且 19
4、1, xy 求xy的最小值。 点评： （1）利用基本不等式求最值时，要注意“全正、定值和取等号”三个条件， 当不具备时，要进行适当的变形.（2）二元问题的最值问题，其基本思路是运用 基本不等式，其中是化为一元问题. 题型题型 2 2：基本不等式的实际应用：基本不等式的实际应用 例 2.某商场预计全年分批购入每台价值为 2000 元的电视机共 3600 台，每批都 购入x台（x是正整数） ，且每批均需付运费 400 元，贮存购入的电视机全年所 付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比.若每批购入 400 台， 则全年需用去运输和保管总费用 43600 元， 现在全年只有 24000 元
5、资金可以用于 支付这笔费用.请问： 能否恰当安排每批进货的数量使资金够用？写出你的结论， 并说明理由. 点评:实际应用题应注意以下几点： （1）理解题意，设变量； （2）建立相应的函数关系式； （3）在定义域内，求出函数最值； （4）写出正确答案. 【课堂小结】本节课你收获什么？ 【课后作业】 1.下列不等式一定成立的是（） A. 2 1 lg()lg (0) 4 xx xB. 1 sin2(,) sin xxkkZ x C. 2 12|()xxxR D. 2 1 1() 1 xR x 2.若0,0,2abab，则下列不等式对一切满足条件的, a b恒成立的是 _（写出所有正确命题的编号） 1
6、ab；2ab； 22 2ab； 33 3ab； 11 2 ab . 3. 若 函 数 1 ( )(2) 2 f xxx x 在xa处 取 得 最 小 值 ， 则a （） A.12B.13C.3D.4 4. 设0,0ab， 若3是3a与3b的 等 比 中 项 ， 则 11 ab 的 最 小 值 为 （） A.8B.4C.2 5D.5 5.已 知0ab且1ab， 则 下 列 不 等 式 中 ， 正 确 的 是 （） A. 2 log0a B. 1 2 2 a b C. 1 2 2 ab ba D. 22 loglog2ab 6、正数,a b满足 19 1 ab ，若不等式 2 418abxxm 对任意实数x恒成 立，则实数m的取值范围是（） A、 3, B、 6, C、 ,3 D、 ,6 7、某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元，每生产x千件，需另投入成本为 C x，当年产量不足 80 千件时， 2 1 10 3 C xxx （万元） 。当年产量不小于 80 千件时， 10000 511450C xx x （万元） 。每件商品售价为 0.05 万元。通 过市场分析，该厂生产的商品能全部售完。 （1）写出年利润 L x（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式。 （2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
