1、本资料由木鸟飞原创分享至千人教师 QQ 群 323031380期待你的加入与分享 一题打一题打天天下之椭圆下之椭圆（39 问问） 题干：已知题干：已知如图，长为如图，长为2 3，宽为，宽为 1 2 的矩形的矩形 ABCDABCD，以，以 A A、B B 为焦点的椭圆为焦点的椭圆 M M： 22 22 1 xy ab 恰好过恰好过 CDCD 两点两点 设圆设圆16)3( 22 yx的圆心为的圆心为 S S，直线，直线l过点过点,0)3(T，且与，且与x轴轴 不重合，直线不重合，直线l交圆交圆S于于CD两点，过点两点，过点T作作SC的平行线交的平行线交SD于于M, , 判断点判断点M的轨迹是否椭圆
2、的轨迹是否椭圆 考点考点 1：求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程 （1 1）在两个条件中任选一个条件，求椭圆 M 的标准方程（涉及定义法（涉及定义法， 点和焦点求椭圆点和焦点求椭圆答案答案1 4 2 2 y x ） （2 2）过点(2, 3)且与椭圆 M 有相同的离心率的椭圆的标准方程（涉及离心率与涉及离心率与 点求轨迹）点求轨迹） 考点考点 2：点与椭圆的位置关系点与椭圆的位置关系 （1）若点(1,)Pm在椭圆 M 的内部，求 m 的取值范围 （2）若点 P 是椭圆 M 在第一象限内上的点， 12 ,F F分别是椭圆 M 的左右焦点， 若 12 5 4 PF PF ，求点 P 的坐标； （3）
3、若 P 为椭圆 M 上的点， 12 ,F F分别是椭圆 M 的左右焦点，若 12 60FPF， 求 12 FPF的周长与面积 （4）记 12 ,A A分别是椭圆 M 左、右顶点，若 P 是椭圆 M 上的动点，判断 12 A PA P kk 是否为定值，并说明理由。 （5）若点 00 (,)P xy为椭圆 M 上异于顶点的动点，求证：直线 00 1 41 x xy y 与椭圆 只有一个公共点，并写出以 3 (1,) 2 为切点的椭圆的切线方程 （6）不与坐标轴平行的直线l与椭圆相切点 P，求直线 OP 与直线l的斜率之积 考点考点 3：直线被椭圆截得的弦长直线被椭圆截得的弦长 本资料由木鸟飞原创
4、分享至千人教师 QQ 群 323031380期待你的加入与分享 （1）求直线1yx被椭圆 M 截得的弦长， （2）若直线yxm被椭圆 M 截得的弦长等于短轴长，求m的值 （3）若一直线被椭圆 M 截得的弦恰以点 1 (1, ) 2 为中点，求该直线的直线方程 （4）求直线1yx被椭圆 M 截得的弦的中点坐标（多种方法）， （5）一直线与椭圆 M 交于 PQ 两点，若 PQ 的中点为 M,求证： PQOM kk为定值 考点考点 4：椭圆中的最值问题椭圆中的最值问题 （1）若点 P 是椭圆 M 上的点， 12 ,F F分别是椭圆 M 的左右焦点，求 1 PF的最值 （2）若点 P 是椭圆 M 上的
5、点， 12 ,F F分别是椭圆 M 的左右焦点，求 2 OP PF 的 最值 （3）若点P为椭圆上的动点，求点 P 到直线40 xy距离的最小值，并求此 时的 P 点的坐标 （4）若( , )P x y是椭圆上的动点，求xy的最值 （5）若( , )P x y是椭圆上的动点，求 2y x 的最值 考点考点 5：与椭圆有关的轨迹方程与椭圆有关的轨迹方程 （1）若点 P 是椭圆 M 上的点， 12 ,F F分别是椭圆 M 的左右焦点，延长 1 FP到 Q 使得 2 PQPF，求动点 Q 的轨迹方程 （2）若 O 为坐标原点，P 为椭圆 M 上的任一点，点 S 满足2OSOP ，当点 P 在 椭圆
6、M 上运动时，求 S 点的轨迹方程 （3）P 为椭圆 M 上的任一点，PHx轴于 H 点，点 Q 满足PQPH ，当 P 在 椭圆上运动时，点 Q 的轨迹恰好为圆时，求的值 考点考点 6：设而不求法处理直线与椭圆的静态，动中有静，动态问题设而不求法处理直线与椭圆的静态，动中有静，动态问题 （1）若直线2ykx与椭圆 M 相交于 P、Q 两点，则是否存在 k,使得以 PQ 为直 径的圆恰好经过原点，若存在请求出 k 的值，若不存在请说明理由 （2）若一条直线 l 与椭圆 M 交于 PQ 两点，若以 PQ 为直径的圆过点 2 A（2，0）， 求证：直线 l 恒过定点，并求出该定点的坐标。（涉及斜率
7、之积与定点）（涉及斜率之积与定点） 本资料由木鸟飞原创分享至千人教师 QQ 群 323031380期待你的加入与分享 （3）设直线l不经过 T(0,1)且与椭圆相交于 P、Q 两点，若直线 TP 与 TQ 直线 的斜率的和为1，证明：直线l过定点 （涉及斜率之和与定点）（涉及斜率之和与定点） （4）过左焦点 1 F的直线l交椭圆于 P、Q 两点，交y轴的正半轴于点 M设 1 MPPF ， 2 MQQF ，求证：1+2为定值（涉及定值）（涉及定值） （5）过点 T（0，1）作两条互相垂直的直线分别交椭圆于 P，Q 两点求证： 直线 PQ 恒过定点 3 (0,) 5 （涉及定点）（涉及定点） （6
8、）若直线l：2ykx与椭圆相交于 P、Q 两点，求 POQ S的最值（涉及面积涉及面积） （7） 已知 M 是直线1x 上的动点且直线 l 与椭圆相交于 PQ 两点恰以 M 为中点， 过 M 点作直线 l 的垂线,求证垂线恒过定点（涉及定点）（涉及定点） （8）过原点且斜率不为 0 的直线 l 与椭圆的交于 PQ 两点，S 是椭圆的右顶点， 直线 SP,SQ 分别与 y 轴交于点 M,N， 问以 MN 为直径的圆是否恒过 x 轴上的定点？ 若恒过 x 轴上的定点，请求出该定点的坐标，若不恒过 x 轴上的定点，请说明理 由（涉及定点）（涉及定点） （9） 椭圆的右顶点为 P， 上顶点为 Q 已知
9、四边形 PQMN 内接于椭圆， PQMN 记 直线 PM， QN 的斜率分别为 k1， k2， 试问 k1k2是否为定值？证明你的结论 （涉涉 及定值与斜率之积）及定值与斜率之积） （10）直线 l：y=kx+m（k，mR）与椭圆交于 P，Q 两点，且 1 4 OPOQ kk 求证： OPQ 的面积为定值（涉及定值）（涉及定值） （11）若直线l：2ykx与椭圆相交于 P、Q 两点，若原点在以 PQ 为直径的圆 的内部，求 k 的取值范围 （12）若圆 O：x2+y2=1 的切线 l 与椭圆相交于 P、Q 两点，线段 PQ 的中点为 T， 求|OT|的最大值 （13）记 12 ,B B分别是椭
10、圆 M 与 y 轴相交的下上顶点，若一直线 l 交椭圆 M 于 PQ 两点，问是否存在直线 l 使得 B 为 2 PQB的垂心。若存在请求出直线 l 的方程， 若不存在请说明理由 （14）过椭圆的下顶点且互相垂直的两直线 l1，l2与直线 y=x 分别相交于 E，F 两点，已知 OE=OF，求直线 l1的斜率 本资料由木鸟飞原创分享至千人教师 QQ 群 323031380期待你的加入与分享 （15）过左焦点 1 F且互相垂直的两条直线分别交椭圆于 P、Q、M、N 四点，若 四边形 PMQN 的面积为 4 3 ，求直线 PQ 的方程； （16）若AB是椭圆M的左右顶点，过点)0 , 1 (的动直
11、线l交椭圆M与CD两点， 试探究直线AC与BD的交点是否在一定直线上，若在，请求出该直线方程，若 不在，请说明理由（涉及非对称问题涉及非对称问题 答案答案 直线直线4x） （17）过椭圆过椭圆 M 右焦点右焦点 F 作与坐标轴都不垂直的直线作与坐标轴都不垂直的直线l交椭圆交椭圆PQ两点两点，在在x轴轴 上是否存在点上是否存在点 S，使得，使得 SF 恰为恰为PSQ的平分线？的平分线？（涉及找一点促定值和角平（涉及找一点促定值和角平 分线问题）分线问题） （18）过椭圆过椭圆 M 右焦点右焦点 F 作与坐标轴都不垂直的直线作与坐标轴都不垂直的直线l交椭圆交椭圆PQ两点两点，在在x轴轴 上是否存在点上是否存在点 S，使得，使得SQSP为定值为定值（涉及找一点促定值）（涉及找一点促定值）
