1、7.1 复数的概念复数的概念 知识梳理知识梳理 1、复数的有关概念 (1)复数的概念：形如 abi(a，bR)的数叫复数，其中 a，b 分别是它的实部和虚部若 b0，则 abi 为实数，若 b0，则 abi 为虚数，若 a0 且 b0，则 abi 为纯虚数 (2)复数相等：abicdiac，bd(a，b，c，dR) (3)共轭复数：abi 与 cdi 共轭ac，bd(a，b，c，dR) (4)复数的模：向量OZ 的模 r 叫做复数 zabi 的模，即|z|abi| a2b2. 2、复数的几何意义 复数 zabi复平面内的点 Z(a，b)平面向量OZ (a，b) 知识典例知识典例 题型一 复数的
2、概念 例 1实数m取怎样的值时，复数 2 2153mmzim是： （1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？ 【答案】（1）5m 或3m ；（2）5m 且3m ；（3）3m. 【分析】 根据实部和虚部的不同取值决定何时是实数、虚数和纯虚数. 【详解】 （1）若 2 2150mm ，则z为实数，此时3m 或者5m . （2）若 2 2150mm ，则z为虚数，此时3m 且5m . （3）若 2 30 2150 m mm ，则z为纯虚数，此时3m. 巩固练习巩固练习 若复数 2 (32)(1)aaai是纯虚数，则实数a的值为（ ） A1B2C1 或 2D-1 【答案】B 【解析】 由得12a 或，
3、且101aa 得，2a 题型二 基本概念 例 2（多选）给出下列命题，其中是真命题的是（） A纯虚数z的共轭复数是zB若 12 0zz，则 2 1 zz C若 12 zzR，则 1 z与 2 z互为共轭复数 D若 12 0zz，则 1 z与 2z 互为共轭复数 【答案】AD 【分析】 A根据共轭复数的定义判断.B.若 12 0zz，则 12 zz， 1 z与 2z 关系分实数和虚数判断.C.若 12 zzR，分 12 ,z z 可能均为实数和 1 z与 2 z的虚部互为相反数分析判断.D. 根据 12 0zz，得到 12 zz，再用共轭复数的定义判断. 【详解】 A根据共轭复数的定义，显然是真
4、命题； B若 12 0zz，则 12 zz，当 12 ,z z均为实数时，则有 2 1 zz，当 1 z， 2 z是虚数时， 2 1 zz，所以 B 是假命题； C若 12 zzR，则 12 ,z z可能均为实数，但不一定相等，或 1 z与 2 z的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以 C 是假命题； D. 若 12 0zz，则 12 zz，所以 1 z与 2z 互为共轭复数，故 D 是真命题. 故选：AD 巩固练习巩固练习 （多选）已知复数 0 12zi （i 为虚数单位）在复平面内对应的点为 0 P，复数 z 满足|1| |zzi，下列结论正确的 是（） A 0 P点的坐标为(1,2)B
5、复数 0 z的共轭复数对应的点与点 0 P关于虚轴对称 C复数 z 对应的点 Z 在一条直线上D 0 P与 z 对应的点 Z 间的距离的最小值为 2 2 【答案】ACD 【分析】 根据复数对应的坐标，判断 A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断 B 选项的正确性.设 出z，利用|1| |zzi，结合复数模的运算进行化简，由此判断出Z点的轨迹，由此判读 C 选项的正确性.结合 C 选项的分析，由点到直线的距离公式判断 D 选项的正确性. 【详解】 复数 0 12zi 在复平面内对应的点为 0(1,2) P，A 正确； 复数 0 z的共轭复数对应的点与点 0 P关于实轴对
6、称，B 错误； 设( ,)zxyi x yR，代入|1| |zzi，得|(1)(1)i|xyixy，即 2222 (1)(1)xyxy ，整 理得，y x ；即 Z 点在直线y x 上，C 正确； 易知点 0 P到直线y x 的垂线段的长度即为 0 P、Z 之间距离的最小值，结合点到直线的距离公式可知，最小值为 122 22 ，故 D 正确. 故选：ACD 题型三 模 例 3已知复数12zmi m R，且2z ，则实数m的取值范围是_. 【答案】 33 , 22 【分析】 根据复数的模长公式结合条件2z 可得出关于实数m的不等式，解出即可. 【详解】 1 2zmi mR ，且 2 1 42zm
7、，解得 33 22 m. 因此，实数m的取值范围是 33 , 22 . 故答案为： 33 , 22 . 巩固练习巩固练习 若复数(2)(1) ()zaai aR对应的点位于第二象限，则z的取值范围是_. 【答案】 3 2 ,3 2 【分析】 根据复数的几何意义，可知复数(2)(1) ()zaai aR对应的点的坐标为21aa（,），再根据该点位于第二象 限，得 20 10 a a 即1a2 ，而 22 |(2)(1)zaa 2 225aa 2 19 2 22 a ，再用二次函数法 求其取值范围. 【详解】 因为复数(2)(1) ()zaai aR对应的点的坐标为21aa,， 又因为该点位于第二
8、象限， 所以 20, 10, a a 解得1a2 . 所以 22 |(2)(1)zaa 2 225aa 2 19 2 22 a ， 因为1a2 ， 所以 3 2 |,3 2 z . 故答案为： 3 2 ,3 2 题型四 几何意义 例 4在复平面内，已知O为坐标原点，点 1 Z、 2 Z分别对应复数 1 43zi， 2 23zai aR，若 12 OZOZ ， 则a _. 【答案】 9 8 【分析】 根据复数的几何意义求出向量 1 OZ 、 2 OZ 的坐标，然后由 12 OZOZ ，得出 12 0OZ OZ ，利用平面向量数量积的 坐标运算可求出实数a的值. 【详解】 因为 1 43zi， 2
9、 23zai aR，所以 1 4,3OZ ， 2 2 , 3OZa . 因为 12 OZOZ ，则 12 890OZ OZa ，即 9 8 a . 故答案为： 9 8 . 巩固练习巩固练习 已知(3)(1)zmmi在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是 A( 31) ，B( 13) ， C(1,)D(3) ， 【答案】A 【解析】 试题分析： 要使复数z对应的点在第四象限,应满足 30 10 m m ，解得 31m ，故选 A. 巩固提升巩固提升 1、复数13iz ，则z的模等于（） A2B4C 10 D2 2 【答案】C 【分析】 由复数z，求得 1 3iz ，结合复数模的计
10、算公式，即可求解. 【详解】 由题意，复数13iz ，可得 1 3iz ，所以 22 1( 3)10z . 故选：C. 2、若复数 (1)(1)zmmi (i 为虚数单位)是实数，则实数m的值为（） A0B 1C2D3 【答案】B 【分析】 根据实数的充要条件，得出关于m的关系式，求解得出结论. 【详解】 z是实数， 10m ， 1m . 故选：B. 3、已知复数1izx（i为虚数单位，xR）在复平面内对应的点在第二象限，那么x的取值范围是（） A, 1 B1,0C,2D0,1 【答案】A 【分析】 由复数得对应点坐标，再由点在第三象限得不等关系 【详解】 复数1izx（i为虚数单位，xR）对
11、应点坐标为(1,1)x 点在第二象限，则10 x，解得1x ，即x的取值范围是, 1 . 故选：A. 4、复数2i的实部与虚部分别是（） A0，2B0，0C0，2D2，0 【答案】C 【解析】 【分析】 根据复数实部和虚部的定义即得解. 【详解】 2i的实部为 0，虚数部为2. 故选:C 5、已知复数 2 12zaai aR，则“1a ”是“z为纯虚数”的（） A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 解出复数 2 12zaai为纯虚数 a 的取值范围，即可得解. 【详解】 复数 2 12zaai为纯虚数，则 2 10a ，且20a，解得1a ，所
12、以“1a ” 是“z为纯虚数”的充分不必要条件. 故选：A. 6、复数 13 i 25 的共轭复数是（） A 13 i 25 B 13 i 25 C 31 i 52 D 31 i 52 【答案】A 【分析】 根据共轭复数定义，即可求解. 【详解】 由共扼复数的定义，知 13 i 25 的共轭复数为 13 i 25 . 故选:A. 7、在复平面内,O 为坐标原点,向量OB 对应的复数为34i(i 为虚数单位),若点 B 关于原点的对称点为 A,点 A 关于 虚轴的对称点为 C,则向量OC 对应的复数为_. 【答案】34i 【分析】 首先求得B点坐标，根据对称性，依次求得,A C的坐标，从而求得向
13、量OC 对应的复数. 【详解】 由题知,点 B 的坐标为(3, 4),所以点 A 的坐标为()3,4,所以点 C 的坐标为(3,4),所以向量OC 对应的复数为3+4i. 故答案为：34i 8、已知复数 123 12 ,1,32zi zi zi ，它们所对应的点分别为 A，B，C若OC xOAyOB ，则x y 的 值是 【答案】-3 【解析】 解：由题意可得（3，-2）=x（-1，2）+y（-1，-1）=（-x-y，2x-y）， -x-y=3，2x-y=-2， 解得 x=- 5 3 ，y=- 4 3 ，x+y=-3， 9、当m为何值时，复数 22 2328()xmmmm i m R是 （1）
14、实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？ 【答案】（1）4m （2）3m或1m 且4m （3）1m 或3m 【分析】 （1）根据实数的定义，由实部中根式内部的代数式大于等于 0，虚部等于 0，列式求解； （2）根据虚数的定义，由实部中根式内部的代数式大于等于 0，虚部不等于 0，列式求解； （3）根据纯虚数的定义，由实部中根式内部的代数式等于 0，虚部不等于 0，列式即可求解 【详解】 （1）由题意知 2 2 230 280 mm mm ，所以4m ， 故当4m 时，复数z为实数. （2）由题意得 2 2 230 280 mm mm ，即 31 24 mm mm 或 且 ， 所以3m或1m 且4m
15、 ， 故当3m或1m 且4m 时，z为虚数. （3）由题意得 2 2 230 280 mm mm ，所以 13 24 mm mm 或 且 ， 所以1m 或3m， 故当1m 或3m时，复数z为纯虚数. 10、已知m为实数，设复数 22 56215zmmmmi. （1）当复数z为纯虚数时，求m的值； （2）设复数z在复平面内对应的点为, x y，若满足70 xy，求m的取值范围. 【答案】（1）2m （2）4, 【分析】 （1）由复数分类可得； （2）得出复数对应点的坐标，代入直线方程解之可得 【详解】 （1）由题意，得 2 2 560, 2150, mm mm 解得 23, 53, mm mm 或 且 所以2m . （2）复数z在复平面内对应的点的坐标为 22 (56,215)mmmm， 点坐标满足70 xy，则 22 5621570mmmm，解得4m ，所以m的取值范围为4,.
