1、第 1 页 共 115 页 解析几何题型解题技巧讲义 第 1 讲秒杀解析几何题型之直线方程.4 【题型 1】 ：直线方程的五种形式及其局限性.4 【题型 2】 ：三点共线.4 【题型 3】 ：两直线平行.5 【题型 4】 ：两直线垂直.5 【题型 5】 ：距离.6 【题型 6】 ：对称.6 第 2 讲秒杀解析几何题型之圆的方程.8 【题型 1】 ：圆的方程.8 【题型 2】 ：点与圆、线与圆、圆与圆位置关系.10 【题型 3】 ：圆上的点到直线距离为定值的点的个数.11 【题型 4】 ：圆中弦中点性质. 12 【题型 5】 ：圆的切线.12 【题型 6】 ：切线长、弦长. 14 【题型 7】
2、：最值问题.16 【题型 8】 ：对称问题.18 第 3 讲秒杀解析几何题型之圆锥曲线方程.20 【题型 1】 ：确定圆锥曲线的形状. 21 【题型 2】 ：求圆锥曲线方程. 22 【题型 3】 ：求圆锥曲线方程中的量.23 第 4 讲秒杀解析几何题型之椭圆的定义.26 【题型 1】 ：焦半径.26 【题型 2】 ：焦点三角形周长. 27 【题型 3】 ：利用双曲线定义解题. 28 【题型 4】 ：双曲线焦点三角形. 29 【题型 5】 ：利用抛物线定义解题. 30 第 2 页 共 115 页 第 5 讲秒杀解析几何题型之焦点三角形.35 【题型 1】 ：焦点三角形周长及顶角的范围.35 【题
3、型 2】 ：焦点三角形面积. 36 【题型 3】 ：焦点直角三角形个数. 36 第 6 讲秒杀解析几何题型之离心率.40 【题型 1】 ：利用焦点三角形求离心率.40 【题型 2】 ：寻找a、b、c的关系求离心率.46 【题型 3】 ：黄金椭圆.52 【题型 4】 ：求离心率范围. 52 第 7 讲秒杀解析几何题型之双曲线的渐近线. 54 【题型 1】 ：由双曲线的方程求渐近线.54 【题型 2】 ：有共同渐近线的双曲线方程的设法.55 【题型 3】 ：由已知渐近线方程设双曲线方程.56 【题型 4】 ：双曲线的焦点到渐近线的距离.57 第 8 讲秒杀解析几何题型之直线与圆锥曲线. 61 【题
4、型 1】 ：直线与椭圆的位置关系.61 【题型 2】 ：直线与双曲线的位置关系.64 【题型 3】 ：直线与抛物线的位置关系.65 第 9 讲秒杀解析几何题型之圆锥曲线直角弦. 67 【题型 1】 ：椭圆中的直角弦. 67 【题型 2】 ：相对于椭圆中心的直角弦.68 【题型 3】 ：相对于其它点的直角弦.69 【题型 4】 ：抛物线相对于原点的直角弦.72 【题型 5】 ：相对于其它点的直角弦.74 第 10 讲秒杀解析几何题型之圆锥曲线焦点弦. 75 【题型 1】 ：焦点弦长公式. 75 【题型 2】 ：焦点弦中的定值. 76 【题型 3】 ：离心率与焦点弦的关系.76 【题型 4】 ：焦
5、点弦两端点坐标定值关系.79 【题型 5】 ：焦点弦长。. 79 【题型 6】 ：焦点弦被焦点分成两段焦半径的关系及焦半径公式.79 【题型 7】 ：由焦点弦围成图形的面积.80 【题型 8】 ：以焦点弦为直径的圆的性质.80 【题型 9】 ：如图两圆的性质. 82 第 11 讲秒杀解析几何题型之圆锥曲线中点弦.83 【题型 1】 ：求值，利用结论求 k 或斜率乘积定值.83 【题型 2】 ：求当 AB k 为定值时，平行弦中点轨迹.86 【题型 3】 ：求当直线l恒过一定点 , e f 时，得定点弦中点轨迹：利用 AB yf k xe 中 中 消去 AB k .87 【题型 4】 ：求值(求
6、 k 或 p). 89 第 12 讲秒杀解析几何题型之圆锥曲线最值. 91 【题型 1】 ：定点与椭圆上动点的距离的最值问题.91 【题型 2】 ：椭圆或双曲线上的动点到一个定点与一个焦点的距离的和或差的最值问题. 92 第 3 页 共 115 页 【题型 3】 ：抛物线上的动点到定点(定直线)与焦点（或准线或 y 轴）的距离之和的最值问题. 93 【题型 4】 ：抛物线上的动点到定点或定直线的距离的最值问题.94 【题型 5】 ：弦长或面积最值问题. 96 第 13 讲秒杀解析几何题型之圆锥曲线定值与定点.100 【题型 1】 ：圆锥曲线中的定值与定点.100 第 14 讲秒杀解析几何题型之
7、圆锥曲线的切线. 107 【题型 1】 ：过曲线上一点作曲线的切线.107 【题型 2】 ：过曲线外一点作曲线的切线.108 【题型 3】 ：阿基米德三角形. 108 【题型 4】 ：蒙日圆.110 第 15 讲秒杀解析几何题型之圆锥曲线的轨迹问题.111 【题型 1】 ：定义法求轨迹. 111 【题型 2】 ：直接发求轨迹. 113 【题型 3】 ：代换法（相关点法）求轨迹.114 【题型 4】 ：参数法求轨迹. 114 获取更多资料获取更多资料 关注微信公众号：钻研数学QQ 资料群：955046678 第 4 页 共 115 页 第 1 讲秒杀解析几何题型之直线方程 【题型 1】 ：直线方
8、程的五种形式及其局限性【题型 1】 ：直线方程的五种形式及其局限性 秒杀策略 ：秒杀策略 ： 直线的点斜式或斜截式不能表示斜率不存在的直线，如果写成xkyb就可以表示斜率不存在的直线。 两点式不能表示斜率不存在或斜率为 0 时的直线， 写成 121121 ()()()()yyxxxxyy表示任意直线。 截距式不能表示截距为 0 与截距不存在的直线，所以要注意设成截距式时出现丢根问题，注意区别截距 相等与截距绝对值相等是两个不同的概念(截距是直线与坐标轴交点的坐标,可正、负、0)。 1.(高考题)下列命题中的真命题是() A.经过定点 000 (,)P xy的直线都可以用方程 00 ()yyk
9、xx表示 B.经过任意两个不同的点 111222 ( ,),(,)P x yP xy的直线都可以用方程 121121 ()()()()yyxxxxyy 表示 C.不经过原点的直线都可以用方程1 xy ab 表示 D.经过定点(0, )Ab的直线都可以用方程ykxb表示 【解析】【解析】 ：A 答案不能表示斜率不存在的直线，C 答案不表示平行于x轴与平行于y轴的直线，D 答案不表示 斜率不存在的直线，选 B。 【题型 2】 ：三点共线【题型 2】 ：三点共线 秒杀策略 ：秒杀策略 ： 利用两边之和等于第三边 利用斜率相同且过同一点 利用两点求出直线方程，把第三点代入加以验证；利用向量ab 。 获
10、取更多资料获取更多资料 关注微信公众号：钻研数学QQ 资料群：955046678 第 5 页 共 115 页 1.(高考题)若三点(2,2)A、( ,0)B a、(0, )(0)Cb ab 共线,则 11 ab =。 【解析【解析】 ：由( ,0)B a、(0, )Cb两点确定的直线方程为：1 xy ab ，代入(2,2)A，得 1 2 。 【题型题型 3 3】 ：两直线平行两直线平行 秒杀秒杀策略策略 ： 斜率相等，但截距不等。 在一般式中：直线0: 1111 CyBxAl。 0: 2222 CyBxAl，平行： 111 222 ABC ABC ；重合： 111 222 ABC ABC 。
11、平行直线系方程：: l0AxByC，与之平行的直线可设为: 0AxByC。 1.(高考题)设Ra,则“1a”是“直线02: 1 yaxl与直线: 2 l 04) 1(yax 平行”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【解析【解析】 ：选 A。 【题型题型 4 4】 ：两直线垂直两直线垂直 秒杀秒杀策略策略 ： 利用斜率乘积等于1 在一般式中：直线0: 1111 CyBxAl, 0: 2222 CyBxAl，垂直的充要条件是：0 2121 BBAA。 垂直直线系方程：: l0AxByC，与之垂直的直线可设为： 0BxAyC。 1.(2013 年辽宁卷
12、)已知点)0 , 0(O,), 0(bA, 3 ,aaB，若OAB为直角三角形，则必有() 获取更多资料获取更多资料 关注微信公众号：钻研数学QQ 资料群：955046678 第 6 页 共 115 页 A. 3 baB. 3 1 ba a C. 33 1 0baba a D. 33 1 0baba a 微信公众号：钻研数学 【解析【解析】 ：若 A 为直角,A、B 纵坐标相等， 3 0ba；若 B 为直角，由1 ABOB kk，得 3 1 0ba a , 选 C。 【题型题型 5 5】 ：距离：距离 秒杀秒杀策略策略 ： 点 00 ,xy到直线0AxByC的距离： 00 22 AxByC d
13、 AB 。 平行直线 1: l 1 0AxByC; 2: l 2 0AxByC间的距离： 12 22 CC d AB 。 1.(高考题)若直线m被两平行线 1: 10lxy ， 2: 30lxy所截得的线段的长为2 2，则m的倾 斜角可以是 15；30；45；60；75。其中正确答案的序号是.（写出所有正确 答案的序号） 【解析【解析】 ： 21,l l间的距离为2，而直线m被两平行线截得的线段长为2 2，可知直线m与两平行线 的夹角为30，直线的倾斜角为45，m的倾斜角为：453075 ,453015 ，选。 2.(2020 年新课标全国卷 III8)点(0 ) 1， 到直线 1yk x 距
14、离的最大值为() A.1B. 2 C. 3 D.2 【解析【解析】 ：选 B。 【题型题型 6 6】 ：对称：对称 秒杀秒杀策略策略 ： 点关于点对称：点 00 (,)P xy关于点( , )O a b(中点)的对称点Q的坐标为 00 (2,2)axby。 获取更多资料获取更多资料 关注微信公众号：钻研数学QQ 资料群：955046678 第 7 页 共 115 页 点关于线对称：利用中、垂两条件建立方程组,(注意特殊点的对称)点 00 (,)xy关于直线 0AxByC的对称点： 0000 00 2222 (2,2) AxByCAxByC xAyB ABAB 。 线关于点对称：: l0AxBy
15、C关于点( , )a b对称的直线方程为：(2)(2)0AaxBbyC。 线关于线对称：(转化为特殊点对称)在直线上取一个特殊点，求这个点关于直线的对称点，再求两条直 线的交点，利用两点式可求对称线的方程。 特例：角的两边关于角分线对称，线关于特殊线(x轴、y轴、yx、yx )对称，直接交换坐标即可。 反射问题均转化为对称问题解决。 1.(高考题)已知直线 1 :10,:220l xylxy ，若直线 21 ,l l关于直线l对称，则 2 l的方程为 () 微信公众号：钻研数学 A.210 xy B.210 xy C.10 xy D.210 xy 【解析【解析】 ：因为对称轴的斜率为 1，由
16、1 1 xy yx ，得 02112xy，选 B。 【高考母题高考母题】 ：1.如果0,0,ACBC那么直线0AxByC不通过() A.第一象限B.第二角限C.第三象限D.第四象限 【解析【解析】 ：选 B。 2.已知两条直线 11 10a xb y 和 22 10a xb y 都过点(1,2)A,求过两点 111222 (,),(,)P a bP a b 的直线的方程. 【解析【解析】 ：012yx。 获取更多资料获取更多资料 关注微信公众号：钻研数学QQ 资料群：955046678 第 8 页 共 115 页 第 2 讲秒杀解析几何题型之圆的方程 【题型题型 1 1】 ：圆的方程：圆的方程
17、 秒杀秒杀策略策略 ： 标准方程： 222 ()()xaybr，圆心, a b，半径r。 一般方程： 22 0,xyDxEyF圆心, 22 DE ， 22 4 2 DEF r 。 1.(高考题)圆心在y轴上，半径为 1，且过点1,2的圆的方程为() A. 22 (2)1xyB. 22 (2)1xyC. 22 (1)(3)1xyD. 22 (3)1xy 【解析【解析】 ：在y轴上找一点到1,2的距离为 1，可知圆心为0,2，选 A。 2.(2009 年辽宁卷)已知圆C与直线0 yx及04 yx都相切，圆心在直线0 yx上，则圆C的 方程为() 微信公众号：钻研数学 A. 22 (1)(1)2xy
18、B. 22 (1)(1)2xy C. 22 (1)(1)2xyD. 22 (1)(1)2xy 【解析【解析】 ：设圆心为aa ,，利用圆心到两条直线距离相等，选 B。 3.(2015 年新课标全国卷 I14)一个圆经过椭圆1 416 22 yx 的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆 的标准方程为。 【解析【解析】 ： 4 25 2 3 2 2 yx。 4.(2016 年新课标全国卷 II4)圆 22 28130 xyxy的圆心到直线10axy 的距离为 1，则a A. 3 4 B. 3 4 C.3D.2 【解析【解析】 ：选 A。 5.(高考题)已知圆C经过A1 , 5，B3 , 1两点
19、，圆心在x轴上，则C的方程为。 【解析【解析】 ： 22 (2)10 xy。 获取更多资料获取更多资料 关注微信公众号：钻研数学QQ 资料群：955046678 第 9 页 共 115 页 6.(高考题)已知Ra， 方程 222 (2)4850a xayxya表示圆， 则圆心坐标是， 半径是。 【解析【解析】 ：4, 2 ，5。 7.(2018 年天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点 0 , 21 , 10 , 0，的圆的方程为。 【解析【解析】 ：11 2 2 yx。 8.(2019 年新高考浙江卷)已知圆C的圆心坐标是(0,)m，半径长是r，若直线230 xy与圆C相切于 点( 2, 1)
20、A ，则m=_，r=_ 【解析】【解析】：2， 5。 9.(2010 年新课标全国卷 15)过点1 , 4A的圆C与直线01 yx相切于点1 , 2B，则圆C的方程 为。 【解析【解析】 ：圆心在直线03 yx与直线3x上，即圆心为（3,0） ，2r，:C 22 (3)2xy。 10.(2020 年新课标全国卷 II8)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 2x-y-3=0 的距离为 A. 5 5 B. 2 5 5 C. 3 5 5 D. 4 5 5 【解析【解析】 ：选 B。 【高考母题高考母题 1 1】 ：1.求圆心在直线2yx 上，并且经过点(2, 1)A，与直线1xy相切
21、的圆的方程。 【解析【解析】 ：设圆心为aa2,，利用到点 A 的距离等于到直线的距离得圆的方程为： 22 (1)(2)2xy。 2.设圆满足条件:（1）截y轴所得的弦长为 2； （2）被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为 3:1； （3）圆心到 直线:20l xy的距离为 5 5 ，求这个圆的方程。 微信公众号：钻研数学 【解析【解析】 ： 22 (1)(1)2xy或 22 (1)(1)2xy。 3.求与圆 22 :(5)3C xy相切，且在x轴、y轴上的截距相等的直线的方程。 【解析【解析】 ： 66 3 yx 或560 xy 。 【高考母题高考母题 2 2】 ：1.求由曲线 22 xyxy围
22、成的图形的面积。 【解析【解析】 ：2。 2.方程 2 1yx表示什么曲线? 【解析【解析】 ：上半圆。 获取更多资料获取更多资料 关注微信公众号：钻研数学QQ 资料群：955046678 第 10 页 共 115 页 3.画出方程 2 11xy 表示的曲线? 【解析【解析】 ：右半圆。 【题型题型 2 2】 ：点与圆、线与圆、圆与圆位置关系：点与圆、线与圆、圆与圆位置关系 秒杀秒杀策略策略 ： 点与圆：点到圆心距离为d：.dr，在圆上；.dr，在圆外；.dr，在圆内。 线与圆：圆心到直线的距离为d：.dr，相切；.dr，相离；.dr，相交。 圆与圆：两圆圆心距为d，半径分别为 21,r r：
23、. 21 rrd，相离； . 21 rrd，外切； . 2121 rrdrr ，相交；iv. 21 rrd ，内切；v. 21 rrd ，内含。 1.(2014 年新课标全国卷 II16)设点 M（ 0 x,1） ，若在圆 O: 22 1xy上存在点 N，使得OMN=45,则 0 x 的取值范围是。 【解析【解析】 ：点M在圆的切线1y上，当 1 , 1M时，恰好存在圆上(0,1),(1,0)两个点满足，由图象M应向 左移动，由对称性可得1 , 1 0 x。 2.(高考题)若直线1 xy ab 与圆 22 1xy有公共点，则() A. 22 1abB. 22 1abC. 22 11 1 ab
24、D. 22 11 ab 1 【解析【解析】 ：利用圆心0,0到直线1 xy ab 的距离 22 1 1 11 d ab ，选 D。 3.(高考题)已知直线0(0)axbycabc与圆 22 1xy相切，则三条边长分别为,a b c的三角形 为()微信公众号：钻研数学 A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不存在 【解析【解析】 ：选 B。 4.(高考题)若直线yxb与曲线 2 34yxx有公共点，则b的取值范围是() A.1,12 2 B.1 2 2,12 2 C.1 2 2,3 D.12,3 【解析【解析】 ：选 C。 获取更多资料获取更多资料 关注微信公众号：钻研数学QQ 资料群：
25、955046678 第 11 页 共 115 页 5.(高考题)若曲线02: 22 1 xyxC与曲线0)(: 2 mmxyyC有四个不同的交点，则实数m的取 值范围是() A.) 3 3 , 3 3 (B. 33 (,0)(0,) 33 C. 3 3 , 3 3 D. 33 , 33 【解析【解析】 ：选 B。 6.(高考题)过点( 2,0)引直线l与曲线 2 1xy相交于BA,两点,O为坐标原点,当AOB的面积取最 大值时,直线l的斜率等于() A. 3 3 B. 3 3 C. 3 3 D.3 【解析【解析】 ：曲线为上半圆，AOBS BA sin11 2 1 0 ，当90AOB时面积最大
26、， 3 3 k，选 B。 7.(高考题)与直线20 xy和曲线 22 1212540 xyxy都相切的半径最小的圆的标准方程是 。 【解析【解析】 ：配方得： 22 (6)(6)18xy，半径最小的圆是过已知圆圆心6,6向直线20 xy作垂 线与直线与圆有两交点，以两交点为直径的圆，即 22 (2)(2)2xy。 8.(高考题)集合A= 22222 ( , )4 ,( , ) (3)(4),x y xyBx yxyr其中0,r 若AB中有且 只有一个元素,则r的值是。 【解析【解析】 ：3 或 7。 9.(高考题)圆4)2( 22 yx与圆9) 1()2( 22 yx的位置关系为() A.内切
27、B.相交C.外切D.相离 【解析【解析】 ：选 B。 【题型题型 3 3】 ：圆上的点到直线距离为定值的圆上的点到直线距离为定值的点的点的个数个数 秒杀秒杀策略策略 ： 到直线距离为定值的点的轨迹是与已知直线平行的两条直线，这两条直线与圆的交点的个数即所求点的个 数，即最多四个交点，可能是 0、1、2、3、4，首先计算圆心到直线的距离，再考虑这个距离与半径的关系， 从直观上得到答案。 1.(高考题)圆 22 2430 xyxy上到直线10 xy 的距离等于2的点有个。 获取更多资料获取更多资料 关注微信公众号：钻研数学QQ 资料群：955046678 第 12 页 共 115 页 【解析【解析
28、】 ： 22 2430 xyxy配方得： 22 (1)(2)8xy，圆心1, 2 到直线的距离为2， 而半径为2 2，可知两条直线一条过圆心，一条与圆相切，即满足条件的点有 3 个。 2.(高考题)已知圆O: 22 5xy，直线l:cossin1xy( 0 2 )，设圆O上到直线l的距离等于 1 的点的个数为k，则k 。 【解析【解析】 ：4。 【高考母题高考母题】 ： 已知圆 22 4,xy直线: l yxb， 当b为何值时， 圆 22 4xy上恰有 3 个点到直线l的 距离都等于 1。 【解析【解析】 ：2b 。 【题型题型 4 4】 ：圆中弦中点性质圆中弦中点性质 秒杀秒杀策略策略 ：
29、弦中点与圆心连线与弦垂直 弦的中垂线过圆心。 1.(高考题)直线l与圆042 22 ayxyx3a 相交于两点,A B， 弦AB的中点为0,1， 则直线l 的方程为。 【解析【解析】 ：圆心为1,2，圆心与AB中点确定的直线与l垂直，即1k ，直线l的方程为1yx。 2.(高考题)设直线0132 yx和圆032 22 xyx相交于点,A B， 则弦AB的垂直平分线方程是 。 【解析【解析】 ：3230 xy。 【题型题型 5 5】 ：圆的切线圆的切线 秒杀秒杀策略策略 ：过圆上一点 00 ,xy的切线方程： 圆心在坐标原点: 2 00 .x xy yr； 圆心不在坐标原点的标准方程： 2 00
30、 ()()()()xa xayb ybr； 一般方程: 00 00 .0 22 xxyy x xy yDEF 。 获取更多资料获取更多资料 关注微信公众号：钻研数学QQ 资料群：955046678 第 13 页 共 115 页 圆 222 xyr，点P 00 (,)xy，则方程 2 00 .x xy yr表示的直线与圆的位置关系： 点在圆上,相切 点在圆外,相交 点在圆内,相离 ，利用圆心到直线的距离可判断。 几何意义： 若点),( 00 yxP在圆外，则 2 00 .x xy yr表示过P作圆的两条切线，两切点确定的直线方程 若点P 00 (,)xy在圆内，则 2 00 .x xy yr表示
31、过P作圆的割线(无数条)与圆有两交点，过两交点 作圆的切线，两切线交点在一条直线上。 过圆外一点引圆的切线(两条)： 方法：设斜率k，利用点斜式设出直线方程，然后利用圆心到直线的距离等于r可确定k，如果求出一条， 存在丢根问题，一定要补上斜率不存在的直线。 1.(高考题)已知过点 P(2,2)的直线与圆 22 5(1)xy相切，且与直线10axy 垂直，则a () A. 1 2 B.1C.2D. 1 2 【解析【解析】 ：选 C。 2.(高考题)已知点),(baM在圆 22 1:O xy外，则直线1byax与圆O的位置关系是() A.相切B.相交C.相离D.不确定 【解析【解析】 ：选 B。
32、3.(高考题)过点(3,1)作圆 22 (1)1xy的两条切线，切点分别为 A、B，则直线 AB 的方程为() A.230 xyB.230 xyC.430 xyD.430 xy 【解析【解析】 ：选 A。 4.(高考题)过原点O作圆 22 68200 xyxy的两条切线，设切点分别为,P Q，则线段PQ的长 为。 【解析【解析】 两切点确定的直线方程为： 00 00 68200 22 xxyy xxyy 求出圆心距为 1， 半径为5， 弦长为 4。 5.(2020 年新课标全国卷 I11)已知M： 22 2220 xyxy，直线l：220 xy，P为l上的动 点，过点P作M 的切线,PA PB
33、，切点为,A B，当| |PMAB最小时，直线AB的方程为 () A.210 xy B.210 xy C.210 xy D.210 xy 获取更多资料获取更多资料 关注微信公众号：钻研数学QQ 资料群：955046678 第 14 页 共 115 页 【解析【解析】 ：当lPM 时，取到最小值，求得01，P，选 D。 【高考母题高考母题】 ：若直线1axby与圆 22 1xy相交，则点( , )P a b与圆的位置关系是() A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.不能确定 【解析】【解析】选 B。 公切线：1.(2020 年新高考浙江卷 15)已知直线 (0)ykxb k 与圆 22 1xy和圆
34、22 (4)1xy均相切， 则k ，b=。 【解析【解析】 ： 3 32 , 3 3 bk。 【题型题型 6 6】 ：切线长、弦长：切线长、弦长 秒杀秒杀策略策略 ： 过圆外一点P 00 (,)xy作圆的切线，切点为T， 则 22222 000000 ()()PTxyDxEyFxxyyr； 弦长=2 2 (r 2 弦心距)。 1.(高考题)已知圆O的方程是 22 20 xy，圆O的方程是 22 8100 xyx，由动点P向圆O和 圆O所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是。 【解析【解析】 ：设( , )P x y，因为切线长相等，即 2222 2810 xyxyx，得 3 2 x 。 2.(
35、2013 年新课标全国卷 II)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2 2，在y轴上 截得线段长为2 3。 （1）求圆心P的轨迹方程；微信公众号：钻研数学 （2）若P点到直线yx的距离为 2 2 ，求圆P的方程。 【解析【解析】 ： （1） 2222 2,3ryrx，作差得：1 22 xy； （2）3) 1( 22 yx。 3.(2015 年新课标全国卷 II7)过三点3 , 1A,2 , 4B,7, 1C的圆交y轴于NM,两点，则MN= () A.26B.8C.46D.10 获取更多资料获取更多资料 关注微信公众号：钻研数学QQ 资料群：955046678 第 15 页 共
36、 115 页 【解析【解析】 ：得圆心为5,2, 1r，选 C。 4.(2016 年新课标全国卷 III16)已知直线033:mymxl与圆12 22 yx交于BA,两点，过 BA,分别作l的垂线与x轴交于DC,两点,若32AB,则CD=_. 【解析【解析】 ：代入弦长公式得 3 3 m，直线的倾斜角为30，4 30cos 32 CD。 5.(2018 年新课标全国卷 I)直线1 xy与圆032 22 yyx交于BA,两点，则AB。 【解析【解析】 ：22。 6.(高考题)在平面直角坐标系xOy中,直线3450 xy与圆 22 4xy相交于,A B两点，则弦AB的 长等于() A.3 3B.2
37、 3C.D. 【解析【解析】 ：选 B。 7.(高考题)直线32 xy被圆086 22 yxyx所截得的弦长等于。 【解析【解析】 ：54。 8.(高考题)在平面直角坐标系xOy中,直线230 xy被圆412 22 yx截得的弦长为。 【解析【解析】 ： 5 552 。 9.(高考题)已知直线02 yax与圆心为C的圆41 22 ayx相交于BA，两点,且ABC为 等边三角形,则实数a_. 【解析【解析】 ：154a。 10.(高考题)已知圆)0(02: 22 aayyxM截直线0 yx所得线段的长度是22,则圆M 与圆111: 22 yxN的位置关系是() A.内切B.相交C.外切D.相离
38、【解析【解析】 ：选 B。 11.(2020 年新高考天津卷 12)已知直线380 xy和圆 222( 0)xyrr相交于,A B两点若 | 6AB ，则r的值为。 【解析【解析】 ：5。 获取更多资料获取更多资料 关注微信公众号：钻研数学QQ 资料群：955046678 第 16 页 共 115 页 【题型题型 7 7】 ：最值问题：最值问题 秒杀秒杀策略策略 ： 定点与圆上点距离最值问题：点的确定：点与圆心连线与圆有两交点，靠近为最小值点，远离为最大值 点；最值确定：max:,min:,:drdr d定点与圆心距离。 1.(高考题)已知 22 24200,xyxy则 22 xy最小值为。
39、【解析【解析】 ：30 10 5。 2.(2020 年新高考北京卷 5)已知半径为 1 的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为 () A.4B.5C.6D.7 【解析【解析】 ：选 A。 线与圆距离最值问题：点的确定： 过圆心作线的垂线交圆于两点，靠近为最小值点，远离为最大值点； 平行移动直线与圆有两切点；最值确定：max:,min:,:drdr d圆心到直线距离。 1.(2018 年北京卷)在平面直角坐标系中，记d为点)sin,(cosP到直线 20 xmy 的距离，当m,变 化时，d的最大值为() A.1B.2C.3D.4 【解析【解析】 ：P 为单位圆上一点，而直线恒过点
40、A（2,0） ，几何意义是d的最大值为 OA+1=3。 2.(高考题)圆 22 44100 xyxy上的点到直线140 xy的最大距离与最小距离的差是 () A.36B.18C.6 2D.5 2 【解析【解析】 ：选 C。 3.(2018 年新课标全国卷 III)直线02 yx分别与x轴，y轴交于A,B两点，点P在圆 22 2 2 yx上,则ABP面积的取值范围是()微信公众号：钻研数学 A.26，B.48，C.23 2 ，D.2 23 2 ， 【解析【解析】 ：选 A。 4.(高考题)在平面直角坐标系xOy中， 以点0 , 1为圆心且与直线)(012Rmmymx相切的所有圆 中，半径最大的圆
41、的标准方程为。 获取更多资料获取更多资料 关注微信公众号：钻研数学QQ 资料群：955046678 第 17 页 共 115 页 【解析【解析】 ： 直线恒过定点1, 2 ， 当点0 , 1与1, 2 的距离为半径时半径最大，2 max r,21 2 2 yx。 5.(高考题)在平面直角坐标系中，,A B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线 240 xy相切，则圆C面积的最小值为() A. 4 5 B. 3 4 C.(62 5)D. 5 4 【解析【解析】 ：动圆恒过原点，当原点到直线距离为直径时面积最小，选 A。 构造斜率求最值：形如 0 0 yy z xx 最值的求法，可看
42、作是圆上的点( , )x y 00 (,)xy的斜率的范围。 1.(高考题)如果实数, x y满足: 22 (2)3,xy则 y x 的最大值为。 【解析【解析】 ：3。 构造截距求范围：形如:axby范围，可设,axbyz z可看作是直线平行移动的截距。 【高考母题高考母题】 ：若直线yxb与曲线 2 1xy恰有一个公共点，求实数b的取值范围。 【解析【解析】 ：11b 或2b 。 切线长最值：圆心到动点距离最小或最大时切线长最小或最大。 1.(高考题)由直线1yx上的一点向圆 22 (3)1xy引切线，则切线长的最小值为() A.1B.2 2C.7D.3 【解析【解析】 ：选 C。 弦长最
43、值：转化为弦心距最值。 1.(高考题)已知圆的方程为086 22 yxyx， 设该圆过点3,5的最长弦和最短弦分别为AC和BD, 则四边形ABCD的面积为() A.10 6B.20 6C.30 6D.40 6 【解析【解析】 ：最长弦为过圆心的弦即直径，最短弦与最长弦垂直，而 1 2 ABCD SAC BD，选 B。 2.(高考题)过点) 1 , 1 (P的直线，将圆形区域4),( 22 yxyx分两部分，使得这两部分的面积之差最大， 则该直线的方程为()微信公众号：钻研数学 A.02 yxB.01yC.0 yxD.043 yx 【解析【解析】 ：选 A。 获取更多资料获取更多资料 关注微信公
44、众号：钻研数学QQ 资料群：955046678 第 18 页 共 115 页 3.(高考题)过点1 , 3作圆 22 (2)(2)4xy的弦，其中最短的弦长为。 【解析【解析】 ：22。 4.(高考题)设mR，过定点 A 的动直线0 xmy和过定点 B 的动直线30mxym交于( , )P x y, 则| |PAPB的最大值是。 【解析【解析】 ：可知 P 的轨迹是以0 , 0A，3 , 1B为直径的圆，当 PA=PB 时最大为 5。 5.(2020 年新课标全国卷 I6)已知圆 22 60 xyx，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小 值为() A.1B.2C.3D.4 【解析【
45、解析】 ：选 B。 【高考母题高考母题】 ：已知圆 22 :(1)(2)25,Cxy直线l:(21)(1)740mxmym。 （1）求证：直线l恒过定点。 （2）判断直线l被圆C截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时m的值以及最短长度。 【解析【解析】 ： （1）恒过定点(3,1)； （2） 3 4 m ；4 5。 【题型题型 8 8】 ：对称问题对称问题 秒杀秒杀策略策略 ： 自身对称：圆自身关于圆心成中心对称； 圆关于任意一条直径成轴对称。 1.(高考题)已知圆:C 22 230 xyxay(a为实数)上任意一点关于直线:20l xy的对称点 都在圆C上，则a 。 【解析【解析】
46、 ：-2。 2.(高考题)已知直线Raayxl01:是圆:C 22 4210 xyxy 的对称轴，过点aA, 4作 圆C的一条切线，切点为B，则AB=() A.2B.4 2C.6D.2 10 【解析【解析】 ：选 C。 获取更多资料获取更多资料 关注微信公众号：钻研数学QQ 资料群：955046678 第 19 页 共 115 页 圆关于点(或线)的对称，只对称圆心即可，转化为点关于点(或点关于线)对称。 1.(高考题)已知圆 1 C: 2 (1)x 2 (1)y =1，圆 2 C与圆 1 C关于直线10 xy 对称，则圆 2 C的方程为 A. 2 (2)x+ 2 (2)y =1B. 2 (2
47、)x+ 2 (2)y =1 C. 2 (2)x+ 2 (2)y =1D. 2 (2)x+ 2 (2)y =1 【解析【解析】 ：只对称圆心，圆 1 C的圆心为1,1，关于10 xy 对称的点的坐标为2, 2，选 B。 2.(高考题)圆 22 (2)5xy关于原点0,0对称的圆的方程为() A. 22 (2)5xyB. 22 (2)5xyC. 22 (2)(2)5xyD. 22 (2)5xy 【解析【解析】 ：选 A。 3.(高考题)已知圆 22 1: 231Cxy，圆 22 2: 349Cxy，,M N分别是圆 12 ,C C上的 动点，P为x轴上的动点，则PMPN的最小值为() A.5 24
48、B.171C.62 2D.17 【解析【解析】 ：其中一个圆关于x轴对称，两圆心连线与x轴的交点为所求点，连线距离减去两圆半径之和为最 小值，选 A。 4.(高考题)一条光线从点3, 2 射出，经y轴反射后与圆123 22 yx相切，则反射光线所在直 线的斜率为() A. 3 5 或 5 3 B. 2 3 或 3 2 C. 4 5 或 5 4 D. 3 4 或 4 3 【解析【解析】 ：选 D。 获取更多资料获取更多资料 关注微信公众号：钻研数学QQ 资料群：955046678 第 20 页 共 115 页 第 3 讲秒杀解析几何题型之圆锥曲线方程 秒杀秒杀策略策略 ： 椭圆：椭圆： 22 2
49、2 1(0) xy ab ab 表示焦点在表示焦点在 x x 轴的椭圆标准方程轴的椭圆标准方程； 22 22 1(0) yx ab ab 表表 示焦点在示焦点在 y y 轴轴的的椭圆标准方程。椭圆标准方程。 判断焦点所在轴判断焦点所在轴秒杀方法：分母大的为焦点所在轴。秒杀方法：分母大的为焦点所在轴。 几何性质：几何性质： 关关于于 x x 轴、轴、y y 轴成轴对称图形轴成轴对称图形，关于原点成中心对称图形关于原点成中心对称图形。 222 abc，下图中对应的特征直角三角形下图中对应的特征直角三角形 22OF B。 应用：作图法找椭圆的焦点：应用：作图法找椭圆的焦点：以短轴的两个端点为圆心以短
50、轴的两个端点为圆心 ， 以半长轴为半径作圆以半长轴为半径作圆 ， 与长轴的两个交点为椭圆与长轴的两个交点为椭圆 的焦点。的焦点。 双曲线：双曲线： 22 22 1(0,0) xy ab ab 表示焦点在表示焦点在 x x 轴上双曲线的标准方程轴上双曲线的标准方程； 22 22 1(0,0) yx ab ab 表示表示 焦点在焦点在 y y 轴轴的的双曲线标准方程双曲线标准方程。 判断焦点所在轴判断焦点所在轴秒杀方法：系数为正的为焦点所在轴。秒杀方法：系数为正的为焦点所在轴。 几何性质：几何性质： 关于关于 x x 轴、轴、y y 轴成轴对称图形轴成轴对称图形，关于原点成中心对称图形关于原点成中
