1、3.3 幂函数幂函数 知识梳理知识梳理 1、幂函数的定义 一般地,形如 yx的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,为常数. 2、常见的 5 种幂函数的图象 函数特征性质 xy 2 xy 3 xy 2 1 xy 1 xy 定义域RRR ), 0 0,|xRxx且 值域R ), 0 R ), 0 0,|yRyy且 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇 3、幂函数的性质 (1)幂函数在(0,)上都有定义; (2)当0 时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,)上单调递增; (3)当f(x2) 【详解】 (1)因为 f(x)是幂函数,所以 m3m+1=1,解得 m0,1, 又 f(x)的图象与 x
2、轴和 y 轴都无交点, 经检验,只有当 m=1 时符合题意, 所以 m=1,此时 f(x)=x4; (2)f(x)=x4是偶函数且在(0,+)递减, 所以要使 f(x+1)f(x2)成立,只需|x+1|x2|,解得 x 1 2 , 又 f(x)的定义域为x|x0,所以不等式的解集为x|x 1 2 ,x0 题型四 定点问题 例 4 已知幂函数的图象过函数)()(10 2 1 mmmxf bx 且的图象所经过的定点,则 的值等于 () A.B.C.2D. 【答案】【答案】B 【详解】 由于为幂函数,则,解得:, 函数,且,当时,故的图像所经过的定点为, 所以,即,解得:, 故答案选 B 题型五 恒
3、成立问题 例 5 已知幂函数 2 23mm fxxmZ 为偶函数,且在区间0,内是单调递增函数 (1)求函数 fx的解析式; (2)设函数 2g xf xx,若 0g x 对任意 1,1x 恒成立,求实数的取值范围 【答案】【答案】(1) 4 f xx;(2)3, 【详解】 (1)幂函数 f(x) 2 23mm x (mZ)为偶函数,且在区间(0,+)上是单调增函数 m2+2m+30,且m2+2m+3 为偶数, 解得 m1, f(x)x4 (2)函数 g(x) f x2x+cx2+2x, g(x)0,化为x2+2x(x+1)2-1 g(x)0, 函数是单调增函数,m=2,f(x)=x3 又 a
4、+b0,f(a)f(-b)=-f(b) 则 f(a)+f(b)恒大于 0 故选:A 5、已知幂函数 f(x)=xa的图象过点则函数 g(x)=(x1)f(x)在区间上的最小值是_ 【答案】【答案】1 【详解】 由幂函数 f(x)=xa的图象过点(2, ), 可得 2= ,解得=1, 即有 f(x)= , 函数 g(x)=(x1)f(x)=1 在区间 ,2上单调递增, 则 g(x)的最小值为 g( )=12=1 故答案为:1 6、已知幂函数在上单调递增,函数 (1)求的值; (2)当时,记,的值域分别为集合,若,求实数 的取值范围 【答案】【答案】(1);(2). 【详解】 (1)依题意得:,解
5、得或 当时,在上单调递减,与题设矛盾,故舍去,; (2)由(1)知,当时,、单调递增, , 故实数 的范围 7、已知幂函数 f(x)x(2k 1)(3k)(kZ)是偶函数且在(0,)上为增函数 (1)求 f(x)的解析式; (2)求当 x1,1时,函数 g(x)f(x)mx 是单调函数,求 m 的取值范围 【答案】【答案】(1) 2 f xx;(2) , 22, 【详解】 (1)幂函数 f(x)x(2k 1)(3k)(kZ)在(0,)上为增函数, (2k1)(3k)0,解得 kf(3 a)的实数 a 的取值范围 【详解】 (1)由幂函数 fx的图象经过点22, 21 () 22 mm ,即 2 2mm , 解得1m 或2m , mN*,故1m ,故 ,0,)f xx x; (2) fx在0,)递增, 由(1)(3)fafa,得 10 30 13 a a aa ,解得19a, 故a的取值范围是(1,9