1、8.2空间几何体的直观图空间几何体的直观图 讲课人：邢启强 2 讲课人：邢启强 3 照相、绘画之所以有空间视觉效果，主要处决照相、绘画之所以有空间视觉效果，主要处决 于线条、明暗和色彩，其中对线条画法的基本于线条、明暗和色彩，其中对线条画法的基本 原理是一个几何问题，我们需要学习这方面的原理是一个几何问题，我们需要学习这方面的 知识知识. . 人的视觉、人的视觉、 照片、美术照片、美术 作品都具有作品都具有 中心投影的中心投影的 特点特点中心中心 投影的投影投影的投影 线相交于一线相交于一 点点 新课引入新课引入 讲课人：邢启强 4 新课引入新课引入 如何在平面上表示立体的图形呢? 讲课人：邢
2、启强 5 前面我们认识了柱体、锥体、台体、球以及简单组合体 的结构特征.为了将这些空间几何体画在纸上，用平面图形表 示出来，使我们能够根据平面图形想象空间几何体的形状和 结构，这就需要学习直观图的有关知识. 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的 图形.画立体图形的直观图，实际上是把不完全在同一平面内 的点的集合，用同一平面内的点表示.因此，直观图往往与立 体图形的真实形状不完全相同。在立体几何中，立体图形的 直观图通常是在平行投影下得到的平面图形. 要画立体图形的直观图，首先要学会画水平放置的平面图 形. 新课引入新课引入 在初中，我们已经学习过投影。一个物体的投影，不仅与 这个物
3、体的形状有关，而且还与投影的方式和物体与投影 面的位置关系有关.如果一个矩形垂直于投影面，投影线不 垂直于投影面，则矩形的平行投影是一个平行四边形 讲课人：邢启强 6 中心投影中心投影 平行投影平行投影 新课引入新课引入 我们把光由一点向外散射形成的投影叫做我们把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影中心投影， 把在一束平行光线照射下形成的投影叫做把在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影平行投影， 那么用灯泡照射物体和用手电筒照射物体形成的投影那么用灯泡照射物体和用手电筒照射物体形成的投影 分别是哪种投影？分别是哪种投影？ 利用平行投影，人们获得了画直观 图的斜二测画法 讲课人：邢启强 7
4、 什么叫直观图什么叫直观图 ? 把空间图形画在平面内，使得既富有把空间图形画在平面内，使得既富有 立体感，又能表达出图形各主要部分立体感，又能表达出图形各主要部分 的位置关系和度量关系的图形的位置关系和度量关系的图形 B C D A B C D A 新课引入新课引入 x y OA B C D EF M N x y 例用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图例用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图 ABCDEF 1 在六边形中，取AD所在的直线为X轴， 对称轴MN所在直线为Y轴,两轴交于点O。画相应 的X 轴和Y 轴，两轴相交于点O ,使x Oy =45 O 1、探求平面图形的直观图的画法、探求平
5、面图形的直观图的画法 典型例题典型例题 x y OA B C D EF M N x y O A B C D E F M N 1 . 2 O MNN 2 以为中心,在X 上取A D =AD，在y 轴上取 M N =以点为中心,画B C 平行于x 轴, 并且等于BC;再以M 为中心,画E F 平行于x 轴, 并且等于EF. 典型例题典型例题 x y OA B C D EF M N x y O A B C D E F M N 3 连接A B ,C D ,E F ,F A ,并擦去辅助线x 轴和y 轴, 便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A B C D E F 典型例题典型例题 讲课人：邢启强
6、 11 、建系： 在已知图形中取互相垂直的的在已知图形中取互相垂直的的x轴和轴和y轴，得到直角轴，得到直角 坐标系坐标系xoy，直观图中画成斜坐标系，直观图中画成斜坐标系xoy，两轴的，两轴的 夹角为夹角为45 (或或135)，它确定的平面表示水平平面，它确定的平面表示水平平面 、平行不变： 已知图形中平行于已知图形中平行于x轴或轴或y轴的线段，在直观图中分轴的线段，在直观图中分 别画成平行于别画成平行于x轴或轴或y的线段。的线段。 、长度规则： 已知图形中平于轴的的线段，在直观图中保持长度已知图形中平于轴的的线段，在直观图中保持长度 不变；平行于轴的线段，长度变为原来的一半。不变；平行于轴的
7、线段，长度变为原来的一半。 斜二测画法的步骤：斜二测画法的步骤： 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 12 2、画水平放置的圆的直观图. C O x y D AB E F G H x O y AB CE D F 练习：根据斜二测画法，画出水平放置的 正方形、正三角形的直观图 学习新知学习新知 例例2.用斜二测画法画长用斜二测画法画长,宽宽,高分别是高分别是 6cm,4cm,3cm的长方体的直观图的长方体的直观图 1 ,90.xOz 画轴.画x轴,y轴,z轴,三轴交于点O, 使 xOy=45 x o y z N M P Q A D C B 6 2 2 MN PQ 画 底 面 .以 O为 中 心 ,
8、在 x轴 上 取 线 段 MN,使 MN= cm;在 轴 上 取 线 段 PQ,使 PQ= cm;分 别 过 点和作 y轴 的 平 行 线 ,过 点和作 x轴 的 平 行 线 ,设 它 们 的 交 点 分 别 为 A,B, C,D,四 边 形 ABCD就 是 长 方 形 的 底 面 ABCD 例例2.用斜二测画法画长用斜二测画法画长,宽宽,高分高分 别是别是6cm,4cm,3cm的长方体的直观图的长方体的直观图 x o y z N M P Q A D C A1 B B1 C1 D1 3 画侧棱.过A,B,C,D,各点分别作z轴的平行线,并在这些 平行线上分别截取3cm长的线段AA,BB,CC,
9、DD. , 4 成图.顺次连接A,B,C,D,并加以整理 去掉辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线 就可得到长方体的直观图. 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 15 规则： （1 1）在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴）在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴oxox、 oyoy, ,再取再取ozoz轴，使轴，使xozxoz=90=900 0，且，且yozyoz=90=900 0 ； （4 4）已知图形中平行于）已知图形中平行于x x轴和轴和z z轴的线段，在直观轴的线段，在直观 图中保持长度不变；平行于图中保持长度不变；平行于y y轴的线段，长度为原轴的线段，长度为原 来的一半来的一半 （2
10、2）画直观图时，把它们画成对应的）画直观图时，把它们画成对应的 轴，使轴，使 所确定所确定 的平面表示水平平面；的平面表示水平平面； , , zoyoxo .90,13545 000 yoxzoxyox或 （3 3）已知图形中平行于）已知图形中平行于x x轴、轴、y y轴或轴或z z轴的线段，在轴的线段，在 直观图中分别画成平行于直观图中分别画成平行于 轴轴 轴或轴或 轴的线段；轴的线段； x y z 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 16 例3 已知圆柱的底面半径为1cm,侧面母线长 3cm,画出它的直观图. 解：(1)画轴.如图,画x轴、z轴，使xOz=90. (2)画下底面.以O为中点，
11、在x轴上取线段AB,使OA=OB=1cm.利用 椭圆模板画椭圆，使其经过A,B两点.这个椭圆就是圆柱的下底面. (3)画上底面.在Oz上截取点O,使OO=3cm,过点O作平行于轴Ox的轴 Ox.类似下底面的作法作出圆柱的上底面. (4)成图.连接AA,BB,整理得 到圆柱的直观图. 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 17 对于圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，再借 助于圆锥的轴确定圆锥的顶点，最画出两侧的两 条母线（图8.2-8). 学习新知学习新知 画球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一 个圆，同时还经常画出经过球心的截面圆，它们的 直观图是椭圆，用以衬托球的立体性（图8.2-9).
12、x y O O x y Z 典型例题典型例题 画法：如图,先画出圆柱的上下底面， 例4 某简单组合体由上下两部分组成，下 部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的 底面与圆柱的上底面重合.画出这个组合体 的直观图. 分析：画组合体的直观图，先要 分析它的结构特征，知道其中有 哪些简单几何体以及它们的组合 方式，然后再画直观图，本题中 没有尺寸要求，画图时只需选择 合适的大小，表达出该几何体的 结构特征就可以了. 再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定 圆锥的顶点， 最后画出圆柱和圆锥的母线，并标注相关字母，就得到 组合体的直观图. 讲课人：邢启强 19 （2）一个水平放置的平面图 形的斜二测直观图是一个底
13、 角为45，腰和上底长均为1 的等腰梯形，则该平面图形 的面积等于（ ） D 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 20 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 21 用斜二测画法画水平放置的平面图形 (1)步骤：画轴、取点、成图 (3)画空间图形的直观图时，只需增加一个竖直的 z轴， 图形中平行于 z 轴的线段，在直观图中仍 平行于 z轴且长度保持不变 z轴与x轴和y轴所 在平面 其规则是：其规则是： (1)原图形中原图形中x轴、轴、y轴、轴、z轴两两垂直，直观图中，轴两两垂直，直观图中，x轴、轴、 y轴的夹角为轴的夹角为 ， (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分原图形中平行于坐标轴的线段，
14、直观图中仍分 别别 平行于平行于x轴和轴和z轴的线段在直观图中保轴的线段在直观图中保 持原长度持原长度 ，平行于，平行于y轴的线段长度在直观图轴的线段长度在直观图 中中 与坐标轴不平行的线段，可通过与坐标轴不平行的线段，可通过 确定端点的办法来解决确定端点的办法来解决 45(或或135) 平行于坐标轴平行于坐标轴 不变不变 变为原来的一半变为原来的一半 垂直垂直 课堂小结课堂小结 讲课人：邢启强 22 直观图最常用的画法是斜二测法，由其规则能画出水 平放置的的直观图，其实质就是在坐标系中确定点的位置 的画法，其基本步骤如下： 、建系： 在已知图形中取互相垂直的的轴和轴,得到 直角坐标系XOY，直观图中画成斜坐标系， 两轴的夹角为45，轴水平 在空间坚直方向上的 线段画成垂直于轴需要画立体图时，过点画 轴，且使其垂直于轴 、平行不变： 已知图形中平行于轴或轴的线段，在 直观图中分别画成平行于轴或的线段。 、长度规则： 已知图形中平于轴的的线段，在直观图 中保持长度不变；平行于轴的线段，长度变为原来的 一半。 在空间坚直方向上的长度也不变。 课堂小结课堂小结
