1、北师北师大新版数学必修第一册第大新版数学必修第一册第四四章章对数运算和对数函数基础测试题对数运算和对数函数基础测试题 一、单选题一、单选题 1计算 22 log 10log 0.4等于（） A0B1C2D4 2函数 lg ( ) 1 x f x x 的定义域为（） A1,B1, C0,1D0,1 3已知函数 2 log,0 ( ) 34 ,0 x x f x x x ，则(1)( 1)ff（） A-7B2C7D-4 4设 5 3a ， 3 log 0.2b ， 2 log 3c ，则（） AabcBcba CacbDc ab 5给出下列三个等式：()( )( )()( ) ( )f xyf x
2、f yf xyf x f y， ()( )( )f xyf xf y下列函数中不满足其中任何一个等式（） A( )3xf x B( )f xx C 2 ( )logf xxD 2 ( )f xx 6 若函数 yf x是函数 x ya（0a 且1a ） 的反函数， 且 21f， 则 f x （） A 1 2x B 2 log xC 1 2 log x D 2 2x 7已知2 36 mn ，则 11 mn 等于 （） A-1B2C3D1 8下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)上单调递增的是（） A 3 yx Bln |yx C2 x y D 2 2yxx 9若 3 log1 4 a ，则实数a的
3、取值范围是（） A 3 0 4 aB 3 0 4 a或1a C 3 1 4 aD 3 1 4 a或 1a 10已知函数 2 1 2 ( )log (45)f xxx ，则函数 ( )f x的减区间是（ ） A(,2)B(2,) C(5,)D(, 1) 11设 x，y 是实数，则“01x，且01y”是“ 22 loglog0 xy”的（） A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 12函数 4log10,1 a f xxaa的图象过一个定点，则这个定点坐标是 （） A2,4B( ) 4,2C1,4D2,5 二、填空题二、填空题 13若 1 log3 8 x ，则
4、x的值为_. 14已知 1 3 2a ，则 2 log (2 )a _. 15设函数 1 2 2,1 1 log,1 x x f x x x ，则 4ff _. 16函数 2 ln4fxx的递增区间是_ 三、解答题三、解答题 17计算下列各式： （1）lg4lg25； （2） 75 1 2 log22 ； （3） 222 1 log 33log2log6 2 . 18已知函数 2 1 log411 x fx x . （1）判断函数 fx的奇偶性； （2）设 2 1g x x ，解不等式 f xg x. 19已知对数函数 log(0,1) a f xx aa的图象经过点（9,2）. (1)求函数
5、 ( )f x的解析式； （2）如果不等式(1)1f x成立，求实数x的取值范围 20已知函数 2 2 log32f xmxmx，mR. （1）若1m ，求函数 fx的单调递减区间； （2）若函数 fx的定义域为R，求实数m的取值范围. 21已知函数 fx， g x分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且 1 2xfxg x . （1）求 fx， g x的解析式，并判断 fx的单调性； （2）已知0m ，且1m，不等式 log 2120 m ffg成立，求m的取值 范围. 22已知函数 2 ( )(21)2f xaxax （1）若函数 2 log( )yf xx的定义域为R，求实数a的取值范围；
6、（2）当 a0 时，解关于 x 的不等式( )0f x . 参考答案参考答案 1C 【分析】 直接利用对数的运算法则化简得解. 【详解】 由题得 2 22222 log 10log 0.4log (10 0.4)log 4log 22. 故选：C 2C 【分析】 由函数解析式可得 0 10 x x ，解出即可. 【详解】 要使函数 lg ( ) 1 x f x x 有意义， 则 0 10 x x ，解得01x， 故 lg ( ) 1 x f x x 的定义域为0,1. 故选：C. 3A 【分析】 根据解析式，分别求出(1)f和( 1)f ，即可得出结果. 【详解】 因为 2 log,0 ( )
7、 34 ,0 x x f x x x ， 所以 2 (1)log 10f，( 1)3417f ， 因此(1)( 1)7ff . 故选：A. 4D 【分析】 利用对应指对数函数性质即可判断a，b，c的范围，即可知它们的大小关系. 【详解】 由3xy 的性质知：01a， 由 3 logyx的性质知：0b ， 由 2 logyx的性质知：1c ， 所以cab. 故选：D 5D 【分析】 对各个函数分别进行验证即可 【详解】 解：对于 A，()333( ) ( ) x yxy f xyf x f y ， 对于 B，()( )( )f xyxyf xf y， 对于 C， 222 ()log ()logl
8、og( )( )f xyxyxyf xf y， 对于 D， 222 ()()( ) ( )( )( )f xyxyx yf x f yf xf y， 222 ()()2( ) ( )( )( )f xyxyxxyyf x f yf xf y， 所以函数 2 ( )f xx不满足其中任何一个等式， 故选：D 6B 【分析】 由题意可得出 logaf xx，结合 21f可得出a的值，进而可求得函数 fx的解析 式. 【详解】 由于函数 yf x是函数 x ya（0a 且1a ）的反函数，则 logaf xx， 则 2log 21 a f，解得2a ，因此， 2 logf xx. 故选：B. 7D
9、【分析】 利用对数和指数互化，可得 2 log 6m ， 3 log 6n ，再利用 66 11 log 2,log 3 mn 即可求 解. 【详解】 由236 mn 得： 2 log 6m ， 3 log 6n ， 所以 666 11 log 2log 3log 61 mn ， 故选：D 8B 【分析】 根据函数奇偶性的定义及指数函数、对数函数的图像性质判断即可. 【详解】 因为 3 yx为奇函数，函数2 x y 和函数 2 2yxx不具有奇偶性，故排除 A，C，D， 又ln |yx为偶函数且在(0,)上递增，故 B 符合条件. 故选：B. 【点睛】 本题考查函数奇偶性的判断、单调性的判断，
10、属于基础题. 掌握幂指对函数的基本性质是关 键. 9B 【分析】 将不等式化成同底，即可得答案； 【详解】 33 log1loglog 44 aaa a ， 01, 3 , 4 a a 或 1, 3 , 4 a a 解得： 3 0 4 a或1a ， 故选：B. 10C 【分析】 先求得 fx的定义域，然后根据复合函数同增异减确定 fx的减区间. 【详解】 由 2 45510 xxxx解得1x 或5x ， 所以 fx的定义域为, 15, . 函数 2 45yxx的开口向上，对称轴为2x ， 函数 1 2 logyx 在0,上递减， 根据复合函数单调性同增异减可知函数 ( )f x的减区间是 5,
11、. 故选：C 11A 【分析】 首先判断“01x，且01y”能否推出 “ 22 loglog0 xy；再判断 22 loglog0 xy能否推出“01x，且01y”，利用充分条件和必要条件的定义即 可判断. 【详解】 若“01x，且0 1y”,则01xy， 2222 loglogloglog 10 xyxy， 所以“01x，且01y”是“ 22 loglog0 xy充分条件； 若 22 loglog0 xy，则 2222 loglogloglog 10 xyxy，可得01xy，但得不 出“01x，且0 1y”，如 1 16 x ，2y 可得 22 loglog0 xy，所以 22 loglog
12、0 xy得不出“01x，且01y”， 所以“01x，且01y”是“ 22 loglog0 xy充分不必要条件； 故选：A 【点睛】 关键点点睛： 本题的关键是要熟悉充分条件和必要条件的定义， 能正确判断条件能否推出结 论，结论能否推出条件. 12A 【分析】 当11x 时，log (1)0 a x是与a无关的常数，由此可求出定点的坐标 【详解】 解：令11x ，则2x ，此时(2)4log 14 a f， 所以函数 4log10,1 a f xxaa的图像恒过点2,4， 故选：A 132 【分析】 直接利用指数式和对数式互化求解. 【详解】 因为 1 log3 8 x ， 所以 33 1 2
13、8 x , 解得2x , 故答案为:2 14 4 3 【分析】 由 1 3 2a 得 2 1 log 3 a ，再根据对数的运算性质可得解. 【详解】 因为 1 3 2a ，所以 2 1 log 3 a ， 所以 222 14 log (2 )log 2log1 33 aa . 故答案为： 4 3 . 【点睛】 关键点点睛：掌握指数式化对数式和对数的运算性质是本题解题关键. 154 【分析】 根据分段函数定义域，代入4x 可求得 4f，根据 4f的值再代入即可求得 4ff 的值 【详解】 因为 1 2 2,1 1 log,1 x x f x x x 所以 2 41 log 41f 所以 11
14、4124fff 故答案为:4 162, 【分析】 求出函数的定义域，然后利用复合函数的单调性得出增区间 【详解】 函数 2 ln4fxx的定义域为, 22, ， 函数 2 4yx在, 2 上单调递减，在2,上单调递增， 又函数lnyt单调递增， 函数 2 ln4fxx在, 2 上单调递减，在2,上单调递增 故答案为：(2,) 【点睛】 结论点睛：本题考查复合函数的单调性，复合函数的单调性：在定义域内，单调性如下： ( )yf u( )ug x( ( )yf g x 增增增 增减减 减增减 减减增 17 （1）2.（2） 36 5 .（3）1 【分析】 （1）根据对数的运算性质进行运算即可得出结
15、论； （2）根据对数的运算性质进行运算即可得出结论； （3）根据对数的运算性质进行运算即可得出结论； 【详解】 解： （1）lg4lg25lg(4 25)lg1002. （2） 1 7 5 7755 11111 22222 11136 log22log 2log2loglog7 2255 . （3） 222 1 log 33log2log6 2 1 3 2 222 log 3log ( 2)log6 22 32 2 loglog 21 6 . 【点睛】 本题主要考查对数运算性质：log ()loglog aaa MNMN； loglog n aa MnM;logloglog aaa M MN
16、N (其中0a 且1,0,0aMN.考查 学生的计算能力，属于基础题. 18 （1）奇函数； （2） 4 ,0log 3,. 【分析】 应用函数的奇偶性的定义，证明 fxf x 即可. 将式子直接代入， 得 2 12 log41 x xx ,再就是对自变量分情况讨论， 即可得出不等式的解. 【详解】 解:(1).函数 f x的定义域为,00,， 22 11141 log11log1 44 x xx fx xx 22 1 log41log 41 xx x 2 1 log4121 x x x 2 1 log411 x x f x f x是奇函数； （2）原不等式可化为 2 12 log41 x x
17、x ， 当0 x 时， 2 log412 x ， 4 14 x ， 4 log 3x ， 当0 x 时， 2 log412 x ， 0 414 x ， 4 log 3x ， 0 x ， 故所求不等式的解集为 4 ,0log 3,. 【点睛】 本题考查奇偶性的判断和利用对数函数的单调性解不等式,考查分类讨论思想, 是基础题. 19 （1） 3 ( )logf xx； （2）12x . 【分析】 （1）根据条件可得log 92 a ，解得 a，即可得解析式； （2）由函数解析式可得 3 log11x，解对数不等式即可得解. 【详解】 （1）因为函数过点（9，2） 所以log 92 a ，即 2 9
18、a ， 因为0a ，所以3a . 所以函数 f x的解析式为 3 logf xx; 3 1log1f xx. 由11f x可得 3 log11x，即 33 log1log 3x 即 10 13 x x ，即12x . 所以，实数x的取值范围是12x . 【点睛】 本题主要考查了解对数不等式，注意真数大于 0，属于基础题. 20 （1）(- ,1)； （2） 8 0 9 m 【分析】 （1）先求出函数的义域为 |2x x 或1x ，再利用复合函数的单调性原理求函数的单调 减区间； （2）等价于 2 320mxmx在 R 上恒成立，利用一元二次函数的图象和性质分析 得解. 【详解】 （1）若1m
19、， 2 2 log32f xxx, 函数的定义域为 |2x x 或1x ， 由于函数 2 logyx是定义域上的增函数， 所以 fx的单调递减区间等价于函数 2 32(2yxxx或1)x 的减区间， 2 32(2yxxx或1)x 的减区间为,1， 所以函数 fx的单调递减区间,1. （2）由题得 2 320mxmx在 R 上恒成立， 当0m 时，20 恒成立，所以0m 满足题意； 当0m时， 2 0 980 m mm ，所以 8 0 9 m. 综合得 8 0 9 m 【点睛】 本题主要考查复合函数的单调性和二次不等式的恒成立问题， 意在考查学生对这些知识的理 解掌握水平. 21 （1） 22
20、xx f x ， 22 xx g x ，单调递增； （2）0,12,. 【分析】 （1）由 1 2xfxg x 可得 1 2 x fxgx ，然后结合奇偶性可解出 fx， g x的解析式，然后判断出 fx的单调性即可； （2）由 log 2120 m ffg可得 log 21 m ff，然后可得 log 21log mmm ，然后分01m、1m 两种情况讨论即可. 【详解】 （1）由题可得 1 2 x fxgx ，则 1 2 x fxg x 又 1 2xfxg x ，所以 22 xx f x ， 22 xx g x 因为2xy 在R上单调递增，2 x y 在R上单调递减 所以函数 fx在R上单
21、调递增 （2） log 2120 m ffg等价于 log 21 m ff 因为函数 fx单调递增，则log 21log mmm 当01m时，上式等价于2m，即01m 当1m 时，上式等价于2m，即2m 综上可知，0,12,m 22 （1）02a； （2）答案见解析. 【分析】 （1）由题意可得 2 (21)20axaxx恒成立，即 2 220axax 恒成立，然后分 0a 和0a 两种情况讨论即可； （2）由 2 (21)20axax，得(1)(2)0axx，然后分 1 0 2 a， 1 2 a ， 1 = 2 a求 解即可 【详解】 解：(1)由题意知 2 (21)20axaxx恒成立 2 220axax 恒成立 当0a 时，20 恒成立 0 0 a 0a2 综上：02a (2)由 2 (21)20axax，得(1)(2)0axx， 当 1 0 2 a时， 1 2 a ， x(2， 1 a ) 当 1 2 a 时， 1 2 a ， x( 1 a ，2) 当 1 = 2 a时， 2 20 x， x 综上：当 1 0 2 a时，不等式的解集为(2， 1 a ) ；当 1 2 a 时，不等式的解集为( 1 a ，2) ； 当 1 = 2 a时，不等式的解集为.
