1、第九讲：函数的单调性（共 2 课时） 【学习目标学习目标】 1. 理解函数的单调性及其几何意义； 2. 会运用函数图象理解和研究函数的性质； 3. 能够熟练地应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性。 【重点、难点重点、难点】 重点：理解函数的单调性； 难点：运用函数单调性求函数的值域。 【知识梳理知识梳理】 1 1、函数单调性的定义及几何意义、函数单调性的定义及几何意义 增函数减函数 定义 一般地，设函数( )f x的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意任意两个自变 量的值 12 ,x x，当时 12 xx，都有 12 ()()f xf x，那么就说函数在区间 D 上是
2、增 函数 12 ()()f xf x，那么就说函数在区间 D 上 是减函数 几何意义 自左向右图象呈上升的趋势 自左向右图象呈下降的趋势 2 2、单调区间的定义、单调区间的定义 若函数( )f x在区间 D 上是增函数或减函数，则称函数( )f x在这一区间上具有（严格的）单 调性，区间 D 叫做( )f x的单调区间。 注：一个函数在不同的区间可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“， ”连接， 不能用“”连接。 3 3、复合函数单调性（选讲）复合函数单调性（选讲） 【课前小测】 1.函数( )f x在, 上为减函数，则( 3)f 与(2)f的大小关系是_. 2.定义在 R 上的函数(
3、 )f x对任意两个不等实数 12 ,x x，总有 1212 ( )()0 xxf xf x，则必 有（） A. 函数( )f x是先增后减B. 函数( )f x是先减后增 C. 函数( )f x是在 R 上是增函数D. 函数( )f x是在 R 上是减函数 3.函数(21)ykxb在实数集上是增函数，则（） A. 1 2 k B. 1 2 k C.0b D.0b 4.函数 2 ( )43f xxx的减区间是（） A., 2 B.,4C.2,D.,2 5.下列函数中在0,上单调递增的函数是（） A. 1 y x B. x yeC. 2 3yx D.cosyx 【典题分析典题分析】 题型题型 1
4、 1：用定义证明函数的单调性：用定义证明函数的单调性 例 1.用函数单调性的定义判断函数 2 ( ) 1 x f x x 在区间0,1上的单调性。 点评：用定义法判断或证明函数( )f x在给定的区间 D 上的单调性的步骤： （1）任取 12 ,x xD，且 12 xx； （2）作差： 12 ()()f xf x； （3）变形（通常是因式分解和配方） ； （4）定号（即判断差 12 ()()f xf x的正负） ； （5）下结论（即指出函数( )f x在给定的区间 D 上的单调性） 。 题型题型 2 2：利用函数的图象求函数的单调区间：利用函数的图象求函数的单调区间 例 2.如图， 已知函数(
5、 )yf x的图象， 根据图象说出函数的单调区间， 以及在每一个区间上， 它是增函数还是减函数。 点评：研究函数单调区间的一般方法有：图象法、定义法及利用已知函数的单调性。数形结 合思想始终是研究函数性质及其应用的重要思想。 【变式迁移】 画出函数 2 23yxx 的图象，并指出函数的单调区间。 题型题型 3 3：运用函数的单调性解不等式：运用函数的单调性解不等式 例 3、已知定义在 R 上的函数( )f x是增函数，则满足( )(23)f xfx的x的取值范围是 _. 点评：在解决利用函数的单调性比较函数值或自变量的大小的问题时，要注意将对应的自变 量转化到同一个单调区间上。 【变式迁移】已
6、知( )f x为 R 上的减函数，则满足 1 ( )(1)ff x 的实数x的取值范围是（） A.,1B.1,C. ,00,1D.,01, 题型题型 4 4：运用函数的单调性求参数的取值范围：运用函数的单调性求参数的取值范围 例 4.（1）若函数 2 ( )2(1)1f xxax在区间,4上是减函数，求实数a的取值范围； （2）函数 2 2 1 3 ykxx在0,上单调递减，求实数k的取值范围。 点评：对已知函数在某区间D上的单调性，求参数取值范围的问题，可先由函数本身求得的 单调区间视为I（函数在D和I上单调性相同） ，进而利用DI求得参数。 【变式迁移】 1.若函数 2 21yxx 在区间
7、,4a上是减函数，则a的取值范围是_, 2.若 1 ( ) 421 2 x ax f x a xx 是 R 上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（） A.1,B.,8C.1,8D.4 8， 【课堂小结课堂小结】本节课你收获什么？ 【课后作业课后作业】 1 下列函数( )f x中，满足“对任意 12 ,0 x x ，当 12 xx时，都有 12 ()()f xf x”的函数 是（） A.( )1f xx B. 2 ( )1f xxC.( )2xf x D.( )ln()f xx 2.下列函数中，在区间0,2上为增函数的是（） A.1yx B.yxC. 2 45yxxD. 2 y x 3.如果二
8、次函数 2 510yxnx在区间,1上是减函数，在1,上是增函数，则n的值 是（） A. 1B.-1C. 10D.-10 4.给定函数 1 2 yx， 1 2 log (1)yx，1yx， 1 2xy ，其中在区间0,1上单调 递减的函数序号是（） A.B. C.D. 5.定义在 R 上的偶函数( )f x，对任意 1212 ,0,()x xxx，有 21 21 ()() 0 f xf x xx ，则（） A.(3)( 2)(1)fffB.(1)( 2)(3)fff C.( 2)(1)(3)fffD.(3)(1)( 2)fff 6.若函数( )f x是定义在 R 上的偶函数，在,0上是减函数，且 20f，则使得 0f x 的x的取值范围是（） A.,2B.2,C., 22, D.2,2 8.二次函数 2 ( )3f xxax在区间2,4单调，则a的取值范围是_. 9.已知函数 (2)1,1 ( ) log,1 a axx f x xx ，若( )f x在, 上单调递增，则实数a的取值范围 为_.
