1、章末整合 专题一几种特殊函数模型的应用 1.二次函数 例1已知函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a0)在区间2,3上的值域为2,5. (1)求a,b的值; (2)若关于x的函数g(x)=f(x)-(m+1)x在区间2,4上为单调函数,求实 数m的取值范围. 解:(1)f(x)=a(x-1)2+2+b-a,且a0, 函数f(x)的图象开口向上且对称轴为直线x=1. 函数f(x)在2,3上单调递增. 方法技巧解决二次函数在某区间上的单调性、值域、最值问题,关 键是对函数图象的对称轴与给定区间的相对位置关系进行讨论,一 般分为对称轴在区间的左侧、内部、右侧三种情况求解. 变式训练1已知函数f(x
2、)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2- 2ax+a+2,其中aR. (1)当a=1时,f(-1)=; (2)若f(x)的值域为R,则a的取值范围是. 答案: (1)-2(2)(-,-22,+) 解析: (1)已知a=1,当x0时,f(x)=x2-2x+3. 函数f(x)是定义在R上的奇函数, f(-1)=-f(1)=-(1-2+3)=-2. (2)由f(x)是定义在R上的奇函数,可得f(0)=0. 又当x0时,f(x)图象的对称轴为直线x=a, 若f(x)的值域为R, a2或a-2, 即a的取值范围为(-,-22,+). 2.分段函数 取值范围是. 点拨解决有关分段函数的不等式问题
3、的一般方法是根据自变量所 在范围,及与之对应的函数,化成不含“f”的不等式求解,此时一般需 分多种情况进行讨论.若给定的分段函数具有一定的单调性,则可 利用单调性去掉符号“f”,运用这种方法求解往往比较简便. 变式训练2已知函数 (1)求实数m的值; (2)若函数f(x)在区间-1,a-2上单调递增,求实数a的取值范围. 解:(1)设x0, f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x. f(x)是奇函数,即f(-x)=-f(x), 当xf(x2), 即f(x)在1,2上是减函数. 当2x1x23时,4x1x29, f(x1)0)上最大值为3,最小值 为2,求实数a的取值范围. 解:f(
4、x)=x2-2x+3=(x-1)2+2. (1)当0a2.所以0a1不合题意. (2)当a1时,函数f(x)=(x-1)2+2在0,1上单调递减,在1,a上递增,故 最小值为f(1)=2. 又因为f(0)=3,所以f(0)f(a). 此时,函数f(x)=x2-2x+3在0,a上的最大值为3,最小值为2. 综上所述,a的取值范围是1a2. 专题三函数性质的综合应用 例6(1)定义在R上的函数f(x)在(-,2)上单调递增,且f(x+2)为偶函数, 则() A.f(-1)f(3) C.f(-1)=f(3)D.f(0)=f(3) (2)设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)的图象关于直线x= 对
5、称,则 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=. 答案: (1) A (2)0 解析: (1)因为f(x+2)为偶函数,所以其图象关于y轴对称,由于f(x+2) 的图象可由f(x)的图象向左平移2个单位长度得到,故f(x)的图象关 于直线x=2对称. 因为函数f(x)在(-,2)上是增函数,所以f(x)在(2,+)上单调递增,所 以f(-1)=f(5)f(4)=f(0)f(3). (2)由f(x)是R上的奇函数,得f(0)=0. f(x)的图象关于直线x= 对称, 于是f(x)=f(1-x), f(1)=f(0)=0,f(2)=f(-1)=-f(1)=0,f(3)=f(-2)=-f
6、(2)=0,f(4)=f(-3) =-f(3)=0,f(5)=f(-4)=-f(4)=0,从而f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0. 方法技巧偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 这一结论可以推广:f(a+x)=f(a-x)f(x)=f(2a-x)f(x)的图象关于 直线x=a对称;f(a-x)=-f(a+x)f(x)的图象关于点(a,0)对称. 变式训练4已知函数y=f(x)(x0)是奇函数,且当x(0,+)时单调递 增,若f(1)=0,求不等式f 0的解集. 解:f(x)是奇函数,且f(1)=0,f(x)在(0,+)上单调递增, f(-1)=-f(1)=0,且f(x)在(-,0)上单调递增.
