（2021新教材）人教A版高一数学（初升高）第12讲 函数的奇偶性衔接讲义（原卷+解析）.zip

第第 1212 讲讲 函数的奇偶性函数的奇偶性 1.奇函数、偶函数的定义定义 奇函数：一般地，设函数的定义域为,如果，都有，且， f x IxI xI fxf x 那么函数叫做奇函数. f x 偶函数：一般地，设函数的定义域为,如果，都有，且， f x IxI xI fxf x 那么函数叫做偶函数. f x 2.奇函数、偶函数的性质性质 奇函数性质：定义域关于原点对称；图像关于原点对称；若定义域内包含 0，则 ； 00f . fxf x 偶函数性质：定义域关于原点对称；图像关于轴对称；. y fxf x 3.用定义证明函数奇偶性的步骤： 求求定义域定义域.若定义域不关于原点对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；若定 f x 义域关于原点对称，则进行下一步; 化简化简的解析式的解析式. . f x 求求，判断，判断与与的关系的关系. .若，则为奇函数；若 fx f xfx fxf x f x ，则为偶函数；若都不满足，则既不是奇函数也不是偶函数；若 fxf x f x f x 两个等式都满足，则既是奇函数也是偶函数. f x 4.判断函数奇偶的方法 （1）定义法； （2）图像法； （3）性质法: 偶函数的和、差、积、商(分母不为 0)仍为偶函数； 奇函数的和、差仍为奇函数； 两个奇函数的积、商(分母不为 0)为偶函数； 一个奇函数与一个偶函数的积、商(分母不为 0)为奇函数. （性质法里面需要注意定义域） 例 1.函数的奇偶性是( ) 1 ,0,1f xx x A奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既是奇函数又是偶函数 例 2.下列说法正确的是( ) A若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数 B若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称 C若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数 D若函数的定义域为，且，则是奇函数 f x R 00f f x 例 3.设奇函数的定义域是且图象的一部分如图所示，则不等式的 f x2,2 0f x 解集是_ 例 4.判断下列函数的奇偶性： （1） ； （2）； 2 22 1 xx f x x 22 11f xxx （3） ； （4） f xx 1 ,0 1 ,0 x xx f x x xx 例 5.设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结 ,f xg x R f x g x 论中正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 f x g x f x g x C. 是偶函数 D. 是偶函数 f x g x f xfx 例 6.已知函数是奇函数，则_ 2 2 2 ,0 0,0 ,0 xx x f xx xmx x m 例 7.函数，若对任意实数都有，求证： f xxR , a b f abf af b 为奇函数 f x 例 8.已知函数是定义在上的偶函数，当时，则当 f x R ,0 x 4 f xxx 时，_ 0,x f x 例 9.已知分别是上的奇函数和偶函数，且，试 ,f xg x R 2 31f xg xxx 求和的表达式 f x g x 例 10.若函数是偶函数，且定义域为，则 2 3f xaxbxab1,2aa _，_ a b 例 11.已知为奇函数，且在上是增函数，又，则的解集 f x0, 30f 0 xf x 为_ 例 12.定义在上且满足，且时， f x0, f xyf xfy 1x ，则不等式的解集为_ 0,21f xf 32f xf x 例 13.设定义在区间上的偶函数，当时，单调递减，若 2,2 g x 0 x g x 成立，求实数的取值范围 1gmg m m 例 14.函数是定义在区间上的奇函数，且 2 1 axb f x x 1,1 12 25 f (1) 确定函数的解析式； f x (2) 用定义证明：在区间上是增函数； f x()1,1 (3) 解不等式： ()(10)f tf t 跟踪训练跟踪训练 1.已知函数是定义在上的奇函数，且，则等于( ) f x R 23f2f A3 B2 C D 23 2.下面五个命题中，正确命题的个数是（ ） 偶函数的图像一定与轴相交；奇函数图像一定过原点；偶函数图像一定关于 y 轴对称；既是奇函数又是偶函数的函数一定是；偶函数与轴若有 y 0f xxR x 交点，则交点横坐标之和为 0. A.2B.3 C.4D.5 3.对于定义在上的任意奇函数，都有（ ） R f x A. B. C. D. 0f xfx 0f xfx 0f xfx 0f xfx 4.若函数为偶函数，则（ ） (1)()yxxa a A B C D 2112 5.函数的图像关于（ ） 1 ( )f xx x A.轴对称 B直线对称 C坐标原点对称 D直线对 yyx yx 称 6.已知是定义在上的奇函数，当时，则在上的 yf x R0 x 2 2f xxx R f x 表达式为（ ） A. B. C. D. 2x x 2x x 2x x 2xx 7.已知函数，则下列结论正确的是( ) 2f xx xx A.是偶函数，递增区间是 B.是偶函数，递减区间是 f x0,+ f x,1 C.是奇函数，递减区间是 D.是奇函数，递增区间是 f x1,1- f x,0 8.如果奇函数在区间上是增函数且最大值为，那么在区间上是 f x3,7 5 f x7, 3 （ ） A.增函数且最小值是 B.增函数且最大值是 55 C.减函数且最大值是 D.减函数且最小值是 55 9.若函数是偶函数，则的递减区间是 . 2 213f xkxkx f x 10. 若函数在上是奇函数,则的解析式为_. 2 1 xa f x xbx 1,1 f x 11. 设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则 f x R ,)0 x f x 由大到小的关系是_ (),2) 3,(fff 12. 若函数是奇函数，则实数的值为_ 2 2 ,0 ,0 xx x f x axx x a 13. 设奇函数的定义域为，若当时，的图象如右图,则不等式 f x5,50,5x f x 的解集是 0 xf x 14. 已知，则 53 8,210f xxaxbxf 2f 15. 已知函数的定义域是，且满足，,如果对于 f x0,()( )( )f xyf xf y 1 ( )1 2 f ，都有. 0 xy( )( )f xf y (1) 求； 1f (2) 解不等式. ()(32)fxfx 16. 判断下列函数的奇偶性 （1） ； （2） ； 3 2f xxx 1 1 x f x x （3） ； （4） . 2 4 33 x f x x 2 2 20 , ( )0,0 , 0 xx f xx xx x 17. 已知奇函数是定义在上的减函数，求不等式的解 f x33 ， 2 330f xf x 集. 18. 已知函数是奇函数，且当时是增函数，若，求不等 ( )(0)yf x x,()0 x 10f 式的解集 1 0 2 fx x 19. 若是定义在上的奇函数，当时，求函数的解析 f x R0 x 2( )()f xxx f x 式 第第 1212 讲讲 函数的奇偶性函数的奇偶性 1.奇函数、偶函数的定义定义 奇函数：一般地，设函数的定义域为,如果，都有，且， f x IxI xI fxf x 那么函数叫做奇函数. f x 偶函数：一般地，设函数的定义域为,如果，都有，且， f x IxI xI fxf x 那么函数叫做偶函数. f x 2.奇函数、偶函数的性质性质 奇函数性质：定义域关于原点对称；图像关于原点对称；若定义域内包含 0，则 ； 00f . fxf x 偶函数性质：定义域关于原点对称；图像关于轴对称；. y fxf x 3.用定义证明函数奇偶性的步骤： 求求定义域定义域.若定义域不关于原点对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；若定 f x 义域关于原点对称，则进行下一步; 化简化简的解析式的解析式. . f x 求求，判断，判断与与的关系的关系. .若，则为奇函数；若 fx f xfx fxf x f x ，则为偶函数；若都不满足，则既不是奇函数也不是偶函数；若 fxf x f x f x 两个等式都满足，则既是奇函数也是偶函数. f x 4.判断函数奇偶的方法 （1）定义法； （2）图像法； （3）性质法: 偶函数的和、差、积、商(分母不为 0)仍为偶函数； 奇函数的和、差仍为奇函数； 两个奇函数的积、商(分母不为 0)为偶函数； 一个奇函数与一个偶函数的积、商(分母不为 0)为奇函数. （性质法里面需要注意定义域） 例 1.函数的奇偶性是( ) 1 ,0,1f xx x A奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既是奇函数又是偶函数 【答案】C 【解析】定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，选 C. 0,1 f x 例 2.下列说法正确的是( ) A若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数 B若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称 C若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数 D若函数的定义域为，且，则是奇函数 f x R 00f f x 【答案】B 例 3.设奇函数的定义域是且图象的一部分如图所示，则不等式的 f x2,2 0f x 解集是_ 【答案】 1,01,2 【解析】是奇函数，可作出如下在的图象， f x f x2,2 由图象可知的解集为. 0f x 1,01,2 例 4.判断下列函数的奇偶性： （1） ； （2）； 2 22 1 xx f x x 22 11f xxx （3） ； （4） f xx 1 ,0 1 ,0 x xx f x x xx 【答案】 （1）非奇非偶函数；（2）既奇又偶函数；（3）偶函数；（4）奇函数. 【解析】 （1）的定义域为，不关于原点对称， 2 22 1 xx f x x , 11, 为非奇非偶函数； 2 22 1 xx f x x （2）中有，解得， 22 11f xxx 2 2 10 10 x x 1x 且，为既奇又偶函数； 110ff 22 11f xxx （3）定义域为， f xx R 且，为偶函数； fxxxf x f xx （4）函数定义域为，且， R 00f 当时， 0 x 0 x 此时； 11fxxxx xf x 当时， 0 x 0 x 此时， 11fxxxx xf x 综上可知，为奇函数. f x 例 5.设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结 ,f xg x R f x g x 论中正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 f x g x f x g x C. 是偶函数 D. 是偶函数 f x g x f xfx 【答案】D 例 6.已知函数是奇函数，则_ 2 2 2 ,0 0,0 ,0 xx x f xx xmx x m 【答案】2 【解析】当时， 0 x 0 x 是奇函数，解得. f x 2 2 2fxxxf xxmx 2m 例 7.函数，若对任意实数都有，求证： f xxR , a b f abf af b 为奇函数 f x 【证明】令得，则， 0ab 000fff 00f 令，依题意得，即， ,ax bx 0fxf x fxf x 又定义域为，为奇函数 f x R f x 例 8.已知函数是定义在上的偶函数，当时，则当 f x R ,0 x 4 f xxx 时，_ 0,x f x 【答案】 4 xx 【解析】当时， 0 x 0 x 是定义在上的偶函数，. f x R 4 4 f xfxxxxx 例 9.已知分别是上的奇函数和偶函数，且，试 ,f xg x R 2 31f xg xxx 求和的表达式 f x g x 【答案】 2 ,31f xx g xx 【解析】分别是上的奇函数和偶函数， ,f xg x R ,fxf xgxg x 又，则，即， 2 31f xg xxx 2 31fxgxxx 2 31f xg xxx 联立解得. 2 ,31f xx g xx 例 10.若函数是偶函数，且定义域为，则 2 3f xaxbxab1,2aa _，_ a b 【答案】 1 ,0 3 【解析】依题意得且恒成立， 12aa fxf x 解得且恒成立，则. 1 3 a 22 33axbxabaxbxab0b 例 11.已知为奇函数，且在上是增函数，又，则的解集 f x0, 30f 0 xf x 为_ 【答案】 3,00,3 【解析】奇函数在上是增函数， f x0, 在上是增函数， f x,0 又， 30f 330ff 由得或， 0 xf x 0 03 x f xf 0 03 x f xf 解得或， 30 x 03x 的解集为. 0 xf x 3,00,3 例 12.定义在上且满足，且时， f x0, f xyf xfy 1x ，则不等式的解集为_ 0,21f xf 32f xf x 【答案】 3,4 【解析】依题意， 4222fff 令得， 1xy 111fff 10f 任取且，则， 12 ,0 x x 12 xx 1 2 1 x x 1 2 0 x f x ， 11 1222 22 xx f xfxf xff x xx 在上单调递增， f x0, 不等式转化为且， 32f xf x 34fx xf 0,30 xx ，解得，故解集为. 34 0 30 x x x x 34x 3,4 例 13.设定义在区间上的偶函数，当时，单调递减，若 2,2 g x 0 x g x 成立，求实数的取值范围 1gmg m m 【答案】 1 1, 2 【解析】是定义在区间上的偶函数， g x2,2 可化为， 1gmg m 1gmg m 又时，单调递减， 0 x g x ，解得， 212 22 1 m m mm 1 1 2 m 故的取值范围为. m 1 1, 2 例 14.函数是定义在区间上的奇函数，且 2 1 axb f x x 1,1 12 25 f (1) 确定函数的解析式； f x (2) 用定义证明：在区间上是增函数； f x()1,1 (3) 解不等式： ()(10)f tf t 【答案】 （1）；（2）见解析；（3）. 2 1 x f x x 1 0 2 t 【解析】 （1）依题意得，解得， 00 1 2 1 2 5 5 2 4 fb ab f 1 0 a b ； 2 1 x f x x （2）任取且， 12 ,1,1x x 12 xx 则， 1212121212 21 21 22 2222 21 1212 1 111111 x xxxxxx xxxxx f xf x xxxxxx 且， 12 ,1,1x x 12 xx 22 121212 10,0,10,10 x xxxxx ，即， 21 0f xf x 12 f xf x 在区间上是增函数 f x()1,1 （3）可化为， ()(10)f tf t () 1ttftff 则，解得. 111 11 1 t t tt 1 0 2 t 跟踪训练跟踪训练 1.已知函数是定义在上的奇函数，且，则等于( ) f x R 23f2f A3 B2 C D 23 【答案】D 【解析】依题意，选 D. 223ff 2.下面五个命题中，正确命题的个数是（ ） 偶函数的图像一定与轴相交；奇函数图像一定过原点；偶函数图像一定关于 y 轴对称；既是奇函数又是偶函数的函数一定是；偶函数与轴若有 y 0f xxR x 交点，则交点横坐标之和为 0. A.2B.3 C.4D.5 【答案】A 【解析】错误，正确：偶函数的图像关于轴对称，但不一定与轴相交；错误： yy 奇函数图像关于原点对称，但不一定经过原点，只有在原点处有定义才通过原点；错误： 若既是奇函数，又是偶函数，则且，则， yf x fxf x fxf x 0f x 但不一定，只要定义域关于原点对称即可；正确.故正确命题个数是 2，选 A. xR 3.对于定义在上的任意奇函数，都有（ ） R f x A. B. C. D. 0f xfx 0f xfx 0f xfx 0f xfx 【答案】D 【解析】对于定义在上的任意奇函数，都有， R f x fxf x 则，故选 D. 2 0f xfxf x 4.若函数为偶函数，则（ ） (1)()yxxa a A B C D 2112 【答案】C 【解析】依题意得， 111fxxxf xxxa 即，解得，选 C. 22 11xaxaxa xa 11aa 1a 5.函数的图像关于（ ） 1 ( )f xx x A.轴对称 B直线对称 C坐标原点对称 D直线对 yyx yx 称 【答案】C 【解析】定义域为，且， 1 ( )f xx x 0 x x 1 ()fxxf x x 是奇函数，图象关于原点对称，选 C. 1 ( )f xx x 6.已知是定义在上的奇函数，当时，则在上的 yf x R0 x 2 2f xxx R f x 表达式为（ ） A. B. C. D. 2x x 2x x 2x x 2xx 【答案】B 【解析】是定义在上的奇函数，且当时， yf x R0 x 2 2f xxx 则时，此时， 0 x 0 x 2 2 22f xfxxxxx ，故选 B. 2 2 2 ,0 2 2 ,0 xx x f xx x xx x 7.已知函数，则下列结论正确的是( ) 2f xx xx A.是偶函数，递增区间是 B.是偶函数，递减区间是 f x0,+ f x,1 C.是奇函数，递减区间是 D.是奇函数，递增区间是 f x1,1- f x,0 【答案】C 【解析】定义域为，且， 2f xx xx R 22fxxxxx xxf x 是奇函数， 2f xx xx 当时，在上递减，在递增； 0 x 2 2 211f xxxx f x0,11, 当时，在上递减，在递增， 0 x 2 2 211f xxxx f x1,0, 1 综上，递减区间是，选 C. f x1,1 8.如果奇函数在区间上是增函数且最大值为，那么在区间上是 f x3,7 5 f x7, 3 （ ） A.增函数且最小值是 B.增函数且最大值是 55 C.减函数且最大值是 D.减函数且最小值是 55 【答案】A 【解析】奇函数在区间上是增函数且最大值为， f x3,7 5 则在上也是增函数， f x7, 3 75,775fff 在区间上由最小值，选 A. f x7, 3 5 9.若函数是偶函数，则的递减区间是 . 2 213f xkxkx f x 【答案】 0, 【解析】依题意，解得， 22 213213fxkxkxf xkxkx 1k ，的递减区间是. 2 3f xx f x0, 10. 若函数在上是奇函数,则的解析式为_. 2 1 xa f x xbx 1,1 f x 【答案】 2 1 x f x x 【解析】在上是奇函数， 2 1 xa f x xbx 1,1 ，解得，. 00 11 11 22 fa aa ff bb 0 0 a b 2 1 x f x x 11. 设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则 f x R ,)0 x f x 由大到小的关系是_ (),2) 3,(fff 【答案】 23fff 【解析】偶函数在上是增函数， f x0, ，即. 23fff 23fff 12. 若函数是奇函数，则实数的值为_ 2 2 ,0 ,0 xx x f x axx x a 【答案】1 【解析】函数是奇函数，时， f x 0 x 0 x 则，. 22 f xfxxxxx 1a 13. 设奇函数的定义域为，若当时，的图象如右图,则不等式 f x5,50,5x f x 的解集是 0 xf x 【答案】 5, 22,5 【解析】奇函数图象关于原点对称，作出在的图象如下： f x5,5 由得，由图可知， 0 xf x 00 00 xx f xf x 或 5225xx 或 的解集为. 0 xf x 5, 22,5 14. 已知，则 53 8,210f xxaxbxf 2f 【答案】 26 【解析】由已知得， 23282810fab 328218ab 则. 23282818826fab 15. 已知函数的定义域是，且满足，,如果对于 f x0,()( )( )f xyf xf y 1 ( )1 2 f ，都有. 0 xy( )( )f xf y (1) 求； 1f (2) 解不等式. ()(32)fxfx 【答案】 （1）0；（2）. 1,0 【解析】 （1）令，得，； 1xy 111fff 10f （2）依题意， 1 210 2 fff 21f 4222fff 由对于，都有，可知在 单调递减， 0 xy( )( )f xf y f x0, 由得， ()(32)fxfx 34fxxf ，解得，故解集为. 0 30 34 x x xx 10 x 1,0 16. 判断下列函数的奇偶性 （1） ； （2） ； 3 2f xxx 1 1 x f x x （3） ； （4） . 2 4 33 x f x x 2 2 20 , ( )0,0 , 0 xx f xx xx x 【答案】 （1）奇函数；（2）非奇非偶函数；（3）奇函数；（4）非奇非偶函数. 【解析】 （1）定义域为，且， 3 2f xxx R 3 2fxxxf x 是奇函数； f x （2）中有，解得，不关于原点对称， 1 1 x f x x 1 0 1 x x 11x 是非奇非偶函数； f x （3）中有，解得， 2 4 33 x f x x 2 40 330 x x 2002xx 或 ， 222 444 3333 xxx f x xxx 2 4x fxf x x 是奇函数； f x （4）当时，此时且， 0 x 0 x 2 fxxxf x fxf x 是非奇非偶函数. f x 17. 已知奇函数是定义在上的减函数，求不等式的解 f x33 ， 2 330f xf x 集. 【答案】 2, 6 【解析】奇函数是定义在上的减函数， f x33 ， 由得， 2 330f xf x 22 333f xf xfx ，解得，故解集为. 2 2 333 333 33 x x xx 26x 2, 6 18. 已知函数是奇函数，且当时是增函数，若，求不等 ( )(0)yf x x,()0 x 10f 式的解集 1 0 2 fx x 【答案】 1171 117 ,0, 424 【解析】奇函数在上是增函数，且， ( )(0)yf x x0, 10f 在上是增函数，且， f x,0 110ff 由得或， 1 0 2 fx x 1 0 2 1 1 2 x x x x 1 0 2 1 1 2 x x x x 解得或， 117 0 4 x 1117 24 x 故解集为. 1171 117 ,0, 424 19. 若是定义在上的奇函数，当时，求函数的解析 f x R0 x 2( )()f xxx f x 式 【答案】 2,0 0,0 2,0 xxx f xx xxx 【解析】是定义在上的奇函数， f x R 00f 当时， 0 x 0 x 此时， 22f xfxxxxx 综上，. 2,0 0,0 2,0 xxx f xx xxx