1、8.2 立体图形的直观图立体图形的直观图 知识梳理知识梳理 1、直观图 定义：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图 画法：斜二测画法和正等测画法 2、斜二测画法规则 （1）在已知图形中取互相垂直的x轴或y轴，两轴相交于点 O。画直观图时，把它们画成对应的 x 轴与 y 轴，两轴 相交于点 O ，且使 45yOx（或 135），它们确定的平面表示水平面 （2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x 轴与 y 轴的线段 （3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半 知识典例知识典例 题型一 直观图的步骤
2、 例 1用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是（ ） A原来相交的仍相交 B原来垂直的仍垂直 C原来平行的仍平行 D原来共点的仍共点 【答案】B 【分析】 根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则，可得结论 【详解】 解：根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则，与x轴平行的线段长度不变，与y轴平行的线段长度变 为原来的一半，且倾斜45，故原来垂直线段不一定垂直了； 故选：B 巩固练习巩固练习 利用斜二测画法得到的：三角形的直观图是三角形；平行四边形的直观图是平行四边形；正方形的直观图是正 方形；菱形的直观图是菱形.以上结论正确的是（） ABCD
3、【答案】A 【分析】 根据斜二测画法的规则，平行关系不变，平行 x 轴的线段长度不变，平行 y 轴的线段长度减半，直角变为45或135判 断. 【详解】 由斜二测画法的规则可知： 因为平行关系不变，所以正确； 因为平行关系不变，所以是正确； 因为直角变为45或135，所以正方形的直观图是平行四边形，所以错误； 因为平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴的线段长度不变，所以是错误， 故选：A. 题型二 画直观图 例 2画出图中水平放置的四边形ABCD的直观图. 【答案】图见解析. 【分析】 在四边形ABCD中，过A作出x轴的垂直确定坐标，进而利用斜二测画法画出直观图. 【详解】 由斜二测画法：纵向
4、减半，横向不变；即可知 A、C 在对应点 1 (3,1),(0, ) 2 AC，而 B、D 对应点,B D 位置不变，如 下图示： 巩固练习巩固练习 用斜二测画法画出如图所示的水平放置的四边形OBCD的直观图. 【答案】见解析 【分析】 根据斜二测画法的规则作衅 【详解】 （1）过点C作CEx轴，垂足为E，如图所示. （2） 画出相应的 x 轴、 y 轴， 使45x O y ， 如图所示， 在 x 轴上取点 B ， E ， 使得O B OB ，O E OE ； 在 y 轴上取点D，使得 1 2 O DOD ；过点 E 作/E Cy 轴，使 1 2 E CEC . （3）连接BC ，C D，并擦
5、去 x 轴、 y 轴及其他一些辅助线，如图所示，四边形O BC D 就是所求的直观图. 题型三 求解图形面积 例 3一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且此梯形的面积为 2，则原梯形的面积为_. 【答案】4. 【分析】 根据斜二测画法的原理将图形还原，平面图是一个直角梯形，由题，得平面图中梯形的高 OA 的长度是直观图中梯形 高的2 2倍，由此即可得到本题答案. 【详解】 由斜二测画法原理知，平面中的图形与直观图中的图形上下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高，其高的 关系是这样的： 平面图中的高 OA 是直观图OA长度的 2 倍， 在直观图中， 易得OA的长度是直观图中梯形的高的
6、2倍， 由此平面图中梯形的高 OA 的长度是直观图中梯形高的2 2倍，故其面积是梯形COA 面积的2 2倍，因为梯形 COA 的面积为 2，所以原梯形的面积是 4. 故答案为：4 巩固练习巩固练习 已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为 4，则此正方形的面积为_. 【答案】16 或 64. 【分析】 分边长为 4 的边若与 x 轴平行，与 y 轴平行两种情况讨论，再根据直观图的画法，即得解. 题型四 直观图中的线段长度 例 4如图所示为水平放置的正方形ABCO，在平面直角坐标系xOy中点B的坐标为 2,2，用斜二测画法画出它 的直观图A B C O ，则点 B 到 x 轴的距离
7、为_. 【答案】 2 2 . 【分析】 根据斜二测画出，画出直观图A B C O ，计算，求解即可. 【详解】 在直观图A B C O 中， 1BC ， 45B C x ，故点 B 到 x 轴的距离为 2 2 . 故答案为： 2 2 巩固练习巩固练习 如图所示，用斜二测画法作水平放置的ABC的直观图，得 111 A B C，其中 1111 ABBC， 11 AD是 11 BC边上的中线， 则由图形可知下列结论中正确的是_.（填序号）ABBCAC；ADBC；ACADABBC； ACADABBC. 【答案】 【分析】 还原ABC，可知2ABBC且 90ABC ，进而通过图形可判断出结果. 【详解】
8、 由直观图画出ABC如图所示 其中2ABBC，错误； 90ABC ，错误； ACADABBC，正确，错误 故答案为： 巩固提升巩固提升 1、如图所示，正方形O A B C 的边长为 1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ） A6B8C2 3 2 D2 2 3 【答案】B 【分析】 根据题目给出的直观图的形状，画出对应的原平面图形的形状，求出相应的边长，则可得结果. 【详解】 作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段/ /C Bx 轴， 所以在原图形中对应的线段平行于x轴且长度不变， 点C和B在原图形中对应的点C和B的纵坐标是O B 的 2 倍，则 2 2OB ，所以3OC
9、 ，则四边形OABC的长 度为 8 故选：B. 2、OAB的直观图如图所示，其中1O AO B，则在原图中边AB的长为（） A 2 B 3 C2D 5 【答案】D 【分析】 由直观图确定原图形中三角形边的关系及长度，然后计算 【详解】 在原图形中1OAO A ，22OBO B ，OAOB， 2222 125ABOAOB 故选：D. 3、如图，O A B是水平放置的OAB利用斜二测画法得到的直观图，其中6,2O AO B，则OAB的面积 是（） A12B6 2C6D3 2 【答案】A 【分析】 根据斜二测画法知OAB为直角三角形,再结合长度关系，得到OAB的面积. 【详解】 根据斜二测画法知OA
10、B为直角三角形，90 ,6,2224OAOBBAOOB，故OAB的面积 1 6 412 2 S . 故选：A 4、下列选项中的ABC 均是水平放置的边长为 1 的正三角形，在斜二测画法下，其直观图不是全等三角形的一组是 （） AB CD 【答案】C 【分析】 根据平面图形直观图的斜二测画法规则判断，首先判断与坐标平行的线段长度的变化如三角形的底和高 【详解】 C 中，前者在斜二测画法下所得的直观图中，底边AB不变，高变为原来的 1 2 ，后者在斜二测画法下所得的直观图中， 高OC不变，底边AB变为原来的 1 2 ，故 C 中两个图形在斜二测画法下所得直观图不全等. 故选：C. 5、用斜二测画法
11、得到一个水平放置的平面图形OABC的直观图为如图所示的直角梯形OABC ，其中梯形的上底长 是下底长的 1 3 ，若原平面图形OABC的面积为3 2，则OA 的长为（） A2B 2 C 3 D 3 2 【答案】D 【分析】 根据斜二测画法分析直观图与原图形中线段的关系确定 【详解】 解：设OAx ，则 2O Bx ，在原图形中 22 2OBO Bx ， 3 x BCBC ，OAO Ax ，OB为原图 形中梯形的高， 面积为 11 () 2 23 2 23 Sxxx，解得 3 2 x ， 故选：D. 6、若一个三角形采用斜二测画法作直观图，则其直观图的面积是原来三角形面积的（）倍. A 2 4
12、B 2 2 C 1 2 D2 【答案】A 【分析】 以三角形的一边为 x 轴，高所在的直线为 y 轴，由斜二测画法看三角形底边长和高的变化即可 【详解】 以三角形的一边为 x 轴，高所在的直线为 y 轴，由斜二测画法知， 三角形的底长度不变，高所在的直线为 y轴，长度减半， 故三角形的高变为原来的 12 sin45 24 ， 故直观图中三角形面积是原三角形面积的 2 4 . 故选：A. 7、关于“斜二测画法”,下列说法不正确的是() A原图形中平行于 x 轴的线段,其对应线段平行于x轴,长度不变 B原图形中平行于 y 轴的线段,其对应线段平行于y轴,长度变为原来的 1 2 C在画与直角坐标系x
13、Oy对应的坐标系x O y 时,x O y 必须是 45 D在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同 【答案】C 【分析】 根据斜二测画法的方法分析求解即可. 【详解】 根据斜二测画法的规则,平行于x 轴或在x 轴上的线段其长度在直观图中不变,平行于y 轴或在y 轴上的线段其长度在直 观图中变为原来的 1 2 ,并且45xO y 或 135, 故选：C. 8、（多选）利用斜二测画法得到：水平放置的三角形的直观图是三角形；水平放置的平行四边形的直观图是平行 四边形；水平放置的正方形的直观图是正方形；水平放置的菱形的直观图是菱形；以上结论正确的是（） （多 选） ABC D 【答案】AB
14、 【分析】 根据斜二测画法的概念选择 【详解】 水平放置的n边形的直观图还是n边形，故正确；因为斜二测画法是一种特殊的平行投影画法，所以正确；因为 斜二测画法中平行于纵轴的线段长度减半，所以错误， 故选：AB. 9、水平放置ABC的斜二测直观图如图所示，已知 3AC ，2B C ，则AB边上的中线的长度为_. 【答案】 5 2 【分析】 由已知中直观图中线段的长，可分析出ABC实际为一个直角边长分别为3、4的直角三角形，进而根据勾股定理求 出斜边，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案 【详解】 在直观图中， 3AC ，2B C ，所以在Rt ABC中，3AC ，4BC ，C为直角， 22 5ABACBC ，因此，AB边上的中线的长度为 15 22 AB . 故答案为： 5 2 . 10、一个平面四边形用斜二测画法得到的直观图是一个边长为 2的正方形，则原平面四边形的面积为_ 【答案】4 2. 【分析】 根据斜二测画法的直观图和原图的面积比为定值，即可求出 【详解】 因为一个平面四边形用斜二测画法得到的直观图是一个边长为 2的正方形，故其直观图的面积为 2S，又直观图 与原图面积之比为 2 4 S S ，所以原平面四边形的面积为 4 2S 故答案为： 4 2
