1、第十八讲：导数的概念及运算（共第十八讲：导数的概念及运算（共 2 2 课时）课时） 【学习目标学习目标】 1. 了解导数的背景：位移对时间求导为速度，速度对时间求导是加速度； 2. 理解函数在某点处的导数对应函数图象在该点处的切线斜率； 3. 会求多项式函数的导数。 【重点、难点重点、难点】 重点：理解导函数的概念，掌握求导法则； 难点：导数的几何意义。 【知识梳理知识梳理】 1 1、导数的概念、导数的概念 (1)函数( )yf x=在 0 xx=处的瞬时变化率，即当0 x时，函数从 0 x到xx 0 的平均变化 率的极限值，我们称它为函数( )yf x=在 0 xx=处的导数，记作 0 ()
2、fx或 0 |x xy = ，即 x xfxxf xf x )()( lim)( 00 0 0 . (2)如果函数( )yf x=在开区间( ) , a b内的每一点处都有导数， 其导数值在( ) , a b内构成一个新 函数，这个函数称为函数( )yf x=在开区间内的导函数。记作( )fx或 y. 2 2、导数的几何意义、导数的几何意义 函数( )yf x=在点 0 x处的导数的几何意义，就是曲线( )yf x=在点 00 (,()P xf x处的切线的斜 率k，即 0 ()kfx=. 3 3、基本初等函数的导数公式、基本初等函数的导数公式 基本初等函数基本初等函数导函数导函数 ( )(f
3、 xC C=为常数) n xxf)(（ * Qn） ( )sinf xx= ( )cosf xx= ( ) x f xe= x axf)(（1, 0aa） ( )lnf xx= xxf a log)(（1, 0aa） 4 4、导数的运算法则、导数的运算法则 （1）和差的导数： )()(xgxf （2）积的导数： )()(xgxf （3）商的导数： )( )( xg xf （0)(xg） 5 5、复合函数的导数、复合函数的导数 复合函数)(xgfy 的导数和函数)(),(xguufy的导数间的关系为 x y 即y对x的导数等于的导数与的导数的乘积. 【课前小测】 1、若 2 ( )2f xx=图
4、象上一点(1,2)及附近一点)2 ,1 (yx，则 x y 等于（） A.x23B.x4C.x24D.x3 2、已知函数 22 4)(xxf，则( )fx =（） A.4 xB.8 xC. 2 8xD.16 x 3、 3 4yxx=-在点)3, 1(处的切线方程（） A.74yx=+B.72yx=+C.4 xyD.2 xy 4、设( )lnf xxx=，若 0 ()2fx=，则 0 x =（） A. 2 eB.eC. ln2 2 D.ln2 5、函数 32 ( )32f xaxx=+，若4) 1( f ，则a的值等于. 【典题分析典题分析】 题型题型 1 1：导数的计算：导数的计算 例 1 求
5、下列函数的导数： （1）)3)(2)(1(xxxy（2）xytan（3） 2 1xxy 点评：求函数的导数的具体方法是：(1)遇到连乘积的形式，先展开化为多项式形式，再求导；(2) 遇到根式形式，先化为分数指数幂，再求导；(3)遇到复杂分式，先将分式化简，再求导。 【变式迁移】 1、求下列函数的导数： （1）xxxycossin（2） 3 2 ) 12( x x y 题型题型 2 2：抽象函数求导：抽象函数求导 例 2 已知) 1 (2)( 2 f xxxf，则)0(f. 点评：赋值法是求解此类问题的关键，求解时先视) 1 ( f 为常数，然后借助导数运算法则计算 )(x f ，最后分别令0,
6、 1xx代入)(x f 求解。 【变式迁移】 2、已知函数) 1 (22) 1 ()( 2 fxxfxf，则)2( f 的值为（） A、2B、0C、4D、6 题型题型 3 3：导数的几何意义：导数的几何意义 例 3 （1）曲线 x exxy)(3 2 在点)0 , 0(处的切线方程为. （2）已知函数xxxfln)(，若直线l过点) 1, 0( ，并且与曲线)(xfy 相切，则直线l的方 程为. 点评：导数几何意义的应用,需注意以下两点:(1)当曲线( )yf x=在点 00 (,()xf x处的切线垂直于x 轴时,函数在该点处的导数不存在,切线方程为 0 xx=;(2)注意区分曲线在某点处的
7、切线和曲线过某 点的切线.曲线( )yf x=在点 00 (,()P xf x处的切线方程是 000 ()()()yf xfxxx-=-;求过某点的切 线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解. 【变式迁移】 3、若曲线 x ey 在0 x处的切线，也是曲线bxy ln的切线，则b（） A、1B、1C、2D、e 【课堂小结课堂小结】本节课你收获什么？ 【课后作业课后作业】 1.曲线 3 21yxx=-+在点(1,0)处的切线方程为（） A.1yx=-B.1yx= - +C.22yx=-D.22yx= -+ 2. 函数 3 ( )33 x f xxe=-+在0 x =处的导数等于（） A.0B. -3C. 1D. 2 3.已知函数 ( )f x 的导函数为( )fx ，且满足 ( )2( )lnf xxfex ，则 ( )f e 等于（） A1B 1 e C1De 4设点 P 是函数 201 x fxefxf 图象上的任意一点，点 P 处切线的倾斜角为， 则角的取值范围是（） A 3 0, 4 B 3 0, 24 C 3 , 24 D 3 0, 24 5.已知曲线 3 14 33 yx=+. （1）求曲线在点(2,4)P处的切线方程； （2）求曲线过点(2,4)P的切线方程.
