1、第四十四讲：直线、平面平行的判定及其性质第四十四讲：直线、平面平行的判定及其性质 【学习目标学习目标】 1. 以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判 定定理； 2. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题。 【重点、难点重点、难点】 重点：掌握线面平行的有关性质与判定定理； 难点：运用性质与判定定理证明。 【知识梳理知识梳理】 1 1、直线与平面平行的判定定理和性质定理、直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言图形语言符号语言 判 定 定 理 平面外一条直线与 直线平行，则该直线与此平 面平行（简记为“线线平行线面 平行
2、” ） / / l l a l 性 质 定 理 一条直线与一个平面平行，则过这 条直线的任一平面与此平面的 与该直线平行（简记为“线面平行 线线平行” ） ba b a a / / 2 2、平面与平面平行的判定定理和性质定理、平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言图形语言符号语言 判 定 定 理 一个平面内的两条与 另一个平面平行，则这两个平面平 行（简记为“线面平行面面平 行” ） / / / Pba b a b a 性 质 定 理 如果两个平行平面同时和第三个 平面相交，那么它们的交线 ba b a/ / 【常用结论】 （1）垂直与同一条直线的两个平面平行，即若aa,，则/. （2）
3、垂直与同一个平面的两条直线平行，即若ba,，则ba/. （3）平行于同一个平面的两个平面平行，即若/,/，则/. 【典题分析典题分析】 题型题型 1 1：与线、面平行相关命题的判定：与线、面平行相关命题的判定 例 1 设,为两个平面，则/的充要条件是（） A.内有无数条直线与平行B.内有两条相交直线与平行 C.,平行于同一条直线D.,垂直于同一平面 【方法规律】【方法规律】 熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，可以从中选出最熟悉最容易判断的 选项先确定或排除，再逐步判断其余选项 . 【题组练习】 1、 （多选题）如图，在下列四个正方体中，BA,为正方体的两个顶点，QNM,为所在棱的 中点，则在
4、这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是（） ABCD 2、若直线l不平行与平面，且l，则（） A.内的所有直线与l异面B.内不存在与l平行的直线 C.与直线l至少有两个公共点D.内的直线与l都相交 3、已知nm,是两条不同的直线，,是三个不同的平面，下列命题中正确的是（） A.若/,/nm，则nm/.B.若/,/mm，则/. C.若 ,，则/.D.若nm,，则nm/. 4、 设,是三个不同的平面，nm,是两条不同的直线， 在命题 “nm,， 且， 则nm/”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题. n,/；/,/nm；mn,/. 可以填入的条件有. 题型题型 2 2：直线与
5、平面平行的判定：直线与平面平行的判定 例 2 如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB平面BEC，ECBE ， BEAB 2 EC，FG,分别是线段DCBE,的中点. 求证：/GF平面ADE. 【方法规律【方法规律】 证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线， 解题的思路是利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四 边形、寻找比例式证明两直线平行，注意内外平行三条件，缺一不可. 【题组练习】 1、如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，CC1底面 ABC，ACBC，D 是 A1C1的中点，且 AC BCAA12. （1）求证：BC
6、1平面 AB1D； （2）求直线 BC 与平面 AB1D 所成角的正弦值. 2、 如图， 四棱锥PABC中，PA 平面ABCD，ADBC，3ABADAC，4PABC=， M为线段AD上一点，2AMMD，N为PC的中点 （I）证明：MN平面PAB； （II）求四面体NBCM的体积. 题型题型 3 3：直线与平面平行的性质：直线与平面平行的性质 例 3 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点， 在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH. 求证：GHAP/. 【方法规律【方法规律】要证明线线平行，可把它们转化为线面平行.即在应用性质定理时，一般遵循
7、从“高 维”到“低维”的转化，即从“线面平行”到“线线平行” ；而解决线面平行的判定时其顺序恰好相 反. 【题组练习】 1、如图， 四棱锥PABCD 中，M，N分别为AC，PC上的点， 且/ /MN 平面PAD，则() A/ /MNPDB / /MNPA C/ /MNADD以上均有可能 2、如图，在三棱锥PABC中，侧面PBC是边长为 2 的等边三角形，M，N分别为AB， AP的中点，过MN的平面与侧面PBC交于EF. （1）求证：/MN EF； （2）若平面PBC 平面ABC，3ABAC，求直线PB与平面PAC所成角的正弦值. 3、如图，已知三棱柱如图，已知三棱柱111 ABCABC中，中，
8、ABAC，D为为BC上一点，上一点， 1 AB 平面平面 1 AC D （1）求证：）求证：D为为BC的中点的中点; （2）若平面）若平面ABC 平面平面 11 BCC B，求证：，求证： 1 AC D为直角三角形为直角三角形. 题型题型 4 4：平面与平面平行的判定与性质：平面与平面平行的判定与性质 例 4 如图所示，在三棱柱 111 CBAABC中，HGFE,，分别是 1111 ,CABAACAB的中点，求 证： （1）GHCB,四点共面； （2）平面/ 1 EFA平面BCHG. 【方法规律】【方法规律】本题的证明应用了三种平行关系之间的转化 线面平行 线线平行 面面平行 判定定理 性质定理 判定定理 性质定理 性质定理 判定定理 【题组练习】 1、如图，四边形ABCD是正方形，DE平面ABCD，AF平面ABCD. 证明：平面/ABF平面DCE. 2、如图，四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，ABAC，/ /ABCD，2ABCD，E， F分别为PB，AB的中点. （1）求证：平面/ /PAD平面EFC； （2）若2PAABAC，求点B到平面PCF的距离.
