1、3.2基本不等式 第1课时基本不等式 激趣诱思知识点拨 某金店有一台天平,由于左右两臂长略有不等,所以直接称重不准 确.有一个顾客要买一串金项链,店主分别把项链放于左右两盘各 称一次,得到两个不同的质量a和b,然后就把两次称得的质量的算 术平均值 作为项链的质量来计算价格.顾客对这个质量的真 实性提出了质疑,他认为项链的质量应该用 来计算.如果按金 店的计算方式,顾客是吃亏了还是占便宜了呢?请在学习完本节内 容后给出你的判断. 激趣诱思知识点拨 一、基本不等式 2.基本不等式可以表述为:两个非负实数的算术平均值大于或等于 它们的几何平均值. 3.基本不等式的几何解释:同一个半圆中,半径大于或等
2、于半弦. 激趣诱思知识点拨 激趣诱思知识点拨 微拓展 1.如果a,bR,那么a2+b22ab(当且仅当a=b时，等号成立).这个不 等式叫重要不等式.它成立的条件是a,bR. 2.它的几个常见变形式有: 激趣诱思知识点拨 微练习 因为ab0,a,b同号,所以a=b,即式中等号成立的条件是a=b. 激趣诱思知识点拨 二、利用基本不等式求最值 当x,y均为正数时,下面的命题均成立: (1)若x+y=s(s为定值),则当且仅当x=y时,xy取得最大值 ; (2)若xy=p(p为定值),则当且仅当x=y时,x+y取得最小值2 . 名师点析1.上述的结论也叫作最值定理.语言描述为:(1)两个正数 的和为
3、常数时,它们的积有最大值;(2)两个正数的积为常数时,它们 的和有最小值.可简记为“和定积最大,积定和最小”. 2.应用上述结论时要注意以下三点:(1)各项或各因式均为正;(2)和 或积为定值;(3)各项或各因式能取得相等的值.即一正二定三相等. 激趣诱思知识点拨 微练习 已知x0,y0. (1)若xy=4,则x+y的最小值是; (2)若x+y=4,则xy的最大值是. xy4,当且仅当x=y=2时,等号成立, xy的最大值为4. 答案: (1)4(2)4 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 对基本不等式的理解对基本不等式的理解 例1下列命题正确的是() 答案:B 探究一探究二探究三素养形成当堂
4、检测 反思感悟 应用基本不等式时要注意以下三点 (1)各项或各因式均为正; (2)和或积为定值; (3)各项或各因式能取得相等的值.即“一正二定三相等”. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 变式训练1下列结论不成立的是() A.若a,bR,则a10+b102a5b5 D.若aR,则有a2+96a 答案:C 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 利用基本不等式证明利用基本不等式证明不等式不等式 分析(1)不等式的左边是和式,右边是带根号的积式之和,用基本不 等式,将和变积,并证得不等式.(2)不等式右边的数字为8,使我们联 想到对左边因式分别使用基本不等式,可得三个“2”连乘; 探究一探究二探究
5、三素养形成当堂检测 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 反思感悟 利用基本不等式证明不等式的注意事项 (1)利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有和式 或积式,通过将和式转化为积式或将积式转化为和式,从而达到放 缩的目的. (2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到. (3)解题时要注意技巧,当不能直接利用基本不等式时,可将原不 等式进行组合、构造,以满足能使用基本不等式的形式. (4)在证明不等式的过程中,注意充分利用“1”的代换,即把常数1 替换为已知的式子,然后经过整理后再利用基本不等式进行证明. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 变式训练2(1)已知a,b,c,d都是正数
6、,求证:(ab+cd)(ac+bd)4abcd. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值 例3(1)已知x0,则 +x的最小值为() A.6B.5C.4D.3 (2)已知a0,b0,且ab=1,则a+4b的最小值为. 答案: (1) A(2)4 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 延伸探究例题第(2)问,改为“已知a0,b0,且a+4b=4”,求ab的最大 值. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 一题多解一题多解利用基本不等式求最利用基本不等式求最值值 解:(方法一)已知条件从形式上认为是两项之和,问题的类型是求最 小值,所以根据基本不等式的结构特点,需要寻找乘积是定值的条 件. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 (方法二)用基本不等式求最值的题目很多是以双变元条件下的最 值的形式呈现的,采用消元将问题转化为单变量问题.在此基础上, 或直接求最值,或换元法后求最值,都可以将难度有效降低. 方法点睛 根据已知的条件形式,合理地选择方法,简洁准确地求解, 是解决问题的重点和目标,需要总结、反思和积累. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 答案:D 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 A.最小值12B.最大值12 C.最小值144D.最大值144 答案:C 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 答案:4 探究一探究二探究三素养形成当堂检测
