1、第2课时习题课充分条件与必 要条件 的综合应用 探究一探究二素养形成当堂检测 充要条件充要条件的证明的证明 例1已知ab0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0. 分析第一步,审题,分清条件与结论:在“p是q的充要条件”中p是条 件,q是结论;在“p的充要条件是q”中,p是结论,q是条件.本题中条件 是a3+b3+ab-a2-b2=0,结论是“ab0时,a+b=1”. 第二步,根据要求确定解题步骤.分别证明“充分性”与“必要性”,先 证必要性:“结论条件”;再证充分性:“条件结论”. 探究一探究二素养形成当堂检测 证明:(必要性) a+b=1,a+b-1=0. a3+b
2、3+ab-a2-b2 =(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2) =(a+b-1)(a2-ab+b2)=0. (充分性) a3+b3+ab-a2-b2=0, (a+b-1)(a2-ab+b2)=0. 又ab0,a0,且b0. a+b-1=0,即a+b=1. 综上可知,当ab0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0. 探究一探究二素养形成当堂检测 反思感悟 充要条件的证明 (1)充要条件的证明问题,关键是理清题意,认清条件与结论分别是 什么. (2)证明p是q的充要条件,既要证明“pq”为真,又要证明“qp”为真, 前者证明的是充分性,后者证明的是必要性. (3)
3、证明p的充要条件是q,既要证明“pq”为真,又要证明“qp”为真, 前者证明的是必要性,后者证明的是充分性. 探究一探究二素养形成当堂检测 变式训练求证:方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是 a+b+c=0. 证明:(必要性) 关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1, x=1满足方程ax2+bx+c=0. a12+b1+c=0,即a+b+c=0. (充分性) a+b+c=0,c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中,可得ax2+bx-a-b=0, 即(x-1)(ax+a+b)=0. 因此,方程有一个根为x=1.故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1 的充要条件是a
4、+b+c=0. 探究一探究二素养形成当堂检测 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围根据充分条件、必要条件求参数的取值范围 例2已知p:-4x-a4,q:(x-2)(x-3)0,且q是p的充分条件,则实数a的取 值范围为() A.(-1,6) B.-1,6 C.(-,-1)(6,+) D.(-,-16,+) 分析可将p和q中所涉及的变量x的取值范围解出来,根据充分条件, 转化为其构成的集合之间的包含关系,建立关于参数a的不等式组, 从而求得实数a的取值范围. 探究一探究二素养形成当堂检测 答案:B 解析:设q,p表示的范围分别为集合A,B, 则A=(2,3),B=(a-4,a+4). 所以-1
5、a6.故选B. 探究一探究二素养形成当堂检测 反思感悟 根据充分条件与必要条件求参数取值范围的步骤如下: (1)记集合M=x|p(x),N=x|q(x); (2)根据以下表格确定集合M与N的包含关系: (3)根据集合M与N的包含关系建立关于参数的不等式(组); (4)解不等式(组)求出参数的取值范围. 探究一探究二素养形成当堂检测 延伸探究例2中,是否存在实数a,使p是q成立的必要不充分条件?若 存在,求出a的范围;若不存在,请说明理由. 解:设q,p表示的范围分别为集合A,B,则A=(2,3),B=(a-4,a+4).若p是q 的必要不充分条件, 无解.故不存在这样的实数a. 探究一探究二素
6、养形成当堂检测 数形结合思想的应用数形结合思想的应用 在解答有关充要条件的判断,或者根据条件间的充分性、必要性求 参数的取值范围时,有时要借助于Venn图或数轴求解,可以比较形 象、直观地解决问题,培养我们直观想象的核心素养. 1.Venn图的应用 (1)用列举法表示集合,可以很清晰地判断条件间的关系. (2)把条件用集合来表示,将抽象的条件具体化、形象化,方便判断. 探究一探究二素养形成当堂检测 典例1 已知集合A=1,2,3,4,5,B=3,4,5,则xA是xB的() A.充分不必要条件B.充要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 分析作出Venn图,判断集合A和集合B之间的关
7、系,进而做出判断. 解析:作出Venn图,如图所示,可知xBxA,但xA不能推出 xB, 所以xA是xB的必要不充分条件. 答案:C 探究一探究二素养形成当堂检测 2.数轴的应用 (1)判断涉及集合的条件间的充分性、必要性时,如果集合中的实数 为连续性的,则可用数轴表示集合做出判断. (2)在根据条件间的关系求参数的取值范围时,一般转化为集合间的 关系,用数轴法解决,这种解法更加的直观形象,不易出错. 探究一探究二素养形成当堂检测 典例2 已知集合A=x|-1x4,B=x|x5,则xA是xB的() A.充分不必要条件B.充要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 解析:在数轴上作出集
8、合A和B如图所示, 由图可知xAxB,但xB不能推出xA,所以xA是xB的充 分不必要条件. 答案:A 探究一探究二素养形成当堂检测 典例3 已知命题p:-1x3,命题q:-mx0),若p是q的必要条件, 求实数m的取值范围. 解:设A=x|-1x3,B=x|-mx0,因为p是q的必要条件,所 以BA, 在数轴上标出两集合,如图, 探究一探究二素养形成当堂检测 1.若“xa”是“x3或x-1”的充分不必要条件,则a的取值范围是( ) A.a3 B.a-1 C.-1a3D.a3 答案:B 解析:因为“xa”是“x2-2x-30”的充分不必要条件,故a-1. 探究一探究二素养形成当堂检测 2.“有
9、两个角之和为90的三角形称为直角三角形”是否可以作为直 角三角形的定义?为什么? 解:可以作为直角三角形的定义. 因为“有两个角之和为90的三角形”“有一个内角为90的三角 形”“直角三角形”,即“有两个角之和为90的三角形”是“直角三角 形”的充要条件, 故“有两个角之和为90的三角形称为直角三角形”可以作为直角三 角形的定义. 探究一探究二素养形成当堂检测 3.求证:一次函数y=kx+b(k0)的图象经过坐标原点的充要条件是 b=0. 证明:充分性:如果b=0,那么y=kx.当x=0时,y=0, 所以一次函数y=kx+b(k0)的图象经过坐标原点. 必要性:因为一次函数y=kx+b(k0)的图象经过坐标原点,所以当 x=0时,y=0,即k0+b=0,所以b=0. 故可求证.
