1、3.3 幂函数幂函数 知识梳理知识梳理 1、幂函数的定义 一般地，形如 yx的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，为常数. 2、常见的 5 种幂函数的图象 函数特征性质 xy 2 xy 3 xy 2 1 xy 1 xy 定义域RRR ), 0 0,|xRxx且 值域R ), 0 R ), 0 0,|yRyy且 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇 3、幂函数的性质 （1）幂函数在(0，)上都有定义； （2）当0 时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，)上单调递增； （3）当f（x2） 【详解】 （1）因为 f（x）是幂函数，所以 m3m+1=1，解得 m0，1， 又 f（x）的图象与 x
2、轴和 y 轴都无交点， 经检验，只有当 m=1 时符合题意， 所以 m=1，此时 f（x）=x4； （2）f（x）=x4是偶函数且在（0，+）递减， 所以要使 f（x+1）f（x2）成立，只需|x+1|x2|，解得 x 1 2 ， 又 f（x）的定义域为x|x0，所以不等式的解集为x|x 1 2 ，x0 题型四 定点问题 例 4 已知幂函数的图象过函数)()(10 2 1 mmmxf bx 且的图象所经过的定点，则 的值等于 （） A.B.C.2D. 【答案】【答案】B 【详解】 由于为幂函数，则，解得：， 函数，且，当时，故的图像所经过的定点为， 所以，即，解得：, 故答案选 B 题型五 恒
3、成立问题 例 5 已知幂函数 2 23mm fxxmZ 为偶函数，且在区间0,内是单调递增函数 （1）求函数 fx的解析式； （2）设函数 2g xf xx，若 0g x 对任意 1,1x 恒成立，求实数的取值范围 【答案】【答案】（1） 4 f xx；（2）3, 【详解】 （1）幂函数 f（x） 2 23mm x （mZ）为偶函数，且在区间（0，+）上是单调增函数 m2+2m+30，且m2+2m+3 为偶数， 解得 m1， f（x）x4 （2）函数 g（x） f x2x+cx2+2x， g（x）0，化为x2+2x（x+1）2-1 g（x）0， 函数是单调增函数，m=2，f（x）=x3 又 a
4、+b0，f（a）f（-b）=-f（b） 则 f（a）+f（b）恒大于 0 故选：A 5、已知幂函数 f（x）=xa的图象过点则函数 g（x）=（x1）f（x）在区间上的最小值是_ 【答案】【答案】1 【详解】 由幂函数 f（x）=xa的图象过点（2， ）， 可得 2= ，解得=1， 即有 f（x）= ， 函数 g（x）=（x1）f（x）=1 在区间 ，2上单调递增， 则 g（x）的最小值为 g（ ）=12=1 故答案为：1 6、已知幂函数在上单调递增，函数 （1）求的值； （2）当时，记，的值域分别为集合，若，求实数 的取值范围 【答案】【答案】（1）；（2）. 【详解】 （1）依题意得：，解
5、得或 当时，在上单调递减，与题设矛盾，故舍去，； （2）由（1）知，当时，、单调递增， ， 故实数 的范围 7、已知幂函数 f(x)x(2k 1)(3k)(kZ)是偶函数且在(0，)上为增函数 (1)求 f(x)的解析式； (2)求当 x1,1时，函数 g(x)f(x)mx 是单调函数，求 m 的取值范围 【答案】【答案】（1） 2 f xx；（2） , 22, 【详解】 (1)幂函数 f(x)x(2k 1)(3k)(kZ)在(0，)上为增函数， (2k1)(3k)0，解得 kf（3 a）的实数 a 的取值范围 【详解】 （1）由幂函数 fx的图象经过点22， 21 () 22 mm ，即 2 2mm ， 解得1m 或2m ， mN*，故1m ，故 ,0,)f xx x； （2） fx在0,)递增， 由(1)(3)fafa，得 10 30 13 a a aa ，解得19a， 故a的取值范围是(1,9
