1、1走近数学建模 2数学建模的主要步骤 3数学建模活动的主要过程 【内容概述】 数学建模活动是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、 用数学方法构建模型解决问题的过程.主要包括:在实际情境中从 数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、构建模型,确定参数、 计算求解,检验结果、改进模型,最终解决实际问题.数学建模活动 是基于数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动. 【数学建模】 数学建模的基本过程如下: 数学建模活动是围绕某个具体的数学问题,开展自主探究、合作研 究并最终解决问题的过程.具体表现为:发现和提出有意义的数学 问题,猜测合理的数学结论,提出解决问题的思路和方案,通过自主
2、探索、合作研究论证数学结论. 【建模案例】 测量学校内、外建筑物的高度 【目的】 运用所学知识解决实际测量高度问题,体验数学建模活 动的完整过程.组织学生通过分组、合作等形式,完成选题、开题、 做题、结题四个环节. 【情境】 给出下面的测量任务: (1)测量本校的一座教学楼的高度; (2)测量本校的旗杆的高度; (3)测量学校院墙外的一座不可及,但在学校操场上可以看得见的物 体的高度. 可以每23个学生组成一个测量小组,以小组为单位完成并填写测 量报告表. 测量课题报告表 项目名称:完成时间: 【活动过程】 教师可以对学生的工作流程提出如下要求和建议: (1)成立项目小组,确定工作目标,准备测
3、量工具. (2)小组成员查阅有关资料,进行讨论交流,寻求测量效率高的方法, 设计测量方案(最好设计两套测量方案). (3)分工合作,明确责任.例如,测量、记录数据、计算求解、撰写报 告的分工等. (4)撰写报告,讨论交流.可以用照片、模型、PPT等形式展现获得的 成果. 根据上述要求,每个小组要完成以下工作: (1)选题 (2)开题 可以在课堂上组织开题交流,让每一个项目小组陈述初步测量方案, 教师和其他同学可以提出质疑.例如: 如果有学生提出要通过测量仰角计算高度,教师可以追问:怎么测 量?用什么工具测量?目的是提醒学生,事先设计出有效的测量方法 和选用实用的测量仪器. 如果有学生提出要通过
4、测量太阳的影长计算高度,教师可以追问: 几时测量比较好?如果学生提出比较测量物和参照物的影长时,教 师可以追问:是同时测量好,还是先后测量好?目的是提醒学生注意 测量的细节. 如果有学生提出用照相机拍一张测量对象和参照物(如一个已知身 高的人)的合影,通过参照物的高度按比例计算出楼的高度.教师可 以追问:参照物应该在哪里?与测量对象是什么位置关系?目的是提 醒学生注意现实测量与未来计算的关联. 在讨论的基础上,项目小组最终形成各自的测量方案.讨论的目的 是让学生仔细想清楚测量过程中将使用的数学模型,这样可以减少 实践过程中的盲目性,培养学生良好的思维习惯;同时可以让学生 意识到,看似简单的问题
5、,也有许多认真思考、认真对待的东西,促 进科学精神的形成. (3)做题 依据小组的测量方案实施测量.尽量安排各个小组在同一时间进行 测量,这样有利于教师的现场观察和管理.老师需要提醒学生:要有 分工、合作、责任落实到个人. 在测量过程中,老师要认真巡视,记录那些态度认真、合作默契、 方法恰当的测量小组和个人,供讲评时使用.特别要注意观察和发 现测量中出现的问题,避免因测量方法不合理产生较大误差,当学 生出现类似问题时,教师要把问题看做极好的教育契机,启发学生 分析原因,引导他们发现出问题的原因,寻求解决问题的办法. (4)结题 在每一位学生都完成了“测量报告”后,可以安排一次交流讲评活动. 遴
6、选的交流报告最好有鲜明的特点,如测量结果准确,过程完整清 晰,方法有创意,误差处理得当,报告书写规范等;或者测量的结果出 现明显误差,使用的方法不当.交流讲评往往是数学建模活动中最 为重要的环节,可以使学生在这一过程中相互借鉴,共同提高. 1.两次测角法 (1)测量并记录测量工具距离地面h m; (2)用大量角器,将一边对准大厦的顶部,计算并记录仰角; (3)后退a m,重复(2)中的操作,计算并记录仰角; 其中,a,h如图所示. 【建立模型】 测量不可及“理想大厦”的方法 2.镜面反射法 (1)将镜子(平面镜)置于平地上,人后退至从镜中能够看到房顶的位 置,测量人与镜子的距离; (2)将镜子
7、后移a m,重复(1)中的操作; 其中a1,a2是人与镜子的距离,a是两次观测时镜面之间的距离,h是人 的“眼高”,如图所示.根据光的反射原理,利用相似三角形的性质联 立方程组,可以得到这个公式. 实际测量数据和计算结果,测量误差简要分析. (1)两次测角法 实际测量数据: 后退距离为25 m,人的“眼高”为1.5 m,计算可得理想大厦的高度约 为71.5 m,结果与期望值(70 m80 m)相差不大.误差的原因是铅笔 在纸板上画出度数时不够精确.减小误差的方法是几个人分别测量 高度及仰角,再求平均值,误差就能更小. 【检验结果】 记录实际测量数据并计算结果,测量误差简要分析. (2)镜面反射
8、法 实际测量数据: 镜子的相对距离10 m,人的“眼高”为1.52 m.计算可得理想大厦的高 度约为217 m,结果与期望值相差较大. 产生误差有以下几点原因:镜面放置不能保持水平;两次放镜子的 相对距离太短,容易造成误差;人眼看镜内物像时,两次不一定都看 准镜面上的同一个点;人体不一定在两次测量时保证高度不变.综 上所述,要做到没有误差很难,但可以通过某些方式使误差更小,我 们准备用更多的测量方法找出理想的结果. 对上面的测量报告,教师和同学给出评价.例如,对测量方法,教师和 同学评价均为“优”,因为对不可及的测量对象选取了两种可行的测 量方法;对测量结果,教师评价为“良”,同学评价为“中”
9、,因为两种方 法得到的结果相差较大. 对测量结果的评价,教师和同学产生差异的原因是,教师对测量过 程的部分项目实施加分,包括对自制测量仰角的工具等因素作了误 差分析;同学则进一步分析产生误差的主要原因,包括:(1)测量工具 问题.两次测角法的同学,自制量角工具比较粗糙,角度的刻度误差 较大;镜面反射法的同学,选用的镜子尺寸太大,造成镜间距测量有 较大误差.(2)间距差的问题.这是一个普遍的问题.间距差a的值是测 量者自己选定的,因为没有较长的卷尺测量距离,有的同学甚至选 间距差a是1 m.由于间距太小,两次测量的角度差或者人与镜的距 离差太小,最终导致计算结果产生巨大误差.当学生意识到了这个 问题后,他们利用运动场100 m跑道的自然长度作为间距差a,使得 测量精度得到较大提高.(3)不少学生用自己的身高代替“眼高”,反 映了学生没有很好地理解测量过程中的“眼高”应当是测量的高度. 在结题交流过程中,教师通过测量的现场照片,引导学生发现问题, 让学生分析测量误差产生的原因.学生们在活动中意识到,书本知 识和实践能力的联系与转化是有效的学习方式. 测量现场的照片和观察说明:
