1、3函数的单调性和最值 第1课时函数的单调性 激趣诱思知识点拨 我们知道,“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色,因此 有关记忆的规律一直都是人们研究的课题.德国心理学家艾宾浩斯 曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究,并给出了类似右图所示 的记忆规律. 如果我们以x表示时间间隔(单位:h),y表示记忆保持量,则不难看出, 图中y是x的函数,记这个函数为y=f(x). 这个函数反映出记忆具有什么规律?你能从中得到什么启发? 激趣诱思知识点拨 一、增函数、减函数的定义 激趣诱思知识点拨 名师点析x1,x2的三个特征: (1)同区间性,即x1,x2I; (2)任意性,即不可用区间I上的两个特殊
2、值代替x1,x2; (3)有序性,即需要区分大小,通常规定x1x2. 激趣诱思知识点拨 微练习 若函数f(x)的定义域为(0,+),且满足f(1)f(2)f(3),则函数f(x)在 (0,+)上() A.为增函数 B.为减函数 C.先增后减 D.单调性不能确定 答案:D 解析:由于函数单调性的定义突出了x1,x2的任意性,所以仅凭区间内 几个有限的函数值的关系,是不能作为判断单调性的依据的,也就 是说函数单调性定义的三个特征缺一不可.因此本题选D. 激趣诱思知识点拨 微提炼 单调性的等价结论 激趣诱思知识点拨 二、单调性、单调区间 如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就称函数
3、y=f(x) 在区间I上具有单调性.此时,区间I为函数y=f(x)的单调区间. 名师点析自变量的大小与函数值的大小关系: (1)若f(x)在区间I上单调递增,则x1x2f(x1)x2f(x1)f(x2). (2)若f(x)在区间I上单调递减,则x1f(x2),x1x2f(x1)0.设y=ax-1,x(-,1),因为a0,所以yg(1-3t),求t的取值范围. 解:g(x)在区间-2,2上单调递增,且g(t)g(1-3t), 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 复合函数单调性的复合函数单调性的判判断断 对于复合函数f(g(x),设t=g(x)在区间a,b上是单调函数,且y=f(t)在 区间g(a
4、),g(b)或区间g(b),g(a)上也是单调函数,那么f(g(x)在区间 a,b上的单调性如何呢?下面我们来探讨一下. (1)若t=g(x)在区间a,b上单调递增,且y=f(t)也单调递增: 任取x1,x2a,b,x1x2,因为t=g(x)在区间a,b上单调递增,所以 g(x1)g(x2),又y=f(t)也单调递增,所以有f(g(x1)f(g(x2),则根据增函 数的定义知f(g(x)在区间a,b上单调递增. (2)若t=g(x)在区间a,b上单调递增,y=f(t)单调递减: 任取x1,x2a,b,x1x2,因为t=g(x)在区间a,b上单调递增,所以 g(x1)f(g(x2),则根据减函数
5、 的定义知f(g(x)在区间a,b上单调递减. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 类似地,我们不难发现:当t=g(x)在区间a,b上单调递减,且y=f(t)单 调递增时,则f(g(x)在区间a,b上单调递减;当t=g(x)在区间a,b上 单调递减,且y=f(t) 单调递减时,则f(g(x)在区间a,b上单调递增. 根据上面的探讨,y=f(g(x)在区间a,b上的单调性如下表所示,简记 为“同增异减”. 若一个函数是由多个基本函数复合而成的,则此复合函数的单调性 由基本函数中减函数的个数决定.若减函数有偶数个,则这个复合 函数为增函数;若减函数有奇数个,则这个复合函数为减函数. 探究一探究二探
6、究三素养形成当堂检测 典例已知函数f(x)在定义域0,+)上单调递减,则f(1-x2)的单调递减 区间为. 解析:f(x)的定义域为0,+), 1-x20,即x21,解得-1x1. 令u=1-x2(u0),则f(1-x2)=f(u). 当x0,1时,u=1-x2单调递减,则f(1-x2)单调递增;当x-1,0时,u=1- x2单调递增,则f(1-x2)单调递减.故f(1-x2)的单调递减区间为 -1,0. 答案:-1,0 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 反思感悟对于复合函数y=f(g(x),把函数y=f(g(x)通过中间变量t 分解为两个函数:外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x),内
7、层函数的值域 是外层函数定义域的子集.要先确定复合函数的定义域. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 1.若函数y=(2k+1)x+b在(-,+)上是减函数,则k的取值范围是( ) 答案:D 解析:当2k+10,即k- 时,函数y=(2k+1)x+b在(-,+)上是减函数. 2.函数y=f(x),x-4,4的图象如图所示,则函数y=f(x)的所有单调递 减区间为() A.-4,-2 B.1,4 C.-4,-2和1,4 D.-4,-21,4 答案:C 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 3.若函数f(x)=x2+3ax+5在区间(-,5)上单调递减,则实数a的取值范 围是() 答案:A 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 4.已知函数f(x)在区间-1,1上单调递增,且f(x-2)f(1-x),则x的取值 范围为. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测
