1、5.1 任意角和弧度制任意角和弧度制 知识梳理知识梳理 1、角的概念的推广 （1）定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形 （2）分类： 按旋转方向不同分为正角、负角、零角. 按终边位置不同分为象限角和轴线角. （3）终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合,|ZkkS 360。 终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同 2、弧度制的定义和公式 （1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，弧度记作 rad. （2）正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 （3）公式： 角的弧度数公式|l
2、r(l 表示弧长) 角度与弧度的换算1 180 rad；1 rad )( 180 弧长公式l|r 扇形面积公式S1 2lr 1 2|r 2 3、有关角度与弧度的两个注意点 （1）角度与弧度的换算的关键是180，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用 （2）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度 知识典例知识典例 题型一 终边相同的角 例 1 下列各角中，与27角终边相同的是（） A63B153 C207D387 【答案】D 【分析】 写出与27终边相同角的集合，取 k 值得答案. 【详解】 与27角终边相同的角的集合为27360 ,kkZ ， 取1k ，可得387.
3、 与27角终边相同的是387. 故选：D 巩固练习巩固练习 下列各角中，与 2019终边相同的角为（） A41B129C219D231 【答案】C 【分析】 根据2019 5 360219 可得答案. 【详解】 因为2019 5 360219 ， 所以219与 2019终边相同. 故选：C. 题型二角度制与弧度制 例 2（多选）下列转化结果正确的是（ ） A67 30 化成弧度是 3 8 B 10 3 化成角度是 600 o C150 化成弧度是 7 6 D 12 化成角度是5 【答案】ABD 【分析】 根据弧度与角度的转化,化简即可判断选项. 【详解】 对于 A, 3 67 3067.5 1
4、808 ,正确; 对于 B, 1010180 600 33 ,正确; 对于 C, 5 150150 1806 ,错误; 对于 D, 180 15 1212 ,正确. 故选 ABD 巩固练习巩固练习 24 _弧度； 4 9 弧度=_. 【答案】 2 15 80 【分析】 根据角度制与弧度制的互化公式，即可求解. 【详解】 根据角度制与弧度制的互化公式 180 1,1 180 rad ， 可得 2 180 24 1 24 5 ， 44 18080 99 . 故答案为： 2 15 ，80. 题型三 角的表示 例 3 将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是（） A 3 B 3 C 6 D 6 【答案】
5、C 【解析】 分析：利用分针转一周为 60 分钟，转过的角度为2，得到 10 分针是一周的六分之一，进而可得答案 详解：分针转一周为 60 分钟，转过的角度为2 将分针拨慢是逆时针旋转 钟表拨慢分钟，则分针所转过的弧度数为 1 2. 126 故选 C 巩固练习巩固练习 将表的分针拨慢 10 分钟，则分针转过的角的弧度数是() A 3 B 6 C 3 D 6 【答案】A 【解析】 将表的分针拨慢 10 分钟，则分针逆时针转过 60，即分针转过的角的弧度数是 3 . 本题选择 A 选项. 题型四 象限角 例 4 给出下列四个命题： 3 4 是第二象限角； 4 3 是第三象限角；400是第四象限角；
6、315是第一象限角其中正确的命题有 （） A1 个B2 个C3 个D4 个 【答案】C 【分析】 利用象限角的定义逐一判断每一个选项的正误. 【详解】 是第三象限角， 故错误. ， 从而是第三象限角， 所以正确.40036040， 从而正确.315 36045，从而正确. 故答案为 C 巩固练习巩固练习 （多选）下列四个选项正确的有（） A75角是第四象限角 B225角是第三象限角 C475角是第二象限角 D315是第一象限角 【答案】ABCD 【分析】 直接找出各对应角的终边所在象限得答案. 【详解】 对于A如图 1 所示，75角是第四象限角； 对于B如图 2 所示，225角是第三象限角；
7、对于C如图 3 所示，475角是第二象限角； 对于D如图 4 所示，315角是第一象限角. 故选：ABCD. 题型五 轴线角 例 5 设终边在y轴的负半轴上的角的集合为M则（） A 3 |, 2 MkkZ B 3 |, 22 k MkZ C|, 2 MkkZ D|2, 2 MkkZ 【答案】D 【分析】 根据角的表示方法及终边在y轴的负半轴上,即可得解. 【详解】 根据角的表示方法可知,终边在y轴的负半轴上的角可以表示为2 2 k ,k Z, 故选:D 巩固练习巩固练习 集合|, 42 kkkZ 中角所表示的范围(阴影部分)是() ABCD 【答案】C 【解析】 分析：分k为偶数和k为奇数讨论
8、，即可得到答案. 详解：由集合, 42 kkkZ ， 当k为偶数时，集合, 42 kkkZ 与| 42 表示相同的角，位于第一象限； 当k为奇数时，集合, 42 kkkZ 与 53 | 42 表示相同的角，位于第三象限； 所以集合, 42 kkkZ 中表示的角的范围为选项 C，故选 C. 题型六 扇形面积求解 例 6 已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l.若 3 ，R10 cm，求扇形的面积. 【解析】由已知得 3 ，R10， S扇形1 2R 21 2 3 10 250 3 (cm 2). 巩固练习巩固练习 已知一扇形的圆心角为 3 ，弧长是cm，则扇形的面积是_ 2 cm 【答案】 3
9、2 【分析】 先由弧长公式求出扇形所在圆的半径，再根据扇形面积公式，即可得出结果. 【详解】 因为一扇形的圆心角为 3 ，弧长是 cm ， 所以其所在圆的半径为 3 3 r ， 因此该扇形的面积是 113 3 222 Slr. 故答案为： 3 2 . 巩固提升巩固提升 1、2020是第_象限角. 【答案】三 【分析】 把2020写成360k,0 ,360 ,kZ ，然后判断所在的象限，则答案可求 【详解】 20205360220 ， 2020与220角的终边相同，为第三象限角 故答案为三 2、在区间 4 , 2 上，与角 7 6 终边相同的角为_ 【答案】 17 6 【分析】 根据与终边相同的
10、角可以表示为 0 360,kkZ 这一方法，即可得出结论 【详解】 因为 717 44 , 2 66 ，所以与角 7 6 终边相同的角为 17 6 . 3、已知：1240，300，420，1420，其中是第一象限角的为_(填序号). 【答案】 【分析】 利用终边相同的角转化到0360判断. 【详解】 因为12401080160， 30036060 ， 42036060， 14204 36020 . 所以300，420，1420是第一象限角， 故答案为： 4、已知扇形AOB的圆心 3 AOB ，弧长为2，则该扇形的面积为_. 【答案】6 【分析】 用弧长公式求出扇形半径，再用扇形面积公式得解.
11、【详解】 因为扇形AOB的圆心 3 AOB ，弧长为2 lr，2 3 r ，6r 11 266 22 Slr 故答案为：6 5、若扇形的弧长为 4，圆心角为 2，则其半径为_. 【答案】2 【分析】 利用扇形的弧长公式即可得出 【详解】 解：由弧长公式lr可得42r，解得2r = = 故答案为：2 6、已知扇形的圆心角为 60，其弧长为，则此扇形的面积为_；该弧所在的弓形面积为_. 【答案】 3 2 69 3 4 【分析】 根据扇形弧长公式可求得半径，进而利用扇形面积公式求得面积，作差的方式可求得弓形面积. 【详解】 设扇形的半径为r，则 60 180 r ，解得：3r ，扇形的面积 2 60
12、3 3602 r S . 该弧所在的弓形面积 31369 3 9 2224 S . 故答案为： 3 2 ； 69 3 4 . 7、（1）给出下列说法： 锐角都是第一象限角； 第一象限角一定不是负角； 小于 180的角是钝角或直角或锐角. 其中正确说法的序号为_.(把正确说法的序号都写上) （2）将时钟拨快 20 分钟，则分针转过的度数是_. 【答案】120 【分析】 （1）利用锐角、象限角、终边相同角的概念逐一判断即可得解 （2）将时针拨快 20 分钟，则分针顺时针转过120，根据任意角的定义即可得解； 【详解】 解：（1）锐角的范围为0 ,90是第一象限的角，命题正确； 第一象限角的范围为3
13、60 ,90360kkkZ ，故第一象限角可以为负角，故错误； 根据任意角的概念，可知小于 180的角，可以为负角，故错误； 故答案为： （2）将时针拨快 20 分钟，则分针顺时针转过120，即转过的度数为120 故答案为：120 8、已知圆的半径为 2，则 5 的圆心角所对的弧长为_. 【答案】 2 5 【分析】 由已知结合弧长公式即可直接求解. 【详解】 由弧长公式可得 2 2 55 lr . 故答案为： 2 5 9、若角的终边与 8 5 的终边相同，则在0,2上，终边与 4 的终边相同的角有_ 【答案】【答案】 29719 , 510510 10、在7200范围内所有与 45终边相同的角
14、为_ (2)所有与 45终边相同的角可表示为： 45k360(kZ)， 则令72045k3600(kZ)， 得765k36045(kZ)， 解得765 360k 45 360(kZ)， 从而k2 或k1， 代入得675或315. 11、写出与1910终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式720360的元素写出来 【答案】|k3601 910，kZ；元素见解析 【分析】 把1 910加上360k可得与1 910终边相同的角的集合，分别取 k4，5，6，求得适合不等式720 360的元素. 【详解】 与1 910终边相同的角的集合为|k3601910，kZ 720360，即720k3601 91
15、0360(kZ)， 1111 36 3636 k(kZ)，故取 k4,5,6. k4 时，43601910470； k5 时，53601910110； k6 时，63601910250. 12、已知扇形的圆心角是，半径是 R,弧长是 l. （1）若 60，R=10cm,求扇形的弧长 l. （2）若扇形的周长是 20cm,当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ （3）当 3 ，R=2cm,求扇形的弧所在的弓形的面积. 【解析】（1）因为R=10cm,所以 l=10=. （2）由已知得，l+2R=20, 所以 S= 当 R=5 时，S 取得最大值，此时 l=10, （3）设弓形面积为，由题意知 l=
