1、10.1.4概率的基本性质概率的基本性质 讲课人：邢启强 2 一般而言，给出了一个数学对象的定义，就可以从定 义出发研究这个数学对象的性质，例如，在给出指数 函数的定义后，我们从定义出发研究了指数函数的定 义域、值域、单调性、特殊点的函数值等性质，这些 性质在解决问题时可以发挥很大的作用，类似地，在 给出了概率的定义后，我们来研究概率的基本性质. 新课引入新课引入 我们从定义出发研究概率的性质， (1)概率的取值范围； (2)特殊事件的概率； (3)事件有某些特殊关系时，它们的概率之 间的关系；等等。 讲课人：邢启强 3 1.概率概率P(A)的取值范围的取值范围 学习新知学习新知 由概率的定义
2、可知：任何事件的概率都是非负 的；在每次试验中，必然事件一定发生，不可 能事件一定不会发生， 一般地，概率有如下性质： 性质1对任意的事件A,都有P(A)0.性 质2必然事件的概率为1, 不可能事件的概率为0, 即P()=1,P()=0. 讲课人：邢启强 4 2. 概率的加法公式概率的加法公式 ( 互斥事件时有一个发生的概率互斥事件时有一个发生的概率) 性质性质3.如果事件如果事件A与事件与事件B互斥互斥, 那么那么 P(AB)=P(A)+P(B) 1 2 在在掷掷骰骰子子实实验验中中，事事件件，A A出出现现点点；B B出出现现 点点； C C出出现现的的点点数数小小于于3 3 ； P(C)
3、=p(AB)=p(A)+p(B)=1/6+1/6=1/3 C=ABA B 因为事件A与事件B互斥，即A与B不含有相同的样本点，所以 n(AU B)=n(A)+n(B),这等价于P(AUB)=P(A)+P(B),即两个互斥事件 的和事件的概率等于这两个事件概率之和，所以我们有互斥事件 的概率加法公式： 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 5 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 6 3) 对立事件有一个发生的概率对立事件有一个发生的概率 性质性质4,如果事件如果事件A与事件与事件B互为对立事件互为对立事件, 那么那么 P(B)=1- P(A), P(A)=1- P(B) G G出出现现的的点点数数为为
4、偶偶数数 ； H H出出现现的的点点数数为为奇奇数数 ； 如如在在掷掷骰骰子子实实验验中中，事事件件. . AB 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 7 例例1.某射手在一次射击训练中，射中某射手在一次射击训练中，射中 10环、环、9环、环、8环、环、7环的概率分别为环的概率分别为 0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射，计算这个射手在一次射 击中：击中： (1)射中射中10环或环或7环的概率；环的概率； (2)不够不够7环的概率环的概率 解析(1)设“射中10环”为事件A，“射中7环” 为事件B，由于在一次射击中，A与B不可能同时发生， 故A与B是互斥事件“射中10环或7
5、环”的事件为 AB. 故P(AB)P(A)P(B)0.210.280.49. 射中10环或7环的概率为0.49. 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 8 讲课人：邢启强 9 学习新知学习新知 一般地，对于事件A与事件B,如果AB,即事件A 发生，则事件B一定发生，那么事件A的概率不 超过事件B的概率。于是我们有概率的单调性： 性质5如果AB,那么P(A)P(B) 由性质5可得,对于任意事件A,因为 A 所以 0 P(A) 1. 在古典概型中，对于事件A与事件B,如果 AB,那么n(A)n(B).于是 ( )( ) ( )( ) n An B nn 即P(A) P(B) 讲课人：邢启强 10 学习
6、新知学习新知 一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色 球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回 地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红 球”,R2=“第二次摸到红球”,R=“两次都摸到红球”, “两个球中有红球”=R1R2,那么P(R1R2)和P(R1)+P(R2)相等吗？ 如果不相等，请你说明原因，并思考如何计算P(R1R2). 因为n()=12,n(R1)=n(R2)=6,n(R1R2)=10,所以 P(R1)=P(R2)=6/12,P(R1UR2)=10/12.因此P(R1R2)P(R1)+P(R2). 这是因为R1R2=(1,2),(2,1),
7、即事件R1, R2不是互斥的,容易 得到P(R1R2)=P(R1)+P(R2)P(R1R2). 一般地，我们有如下的性质： 性质6 设A,B是一个随机试验中的两个事件，我们 有P(AUB)=P(A)+P(B)P(AB) 讲课人：邢启强 11 知识总结知识总结 由性质5可得,对于任意事件A,因为 A 所以 0 P(A) 1. 讲课人：邢启强 12 知识总结知识总结 (1)对于P(AB)=P(A)+P(B)应用的前提是A,B互 斥,并且该公式可以推广到多个事件的情况.如 果事件A1,A2,Am两两互斥,那么事件 A1A2Am发生的概率等于这m个事件分 别发生的概率之和,即 P(A1A2Am)=P(
8、A1)+P(A2)+P(Am). 该公式我们常称为互斥事件的概率加法公式. (2)若A与B互为对立,则有P(A)+P(B)=1; 若P(A)+P(B)1,并不能得出A与B互为对立. (3)对于概率加法的一般公式 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB), 当AB=时,就是性质3. 讲课人：邢启强 13 例2.从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张， 设事件A=“抽到红心”，事件B=“抽到方片”， P(A)=P(B)=0.25.那么 (1)C=“抽到红花色”，求P(C); (2)D=“抽到黑花色”，求P(D). 典型例题典型例题 解：(1)因为C=AB,且A与B不会同时发生，所 以A与B
9、是互斥事件.根据互斥事件的概率加法 公式，得P(C)=P(A)+P(B)=0.25+0.25=0.5 (2)因为C与D互斥，又因为CD是必然事件， 所以C与D互为对立事件.因此 P(D)=1P(C)=10.5=0.5. 讲课人：邢启强 14 例3.为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖 促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能 够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率 为多少？ 典型例题典型例题 分析：“中奖”包括第一罐中奖但第二罐不中奖、第一罐不中 奖但第二罐中奖、两罐都中奖三种情况。如果设A=“中奖”， A1=“第一罐中奖”，A2=“第二罐中奖”，那么就可以通过事
10、件 的运算构建相应事件，并利用概率的性质解决问题. 解：设事件A=“中奖”，事件A1=“第一罐中奖”，事件A2=“第二 罐中奖”，那么事件A1A2=“两罐都中奖”，A1 2=“第一罐中奖， 第二罐不中奖”， 1A2=“第一罐不中奖，第二罐中奖”，且 A=A1A2A1 2 1A2.因为A1A2,A1 2,A1 2两两互斥，所以根据 互斥事件的概率加法公式，可得P(A)=P(A1A2)+P(A1 2)+P( 1A2). A A AAAA AA 讲课人：邢启强 15 我们借助树状图来求相应事件的样本点数. 可以得到，样本空间包含的样本点个数为n()=65=30,且每 个样本点都是等可能的. 因为n(
11、A1A2)=2,n(A1 2)=8,n( 1A2)=8,所以AA 288183 ( ) 303030305 P A 讲课人：邢启强 16 法2:注意到事件A的对立事件是“不中奖”，即“两罐 都不中奖”，由于 =“两罐都不中奖”，而 n( )=43=12,所以 12 A A 12 A A 12 122 () 305 P A A 12 23 , ( )1()1 55 P AP A A 因此 讲课人：邢启强 17 2. 1 1 甲、乙两人下棋，和棋的概率为 ，乙胜的概率 2 1 为 ，求 ( ）甲胜的概率；(2)甲不输的概率。 3 巩固练习巩固练习 1.事件A与B是对立事件，且P(A)0.6， 则P
12、(B)等于() A0.4 B0.5 C0.6 D1 A 讲课人：邢启强 18 1.抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出 现现1点、点、2点、点、3点、点、4点、点、5点、点、6点的概率点的概率 都是都是1/6，记事件，记事件A为为“出现奇数出现奇数”，事件，事件B 为为“向上的点数不超过向上的点数不超过3”，求，求P(AB) 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 19 2.掷一枚均匀的正六面体骰子,设A=“出现3点”,B=“出 现偶数点”,则P(AB)等于多少? 3.甲、乙两人各射击一次,命中率分别为0.8和0.5,两人 同时命中的概率为0.4,则甲、乙两人至少
13、有一人命中 的概率为多少? 巩固练习巩固练习 2 3 0.9 4.判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打 “”,错误的打“”. 互斥事件不一定是对立事件,但对立事件一定是互 斥事件. 在同一试验中的两个事件A与B,一定有 P(AB)=P(A)+P(B). 若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A,B是对立事件 讲课人：邢启强 20 5.甲、乙、丙、丁四人参加4100米接力赛, 他们跑每一棒的概率均为0.25.求甲跑第一棒 或乙跑第四棒的概率. 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 21 概概 率率 的的 基基 本本 性性 质质 事事 件件 的的 关关 系系 与与 运运 算算 包含关系包含
14、关系 概概 率率 的的 基基 本本 性性 质质 相等关系相等关系 并并(和和)事件事件 交交(积积)事件事件 互斥事件互斥事件 对立事件对立事件 必然事件的概率为必然事件的概率为1 不可能事件的概率为不可能事件的概率为0 概率的加法公式概率的加法公式 对立事件计算公式对立事件计算公式 0P(A) 1 小结小结 讲课人：邢启强 22 1.概率加法公式是对互斥事件而言的， 一般地，P(AB)P(A)P(B). 2.在求解复杂的事件的概率时,通常有两种方法, 一是将所求事件的概率转化成彼此互斥的概率 之和. 二是先求此事件的对立事件的概率,特别是在涉 及“至多”或“至少”问题时,常常用此思维模 式.再利用P(A)=1-P( )来得出原问题的解.这种 处理问题的方法称为逆向思维,有时能使问题的 解决事半功倍. A 小结小结
