（2021新教材）人教A版《高中数学》必修第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式讲义（学生版+教师版）.zip

二次函数与一元二次方程、不等式二次函数与一元二次方程、不等式 要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式.如：. 2 50 xx 一元二次不等式的一般形式：或. 2 0axbxc(0)a 2 0axbxc(0)a 设一元二次方程的两根为且，则不等式的解集 2 0(0)axbxca 12 xx、 12 xx 2 0axbxc 为，不等式的解集为 21 xxxxx或 2 0axbxc 21 xxxx 要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解 2 0(0)axbxca 12 xx、 12 xxacb4 2 按照 ， 可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴000 2 yaxbxc(0)a x 的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或 2 0axbxc(0)a 的解集. 2 0axbxc(0)a 2 4bac 000 二次函数 （ cbxaxy 2 ）的图象0a 2 0 (0) axbxc a 的根 有两相异实根 )(, 2121 xxxx 有两相等实根 a b xx 2 21 无实根 的解集)0( 0 2 a cbxax 21 xxxxx或 a b xx 2 R 的解集)0( 0 2 a cbxax 21 xxxx 要点诠释：要点诠释： （1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛 2 0(0)axbxca 12 xx、 物线与轴的交点的横坐标；ycbxax 2 x 要点三、解一元二次不等式的步骤要点三、解一元二次不等式的步骤 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程，计算判别式： 2 0axbxc(0)a 时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法） ；0 12 xx、 12 xx 时，求根；0 a b xx 2 21 时，方程无解 0 （3）根据不等式，写出解集. 【典型例题典型例题】 类型一：类型一：一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法 例例 1. 解下列一元二次不等式 （1）； （2）； （3） 2 50 xx 2 440 xx 2 450 xx 举一反三：举一反三： 【变式 1】解不等式： 2 666xx 类型二：含字母系数的一元二次不等式的解法类型二：含字母系数的一元二次不等式的解法 例例2已知2a+15a或x-a B.x|-ax5a C. x|x-a D.x|5ax0 例例3解关于x的不等式：ax2(a+1)x+10. 举一反三：举一反三： 【变式1】解关于x的不等式：(ax-1)(x-2)0； 【变式2】解关于x的不等式：ax22x-10； 类型三：一元二次不等式的逆向运用类型三：一元二次不等式的逆向运用 例例 4. 不等式的解集为，求关于的不等式的解集. 2 0 xmxn(4,5)xx 2 10nxmx 举一反三：举一反三： 【变式 1】设关于 x 的不等式(ax-1)(x+1)0(aR)的解集为x|-1x0 对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围. 举一反三：举一反三： 【变式 1】 若关于的不等式的解集为空集，求的取值范围.x 2 (21)10mxmxm m 【变式 2】已知不等式 ax24xa12x2对一切实数 x 恒成立， 求实数 a 的取值范围 【巩固练习巩固练习】 1. 解关于 x 的不等式 m2x22mx30(其中 mR) 2已知， 2 ( )2(2)4f xxax (1)如果对一切 xR，f(x)0 恒成立，求实数 a 的取值范围； (2)如果对 x-3，1，f(x)0 恒成立，求实数 a 的取值范围. 3. 已知 a 为实数，A 为不等式 x2(2a1)x(a2)(a1)0 的解集，B 为不等式 x2a(a1)xa30 的解集 (1)用区间表示 A 和 B； (2)是否存在实数 a，使 ABR？并证明你的结论 二次函数与一元二次方程、不等式二次函数与一元二次方程、不等式 要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式.如：. 2 50 xx 一元二次不等式的一般形式：或. 2 0axbxc(0)a 2 0axbxc(0)a 设一元二次方程的两根为且，则不等式的解集 2 0(0)axbxca 12 xx、 12 xx 2 0axbxc 为，不等式的解集为 21 xxxxx或 2 0axbxc 21 xxxx 要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解 2 0(0)axbxca 12 xx、 12 xxacb4 2 按照 ， 可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴000 2 yaxbxc(0)a x 的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或 2 0axbxc(0)a 的解集. 2 0axbxc(0)a 2 4bac 000 二次函数 （ cbxaxy 2 ）的图象0a 2 0 (0) axbxc a 的根 有两相异实根 )(, 2121 xxxx 有两相等实根 a b xx 2 21 无实根 的解集)0( 0 2 a cbxax 21 xxxxx或 a b xx 2 R 的解集)0( 0 2 a cbxax 21 xxxx 要点诠释：要点诠释： （1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛 2 0(0)axbxca 12 xx、 物线与轴的交点的横坐标；ycbxax 2 x 要点三、解一元二次不等式的步骤要点三、解一元二次不等式的步骤 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程，计算判别式： 2 0axbxc(0)a 时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法） ；0 12 xx、 12 xx 时，求根；0 a b xx 2 21 时，方程无解 0 （3）根据不等式，写出解集. 【典型例题典型例题】 类型一：类型一：一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法 例例 1. 解下列一元二次不等式 （1）； （2）； （3） 2 50 xx 2 440 xx 2 450 xx 【解析】 （1）不等式的解集是. 2 50 xx |05xx （2）原不等式的解集是 |2x x （3）原不等式整理得. 2 450 xx 因为，方程无实数解，0 2 450 xx 所以原不等式的解集是. 举一反三：举一反三： 【变式 1】解不等式： 2 666xx 【答案】原不等式可化为不等式组 ，即，即， 2 2 66 66 xx xx 2 2 120 0 xx xx (4)(3)0 (1)0 xx x x 解得 34 10 x xx 或 原不等式的解集为. | 3014xxx 或 类型二：含字母系数的一元二次不等式的解法类型二：含字母系数的一元二次不等式的解法 例例2已知2a+15a或x-a B.x|-ax5a C. x|x-a D.x|5ax0; 22 450 xaxa 方程(x-5a)(x+a)的两根为： 12 5 ,xa xa 且2a+10，a-， 5a-a 1 2 原不等式的解集为x|x-a。 【变式 1】求不等式 12x2axa2(aR)的解集 【答案】当 a0 时，不等式的解集为； |- 43 aa x xx或 当 a0 时，不等式的解集为x|xR 且 x0； 当 a0 时，不等式的解集为. |- 34 aa x xx或 【变式 2】已知集合 A=xx22ax8a20。 （1）当 a=1 时，求集合； RA （2）若 a0，且，求实数 a 的取值范围。( 1,1)A 【答案】 （1）当 a=1 时，x22ax8a20 化为 x22x80， 解得：2x4 ； A=x2x4。 ； |14 RA x xx 或 （2）由 x22ax8a20，且 a0，得2ax4a。 A=x2ax4a。 由，得：，解得。( 1,1)A 21 41 a a 1 2 a 实数 a 的取值范围是。 1 2 a 【变式 3】解关于 x 的不等式：ax2-x+10 【解析】若 a=0，原不等式化为-x+10，解集为x|x1； 若 a0，原不等式为关于 x 的一元二次不等式. 方程的判别式=1-4a01 2 xax ()当=1-4a0，即时，方程有两个不等实数根 4 1 a01 2 xax ， a a x 2 411 1 a a x 2 411 2 当时，函数的图象开口向上， 4 1 0 a1)( 2 xaxxf 与 x 轴有两个不同的交点，且，其简图如下： 21 xx 所以，此时不等式的解集为；01 2 xax , 2 411 2 411 , a a a a 当 a0 时，函数的图象开口向下，1)( 2 xaxxf 与 x 轴有两个不同的交点，且，其简图如下： 21 xx 所以，此时不等式的解集为；01 2 xax a a a a 2 411 , 2 411 综上所述：综上所述： a0时，若， 即时，；2 1 0 a a， 2 1 0 a), 1 2 ,( a x 若， 即时，xR； 2 1 0，aa 2 1 a 若， 即时，.2 1 0 a a， 2 1 a), 2 1 ,( a x 当a0时，则有：， .2 1 a 2 1 ， a x 【变式2】解关于x的不等式：ax22x-10时，则0，.) 11 , 11 ( a a a a x a0时，若a0，0， 即a-1时，xR； 若a0，=0， 即a=-1时，xR且x1； 若a0， 即 -1a0时， .), 11 () 11 ,( a a a a x 类型三：一元二次不等式的逆向运用类型三：一元二次不等式的逆向运用 例例 4. 不等式的解集为，求关于的不等式的解集. 2 0 xmxn(4,5)xx 2 10nxmx 【解析】由题意可知方程的两根为和 2 0 xmxn4x 5x 由韦达定理有，45m 4 5n ，9m 20n 化为，即 2 10nxmx 2 20910 xx 2 20910 xx ，解得，(41)(51)0 xx 11 45 x 故不等式的解集为. 2 10nxmx 11 (,) 45 举一反三：举一反三： 【变式 1】设关于 x 的不等式(ax-1)(x+1)0(aR)的解集为x|-1x1,则 a 的值是（ ） A.-2 B.-1 C.0 D.1 【答案】关于 x 的不等式(ax-1)(x+1)0(aR)的解集为x|-1x0 对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围. 【解析】 (1)当 m2+4m-5=0 时，m=1 或 m=-5 若 m=1，则不等式化为 30, 对一切实数 x 成立，符合题意. 若 m=-5，则不等式为 24x+30，不满足对一切实数 x 均成立，所以 m=-5 舍去. (2)当 m2+4m-50 即 m1 且 m-5 时， 由此一元二次不等式的解集为 R 知，抛物线 y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3 开口向上，且与 x 轴无交点， 所以， 0)5m4m(12) 1m(16 05m4m 22 2 即， 1m19. 19m1 5m1m或 综上所述，实数 m 的取值范围是m|1m0 恒成立，求实数 a 的取值范围； (2)如果对 x-3，1，f(x)0 恒成立，求实数 a 的取值范围. 2 【解析】 (1)由题意得：=，即 0a0 得，有如下两种情况： 或 2 3,1 ( 3)0 (1)0 a f f 2 3,1 (2)0 a fa 综上所述：. 1 ,4 2 a 3. 已知 a 为实数，A 为不等式 x2(2a1)x(a2)(a1)0 的解集，B 为不等式 x2a(a1)xa30 的解集 (1)用区间表示 A 和 B； (2)是否存在实数 a，使 ABR？并证明你的结论 3. 【解析】不等式 x2(2a1)x(a2)(a1)0 可以转化为x(a2)x(a1)0，不等式 x2a(a1)xa30 可以转化为(xa)(xa2)0. (1)因为对任意实数 a 都有 a1a2， 所以 A(，a1a2，) 当 a2a，即 a1 或 a0 时，B(a，a2)； 当 a2a，即 0a1 时，B(a2，a) (2)要使 ABR，则 当 a1 或 a0 时，需，该不等式组无解； 2 1 2 aa aa 当 0a1 时，需，该不等式组无解 2 1 2 aa aa 所以不存在实数 a，使得 ABR.