1、第 重难点：重难点：1.会用图形说明空间向量加法、减法、数 乘向量及它们的运算律. 2.能运用空间向量的运算意义及运算律解 决简单的立体几何问题. 与平面向量一样：与平面向量一样： 一、空间向量的概念 (1)向量:在空间中,具_和_的量. (2)向量a的长度或模:表示向量a的有向线段的长度,记作|a|. （3）零向量：长度为_的向量。（手写记作 ） 单位向量：长度为_的向量。 （4)相等向量：在空间，方向相同且模相等的向量。 （5）相反向量：长度_方向_的向量。 (6)共线向量或平行向量:如果表示若干空间向量的有向线段所在 的直线互相平行或重合。 规定:零向量与任意向量共线. 0 大小方向 做
2、一做1、正方体ABCD - ABCD中与向量相等的向量有_ 1 相等相反 0 3 已知空间向量 ，以任意点O为起点 ，作向量 ，我 们就可以把他们平移到同一平面 ，这样任意的两个空间向量的运算就可 以转化为平面向量运算。由此，我们把平面向量的运算推广到空间，定义空 间向量的加减法以及数乘运算： b, abOBaOA , _0 _0 _0)3( _)2( _1 a OAa OAa OCOAba ABOAba 时，当 时，当 时，当 ）（ OB CA MN PQ 0 A.1个B.2个 C.3个D.4个 【例1】 如图,已知长方体ABCD-ABCD,化简下列向量表达式, 并在图中画出化简结果的向量.
3、 反思运用法则进行向量的线性运算时要注意关键的要素: (1)向量加法的三角形法则:“首尾相接,指向终点”; (2)向量减法的三角形法则:“起点重合,指向被减向量”; (3)平行四边形法则:“起点重合”; (4)多边形法则:“首尾相接,指向终点”. 运算律 与平面向量一样，空间向量的线性运算满足以下运算律（(R,R): (1)结合律(a+b)+c=a+(b+c); (2)交换律a+b=b+a. （3）分配律 (a+b)=a+b,(+)a=a+a(R,R); 说明:空间向量的加法、减法运算满足平行四边形法则或三角形法则,并且空间 向量的加法满足交换律和结合律. 答案:0 反思数乘向量的运算一般是结
4、合所给几何体,联系数乘向量的几 何意义转化为一个新的向量.若同时涉及几个数乘向量,则还要注 意数乘向量运算律的运用. 共线向量定理共线向量定理: 空间两个向量a与b(b0)共线的充要条件是存在 实数,使得a=b. 说明:向量共线的充要条件强调b为非零向量,若b为零向量,则 a=b中的a只能为0,没有研究的意义. ?baba baba 有什么位置关系时，与 来，有什么位置关系？反过，如果与对任意两个空间向量 【做一做3】 若非零空间向量e1,e2不共线,则使2ke1-e2与 e1+2(k+1)e2共线的k的值为. 解析:由题可知,2ke1-e20,且e1+2(k+1)e20. 若2ke1-e2与
5、e1+2(k+1)e2共线,则存在实数, 使得2ke1-e2=e1+2(k+1)e2成立. 解:如图,取AC的中点记为G,连接EG,FG, 思考：我们知道，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向 量既可能是共面的，也可能是不共面的。那么，什么情况下三个 空间向量共面呢？ 如果直线OA平行于平面或在平面内，那么称向量a 平行于平面。平行于同一平面的向量，叫做共面向量。 位置关系？反过来呢？ 有什么与向量那么向量如果间向量对，对两个不共线的空 是唯一确定的有序实数其中可以写成平面内任意一个向量 可知，这个，由平面向量基本定理共线的向量对于平面内任意两个不 bapybxapba yxybxapp
6、ba , ),(, , 探究： ybxapyx bapba ），使有序实数对（充要条件是存在唯一的 共面的与向量不共线，那么向量两个向量结论：可以发现，如果 , , 四点共面。，求证 量，若是空间两个不共线的向做一做：设 DCBAeeAD eeACeeABee ,33 ,82, 21 212121 ., , , 四点共面求证： 使在四条射线上分别取点 作射线外一点，过平面如图，已知平行四边形 HGFE k OD OH OC OG OB OF OA OE HGFE ODOCOBOAOACABCD 题型四、向量共面问题题型四、向量共面问题 四点共面。，从而过同一点 共面，又可知，由向量共面的充要条件 因此 是平行四边形，所以因为四边形 ，所以证明：因为 HGFEEEG EFEHEGEFEH EHEFOEOHOEOF OAODOAOBkADABk ACkOAkOCkOEOGEG ADABAC ABCD ODkOHOCkOGOBkOFOAkOE k OD OH OC OG OB OF OA OE , , )()( ,., DCBAABCD 1.设a,b是两个不共线的向量,R,若a+b=0,则() A.a=b=0B.=0 C.=0,b=0D.=0,a=0 解析:a,b是两个不共线的向量, a0,b0, 故只有B正确. 答案:B
